關於會考數學幾何應用題備考複習
幾何應用問題是近幾年來會考的一大考點，它是把幾何知識與實際問題相結合的一類題型，一般有這樣幾類：（一）三角形在實際問題中的應用；（二）幾何設計問題；（三）折線運動問題；（四）幾何綜合應用問題。解決這類問題時，應結合實際問題的背景，抽象出幾何模型，利用幾何知識加以解決，然後再回到實際問題，進行檢驗、解釋、反思，解題時應特別注意數形結合、分類討論等數學思想。
一、三角形在實際問題中的應用
例1．某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開闢為生物園，如圖所示，∠ACB=90，AC=80米，BC=60米。
（1）若入口E在邊AB上，且A，B等距離，求從入口E到出口C的最短路線的長；
（2）若線段CD是一條水渠，且D點在邊AB上，已知水渠的造價為10元/米，則D點在距A點多遠處時，此水渠的造價最低？最低造價是多少？
分析：本題是一道直角三角形的應用問題，解決此題首先要弄清等距離，最短路線，最低造價幾個概念。
1．E點在AB上且與AB等距離，説明E點是AB的中點，E點到C點的最短路線即為線段CE。
2．水渠DC越短造價越低，當DC垂直於AB時最短，此時造價最低。
本題考察了中點，點與點的距離，點與直線的距離，以及解直角三角形的知識。
解：（1）由題意知，從入口E到出口C的最短路線就是Rt△ABC斜邊上的中線CE。
在Rt△ABC中，AB= （米）。
∴CE= AB= ×100=50（米）。
即從入口E到出口C的最短路線的長為50米。
（3）當CD是Rt△ABC斜邊上的高時，CD最短，從而水渠的造價最低。
∵CD?AB=AC?BC，∴CD= 米）。
∴AD= =64（米）。所以，D點在距A點64米的地方，水渠的造價最低，其最低造價為48 10=480元。
例2．一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲乙兩位同學的加工方法分別如圖1，圖2所示，請你用學過的知識説明哪位同學的加工方法符合要求。（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留）。
分析：本題是一道利用相似三角形性質來解決的幾何應用問題。可先設出正方形邊長，利用對應邊成比例，列方程求解邊長，邊長大則面積大。
解：由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.設甲加工的桌面邊長為ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽Rt△CBA ,∴ ，即 ，解得 。如圖，過點B作Rt△ABC斜邊AC的高BH，交DE於P，並AC於H。由AB＝1.5米，BC＝2米， 平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。設乙加工的桌面邊長為y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽Rt△BAC，∴ ，即 ，解得 。因為 ，即 ， ，所以甲同學的加工方法符合要求。
二、幾何設計問題
例3.在一服裝廠裏有大量形狀為等腰三角形的邊角布料（如圖）。現找出其中的一種，測得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形與△ABC的其他邊相切。請設計出所有可能符合題意的方案示意圖，並求出扇形的半徑（只要求畫出圖形，並直接寫出扇形半徑）。
分析：本題考察分類討論，切線的性質以及作圖能力。本題的關鍵是找出圓心和半徑，分類時應考慮到所有情況，可以先考慮圓心的位置，在各邊上或在各頂點，然後排除相同情況。
解：可以設計如下四種方案：
例4.小明家有一塊三角形菜地，要種植面積相等的四種蔬菜，請你設計四種不同的分割方案（分成三角形或四邊形不限）。
分析：本題如從三角形面積方面考慮可以把其中一邊四等分，再分別與對角頂點連結；也可從相似三角形性質來考慮。
解：
三、折線運動問題
例5. 如圖，客輪沿折線A―B―C從A出發經B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出發沿直線勻速航行，將一批物品送達客輪．兩船同時起航，並同時到達折線A―B―C上的某點E處．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客輪速度是貨輪速度的2倍．
(1) 選擇：兩船相遇之處E點在 ( )．
（A）線段AB上 （B）線段BC上 （C）可以在線段AB上，也可以在線段BC上
(2) 求貨輪從出發到兩船相遇共航行了多少海里？(結果保留根號)
分析：本題是一道折線運動問題，考察合情推理能力和幾何運算能力，首先要對兩船同時到達的E點作一個合理判斷，E點不可能在AB上，因為當E點在AB上時，DE的最短距離為D到AB中點的距離，而此時AB=2DE，當E不是中點時，AB<2DE，所以E點不可能在AB上。然後利用代數方法列方程求解DE
解：（1）B
（2）設貨輪從出發到兩船相遇共航行了x海里．
過D作DF⊥CB，垂足為F，連結DE．則DE=x，AB+ BE=2x．
∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中點，
∴DF＝100，EF＝300－2x．
在Rt△DEF中，DE 2＝DF 2 +EF 2，
∴x 2＝100 2+(300－2x) 2
解之，得 ．
∵ ＞200，
∴DE= ．
答：貨輪從出發到兩船相遇共航行了 海里．
四、綜合類幾何應用
例6 .如圖1，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN=30 ，點A處有一所中學，AP=160米。假設拖拉機行駛時，周圍100米以內會受到噪聲的影響，那麼拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請説明理由；如果受影響，已知拖拉機的.速度為18千米/時，那麼學校受影響的時間為多少秒？
分析：本題是一道關於解直角三角形和圓的幾何綜合應用問題
要判斷是否受到噪聲的影響，只需求出A點到直線MN
的距離AB，當此AB≤100米時就要受到噪聲影響；第二
個問題只需要噪聲影響路段的長度，就能求出受影響的時間。
解：過點A作AB⊥MN，垂足為B
在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°
AP=160米
則AB= AP=80米，所以
學校會受到噪聲影響。
以A為圓心，100米為半徑作?A,交MN於C、D兩點，在Rt△ABC中：AC=100米，AB=80米
則：BC= （米）
∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小時=5米/秒
∴受影響時間為：120米÷5米/秒=24（秒）
例7. 馬戲團演出場地的外圍圍牆是用若干塊長為5米、寬2.5米的長方形帆布縫製成的，兩塊帆布縫合的公共部分是0.1米，圍成的圍牆高2.5米（如下圖）
(1) 若先用6塊帆布縫製成寬為2.5米的條形，求其長度；
(2) 若用x塊帆布縫製成密封的圓形圍牆，求圓形場地的周長y與所用帆布的塊數x之間的函數關係式；
(3) 要使圍成的圓形場地的半徑為10米，至少需要買幾塊這樣的帆布縫製圍牆?
分析：本題的關鍵是弄清縫製成條形和縫製成密封的圓形後有幾塊公共部分。
解：(1)6塊帆布縫製成條形後，有5塊公共部分，所以6塊縫製後的總長度為6×5－5×0.1＝29.5(米)
(2)x塊帆布縫製成密封的圓形圍牆後有x塊公共部分，設圓形圍牆的周長為米，則y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x
(3)要圍成半徑為10米的圓形場地，則2π×10＝4.9x
(塊)
要到商店買這樣的帆布13塊。
