考研數學衝刺矩陣相似對角化要點及技巧

在考研數學中，矩陣相似對角化是每年考察的重點和難點，對於各位考研人來説尤其要注意把握。小編為大家精心準備了考研數學衝刺矩陣相似對角化複習要點和祕訣，歡迎大家前來閲讀。

★一般方陣的相似對角化理論

這裏要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣以及對角陣。事實上，矩陣相似對角化之後還有一些應用，主要體現在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應用在歷年真題中都有不同的體現。

1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：

(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關的特徵向量;

(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特徵值滿足n-r(λE-A)=k

(3)充分條件：如果An的n個特徵值兩兩不同，那麼An一定可以相似對角化;

(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那麼An一定可以相似對角化。

【注】分析方陣是否可以相似對角化，關鍵是看線性無關的特徵向量的個數，而求特徵向量之前，必須先求出特徵值。

2、求方陣的特徵值：

(1)具體矩陣的特徵值：

這裏的難點在於特徵行列式的計算：方法是先利用行列式的性質在行列式中製造出兩個0，然後利用行列式的展開定理計算;

(2)抽象矩陣的特徵值：

抽象矩陣的特徵值，往往要根據題中條件構造特徵值的定義式來求，靈活性較大。

★實對稱矩陣的相似對角化理論

其實質還是矩陣的相似對角化問題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這裏要求大家除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特徵值與特徵向量的性質，在考試的時候會經常用到這些考點的。

這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似於對角陣;也可以根據矩陣A的特徵值、特徵向量來確定矩陣A中的參數或者確定矩陣A;另外由於實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量是相互正交的，這樣還可以由已知特徵值的特徵向量確定出對應的特徵向量，從而確定出矩陣A。

最重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當於解決了實二次型的標準化問題。

1、掌握實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質

(1)不同特徵值的特徵向量一定正交

(2)k重特徵值一定滿足滿足n-r(λE-A)=k

【注】由性質(2)可知，實對稱矩陣一定可以相似對角化;且有(1)可知，實對稱矩陣一定可以正交相似對角化。

2、會求把對稱矩陣正交相似化的正交矩陣

【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對同一個特徵值求出的基礎解系進行正交化，不同特徵值對應的特徵向量一定正交(當然除非你計算出錯了會發現不正交)。

3、實對稱矩陣的特殊考點：

實對稱矩陣一定可以相似對角化，利用這個性質可以得到很多結論，比如：

(1)實對稱矩陣的秩等於非零特徵值的個數

這個結論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。

(2)兩個實對稱矩陣，如果特徵值相同，一定相似

同樣地，對於一般矩陣，這個結論也是不成立的。

4、實對稱矩陣在二次型中的應用

使用正交變換把二次型化為標準型使用的方法本質上就是實對稱矩陣的.正交相似對角化。

一、做典型題，培養解題思路

典型題可以理解為基礎題以和常考題型。做這種題時考生要積極主動思考，不能只是為了做題而做題。要在做題的基礎上更深入地理解、掌握知識，所學的知識才能變成自己的知識，這樣才能使自己具有獨立的解題能力。

例如線性代數的計算量比較大，但純計算的題目比較少，一般都是證明中帶有計算，抽象中夾帶計算。這就要求考生在做題時要注意證明題的邏輯嚴緊性，掌握知識點在證明結論時的基本使用方法，雖然線性代數的考試可以考的很靈活，但這些基本知識點的使用方法卻比較固定，只要熟練掌握各種拼接方式即可。

儘管試題千變萬化，但其知識結構基本相同，題型相對固定，這就需要考生在研究真題和做模擬題時提煉題型。提練題型的目的，是為了提高解題的針對性，形成思維定勢，進而提大學聯考生解題的速度和準確性。

二、找切入點，理清知識脈絡

考生們在解綜合題時，最關鍵的一步是找到解題的切入點。所以大家需要對解題思路很熟悉，能夠看出題目與複習過的知識點、題型之間存在的聯繫。在考研複習中要對所學知識進行重組，理清知識脈絡，應用起來更加得心應手。

解應用題的一般步驟都是認真理解題意，建立相關的數學模型，將其化為某數學問題求解。建立數學模型時，一般要用到幾何知識、物理力學知識和經濟學術語等。

三、選常規題，珍惜複習時間

對於比較偏門和奇怪的試題，建議大家不要花太多的時間。同學們在複習中做好分析好考研數學的常規題目便已足夠。研究生考試不是數學競賽，出現偏門和怪題的情況微乎其微，因此完全沒必要浪費時間。

考研複習中，遇到比較難的題目，自己獨立解決確實能提高能力。但複習時間畢竟有限，在確定思考不出結果時，要及時尋求幫助。一定要避免一時性起，盯住一個題目做大半天的衝動。

高等數學

1.函數在一點處極限存在，連續，可導，可微之間關係。對於一元函數函數連續是函數極限存在的充分條件。若函數在某點連續，則該函數在該點必有極限。若函數在某點不連續，則該函數在該點不一定無極限。若函數在某點可導，則函數在該點一定連續。但是如果函數不可導，不能推出函數在該點一定不連續，可導與可微等價。而對於二元函數，只能又可微推連續和可導(偏導都存在)，其餘都不成立。

2.基本初等函數與初等函數的連續性：基本初等函數在其定義域內是連續的，而初等函數在其定義區間上是連續的。

3.極值點，拐點。駐點與極值點的關係：在一元函數中，駐點可能是極值點，也可能不是極值點，而函數的極值點必是函數的駐點或導數不存在的點。注意極值點和拐點的定義一充、二充、和必要條件。

4.夾逼定理和用定積分定義求極限。這兩種方法都可以用來求和式極限，注意方法的選擇。還有夾逼定理的應用，特別是無窮小量與有界量之積仍是無窮小量。

5.可導是對定義域內的點而言的，處處可導則存在導函數，只要一個函數在定義域內某一點不可導，那麼就不存在導函數，即使該函數在其它各處均可導。

6.泰勒中值定理的應用，可用於計算極限以及證明。

7.比較積分的大小。定積分比較定理的應用(常用畫圖法)，多重積分的比較，特別注意第二類曲線積分，曲面積分不可直接比較大小。

8.抽象型的多元函數求導，反函數求導(高階)，參數方程的二階導，以及與變限積分函數結合的求導

9.廣義積分和級數的斂散性的判斷。

10.介值定理和零點定理的應用。關鍵在於觀察和變換所要證明等式的形式，構造輔助函數。

11.保號性。極限的性質中最重要的就是保號性，注意保號性的兩種形式以及成立的條件。

12.第二類曲線積分和第二類曲面積分。在求解的過程中一般會使用格林公式和高斯公式，大部分同學都會把精力關注在是否閉合，偏導是否連續上，而忘記了第三個條件——方向，要引起注意。

線性代數

1、行列式的計算。行列式直接考察的概率不高，但行列式是線代的工具，判定係數矩陣為方陣的線性方程組解的情況及特徵值的計算都會用到行列式的計算，故要引起重視。

2、矩陣的變換。矩陣是線代的研究對象，線性方程組、特徵值與特徵向量、相似對角化，二次型，其實都是在研究矩陣。一定要注意在化階梯型時只能對矩陣做行變換，不可做列變換變換。

3、向量和秩。向量和秩比較抽象，也是線代學習的重點和難點，研究線性方程組解的情況其實就是在研究係數矩陣的秩，也是在研究把係數矩陣按列分塊得到的向量組的秩。

4、線性方程組的解。線性方程組是每年的必看知識點，要熟練掌握線性方程組解的結構問題，核心是理解基礎解系，要能夠掌握具體方程組的數列方法，更要能熟練解決抽象型方程組，一般會轉化為係數矩陣的秩或者基礎解，然後解決問題。

5、特徵值與特徵向量。特徵值與特徵向量起到承前啟後的作用，一特徵值對應的特徵向量其實就是其對應矩陣作為係數矩陣的齊次線性方程組的基礎解系，其重要應用就是相似對角化及正交相似對角化，是後面二次型的基礎。

6、相似對角化，包括相似對角化及正交相似對角化。要會判斷是否可以相似對角化，及正交相似對角化時，怎麼施密特正交化和單位化。

7、二次型。二次型是線代的一個綜合型章節，會用到前面的很多知識。要熟練掌握用正交變換化二次型為標準形，二次型正定的判定，及慣性指數。

8、矩陣等價及向量組等價的充要條件，矩陣等價，相似，合同的條件。

概率論與數理統計

1、非等可能 與 等可能。若一次隨機實驗中可能出現的結果有N個，且所有結果出現的可能性都相等，則每一個基本事件的概率都是1/N;若其中某個事件A包含的結果有M個，則事件A的概率為M/N。

2、互斥與對立 對立一定互斥，但互斥不一定對立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B對立，則滿足(1)A∩B=空集;(2)P(A+B)=1。

3、互斥與獨立。若A，B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，若A，B獨立，則P(AB)=P(A)P(B);概率為0或者1的事件與任何事件都獨立

4、排列與組合。排列與順序有關，組合與順序無關，同類相乘有序，不同類相乘無序。

5、不可能事件與概率為零的隨機事件。 不可能事件的概率一定為零,但概率為零的隨機事件不一定是不可能事件，如連續型隨機變量在任何一點的概率都為0。

6、必然事件與概率為1的事件。必然事件的概率一定為1，但概率為1的隨機事件不一定是必然事件。對於一般情形，由P(A)=P(B)同樣不能推得隨機事件A等於隨機事件B。

7、條件概率。P(A|B)表示事件B發生條件下事件A發生的概率。若“B是A的子集”，則P(A|B)=1，但P(B|A)=P(B)是不對的，只有當P(A)=1時才成立。在求二維連續型隨機變量的條件概率密度函數時，一定是在邊緣概率密度函數大於零時，才可使用“條件=聯合/邊緣”;反過來用此公式求聯合概率密度函數時，也要保證邊緣概率密度函數大於零。

8、隨機變量概率密度函數。對於一維連續型隨機變量，用分佈函數法，先討論概率為0和1的區間，然後反解，再討論，最後求導。對於二維隨機變量，若是連續型和離散型，用全概率公式，若是連續型和連續型同樣用分佈函數法，若隨機變量是Z=X+Y型，用卷積公式。