2018屆鹽城市大學聯考理科數學模擬試卷及答案
大學聯考理科數學知識覆蓋面廣，我們可以通過多做理科數學模擬試卷來擴展自己的知識面，下面是小編為大家精心推薦的2018屆鹽城市大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上)
1.已知全集 ，集合 ，則 = ▲ .
2.設複數 滿足 ( 為虛數單位)，則 ▲ .
3.某高級中學高一、高二、高三年級的學生人數分別為600人、700人、700人，為了解不同年級學生的眼睛近視情況，現用分層抽樣的方法抽取了容量為100的樣本，則高三年級應抽取的學生人數為 ▲ .
4.若命題“ ”是假命題，則實數 的取值範圍是 ▲ .
5.甲、乙兩組各有三名同學，他們在一次測試中的成績分別為：
甲組：88、89、90;乙組：87、88、92. 如果分別從甲、乙兩
組中隨機選取一名同學，則這兩名同學的成績之差的絕對值
不超過3的概率是 ▲ .
6.執行如圖所示的偽代碼，輸出 的值為 ▲ .
7.設拋物線 的焦點與雙曲線
的右焦點重合，則 = ▲ .
8.設 滿足 ，則 的最大值為 ▲ .
9.將函數 的圖象向左平移 個單位後，恰好得到函數的 的圖象，則 的最小值為 ▲ .
10.已知直三稜柱 的所有稜長都為2，點 分別為稜 的中點，則四面體 的體積為 ▲ .
11.設數列 的首項 ，且滿足 與 ，則 ▲ .
12.若 均為非負實數，且 ，則 的最小值為 ▲ .
13.已知 四點共面， ， ， ，則 的最大值為 ▲ .
14.若實數 滿足 ，則 ▲ .
二、解答題(本大題共6小題，計90分. 解答應寫出必要的文字説明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內)
15.(本小題滿分14分)
如圖，在四稜柱 中，平面 底面ABCD，且 .
(1)求證： 平面 ;
(2)求證：平面 平面 .
16.(本小題滿分14分)
設△ 面積的大小為 ，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ， ，求 .
17. (本小題滿分14分)
一兒童遊樂場擬建造一個“蛋筒”型遊樂設施，其軸截面如圖中實線所示. 是等腰梯形， 米， ( 在 的延長線上， 為鋭角). 圓 與 都相切，且其半徑長為 米. 是垂直於 的一個立柱，則當 的值設計為多少時，立柱 最矮?
18.(本小題滿分16分)
已知 、 分別是橢圓 的左頂點、右焦點，點 為橢圓 上一動點，當 軸時， .
(1)求橢圓 的離心率;
(2)若橢圓 存在點 ，使得四邊形 是平行四邊形(點 在第一象限)，求直線 與 的斜率之積;
(3)記圓 為橢圓 的“關聯圓”. 若 ，過點 作橢圓 的“關聯圓”的兩條切線，切點為 、 ，直線 的橫、縱截距分別為 、 ，求證： 為定值.
19.(本小題滿分16分)
設函數 .
(1)若函數 是奇函數，求實數 的值;
(2)若對任意的實數 ，函數 ( 為實常數)的圖象與函數 的圖象總相切於一個定點.
① 求 與 的值;
② 對 上的任意實數 ，都有 ，求實數 的取值範圍.
20.(本小題滿分16分)
已知數列 ， 都是單調遞增數列，若將這兩個數列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項)，則得到一個新數列 .
(1)設數列 、 分別為等差、等比數列，若 ， ， ，求 ;
(2)設 的首項為1，各項為正整數， ，若新數列 是等差數列，求數列 的前 項和 ;
(3)設 ( 是不小於2的正整數)， ，是否存在等差數列 ，使得對任意的 ，在 與 之間數列 的項數總是 ?若存在，請給出一個滿足題意的等差數列 ;若不存在，請説明理由.
鹽城市2017屆高三年級第三次模擬考試
數學附加題部分
(本部分滿分40分，考試時間30分鐘)
21.[選做題](在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內)
A.(選修4—1：幾何證明選講)
已知 是圓 兩條相互垂直的直徑，弦 交 的延長線於點 ，若 ， ，求 的長.
B.(選修4—2：矩陣與變換)
已知矩陣A= 所對應的變換T把曲線C變成曲線C1 ，求曲線C的方程.
C.(選修4—4：座標系與參數方程)
在極座標系中，直線 的極座標方程為 . 以極點 為原點，極軸為 軸的正半軸建立平面直角座標系，圓 的參數方程為 ( 為參數). 若直線 與圓 相切，求 的值.
D.(選修4—5：不等式選講)
已知 為正實數，且 ，證明： .
[必做題](第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內)
22.(本小題滿分10分)
如圖，在四稜錐 中，底面 是矩形，面 底面 ，且 是邊長為 的等邊三角形， ， 在 上，且 ∥面BDM.
(1)求直線PC與平面BDM所成角的正弦值;
(2)求平面BDM與平面PAD所成鋭二面角的大小.
23.(本小題滿分10分)
一隻袋中裝有編號為1,2,3,…,n的n個小球， ，這些小球除編號以外無任何區別，現從袋中不重複地隨機取出4個小球，記取得的4個小球的最大編號與最小編號的差的絕對值為 ，如 ， 或 ， 或 或 ，記 的數學期望為 .
(1)求 , ;
(2)求 .
2018屆鹽城市大學聯考理科數學模擬試卷答案一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.
1. 2. 2 3. 35 4. 5. 6. 7 7.
8. 1 9. 10. 11. 2056 12. 3 13.10 14.
二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的文字説明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內.
15.證明：(1)在四稜柱 中，有 . ……………4分
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ……………6分
(2)因為平面 底面ABCD，交線為 ，
底面ABCD，且 ，所以 平面 . …………12分
又 平面 ，所以平面 平面 . …………14分
16.解：(1)設 的三邊長分別為 ，由 ，
得 ，得 . …………2分
即 ，所以 . …………4分
又 ，所以 ，故 . …………6分
(2)由 和 ，得 ，
又 ，所以 ，得 ①. …………8分
又 ，所以
. …………10分
在△ 中，由正弦定理，得 ，即 ，得 ②. …………12分
聯立①②，解得 ，即 . …………14分
17.解：方法一：如圖所示，以 所在直線為 軸，以線段
的垂直平分線為 軸，建立平面直角座標系.
因為 ， ，所以直線 的方程為
，
即 . ...............4分
設圓心 ，由圓 與直線 相切，
得 ，
所以 . ...............8分
令 ， ，則 ， ...............10分
設 ， . 列表如下：
- 0 +
減 極小值 增
所以當 ，即 時， 取最小值. ...............13分
答：當 時，立柱 最矮. ...............14分
方法二：如圖所示，延長 交於點 ，過點 作 於 ，
則 ， .
在 中， . ...............4分
在 中， . ...............6分
所以 . ...............8分
(以下同方法一)
18.解：(1)由 軸，知 ，代入橢圓 的方程，
得 ，解得 . ...............2分
又 ，所以 ，解得 . ...............4分
(2)因為四邊形 是平行四邊形，所以 且 軸，
所以 ，代入橢圓 的方程，解得 ， ...............6分
因為點 在第一象限，所以 ，同理可得 ， ， ................7分
所以 ，
由(1)知 ，得 ，所以 . ...............9分
(3)由(1)知 ，又 ，解得 ，所以橢圓 方程為 ，
圓 的方程為 ①. ...............11分
連接 ，由題意可知， ， ，
所以四邊形 的.外接圓是以 為直徑的圓，
設 ，則四邊形 的外接圓方程為 ，
即 ②. ...............13分
①-②，得直線 的方程為 ，
令 ，則 ;令 ，則 . 所以 ，
因為點 在橢圓 上，所以 ，所以 . ...............16分
19.解：(1)因為函數 是奇函數，所以 恆成立， ……………2分
即 ，得 恆成立，
. ………………4分
(2)① ，設切點為 ，
則切線的斜率為 ，
據題意 是與 無關的常數，故 ，切點為 ， ……………6分
由點斜式得切線的方程為 ，即 ，故 . …..………8分
② 當 時，對任意的 ，都有 ;
當 時，對任意的 ，都有 ;
故 對 恆成立，或 對 恆成立.
而 ，設函數 .
則 對 恆成立，或 對 恆成立， ………………10分
，
當 時, , , 恆成立,所以 在 上遞增, ,
故 在 上恆成立，符合題意. .…….. .………12分
當 時，令 ，得 ，令 ，得 ,
故 在 上遞減，所以 ，
而 設函數 ，
則 ， 恆成立，
在 上遞增， 恆成立，
在 上遞增， 恆成立，
即 ，而 ，不合題意.
綜上 ，知實數 的取值範圍 . ………………16分
20.解：(1)設等差數列 的公差為 ，等比數列 的公比為 ，
由題意得， ，解得 或 ，因數列 單調遞增，
所以 ，所以 ， ，所以 ， . ...............2分
因為 ， ， ， ，
所以 . ...............4分
(2)設等差數列 的公差為 ，又 ，且 ，
所以 ，所以 . 因為 是 中的項，所以設 ，即 .
當 時，解得 ，不滿足各項為正整數; ...............6分
當 時， ，此時 ，只需取 ，而等比數列 的項都是等差數列 中的項，所以 ; ...............8分
當 時， ，此時 ，只需取 ，
由 ，得 ， 是奇數， 是正偶數， 有正整數解，
所以等比數列 的項都是等差數列 中的項，所以 . ...............10分
綜上所述，數列 的前 項和 或 . ...............11分
(3)存在等差數列 ，只需首項 ，公差 . ...............13分
下證 與 之間數列 的項數為 . 即證對任意正整數 ，都有 ，
即 成立.
由 ，
.
所以首項 ，公差 的等差數列 符合題意. ..............16分
附加題答案
21. A、解：設半徑為r，由切割線定理，
得 即 ， ………………4分
在三角形DOF中，由勾股定理，得 ，
即 . ………………8分
由上兩式解得 . ………………10分
B、設曲線C上任一點為(x,y)，經過變換T變成 ，則
，即 . ……………6分
又 ，得 . ……………10分
C、解：由題意得，直線 的直角座標方程為 ， ……………4分
圓 的直角座標方程為 . ……………8分
則直線和曲線相切，得 . ……………10分
D、證：因為 ，所以由基本不等式，得
. ……………4分
三式相加，得 .
又 ，所以 . ……………10分
22.解：因為 ， 作AD邊上的高PO，
則由 ，由面面垂直的性質定理，得 ，
又 是矩形，同理 ，知 , ，故 . …………2分
以AD中點O為座標原點，OA所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，AD的垂直平分線y軸，建立如圖所示的座標系，則 ，
連結AC交BD於點N，由 ，
所以 ，又N是AC的中點，
所以M是PC的中點，則 ， ………4分
設面BDM的法向量為 ，
，
，得 ，
令 ，解得 ，所以取 .
(1)設PC與面BDM所成的角為 ，則 ，
所以直線PC與平面BDM所成角的正弦值為 . ……………………6分
(2)面PAD的法向量為向量 ，設面BDM與面PAD所成的鋭二面角為 ，
則 ，故平面BDM與平面PAD所成鋭二面角的大小為 . …………………10分
3 4
23.解：(1) 的概率分佈為：
的概率分佈如下：
則 . ………………4分
(2) 方法一：
， ………………6分
………………10分
方法二：
得
猜想 . ………………6分
下面用數學歸納法證明.
證明：① 時猜想顯然成立;
②假設 時猜想成立，即 ，
則 ，
當 時
即 時命題也成立.
綜上①②，對一切 猜想都成立. ………………10分
