數學思想方法聚焦

巧用整體思想求面積

化零為整，化分散為集中的整體策略是數學解題的重要方法，利用整體思想，把一些看似彼此獨立，實質上緊密相連的量作為整體進行處理，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助於培養學生的創造性思維能力，提高學生分析問題和解決問題的能力.

例1 如圖1，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且半徑都為 ，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）.

A． B． C． D．

析解：圖中陰影部分為三個扇形，所以只要求出扇形的面積即可。但求扇形的面積必須知道圓心角的度數，如何求出這三個扇形的.圓心角的度數呢？顯然是比較困難的，因為這是一個普通的三角形。我們觀察到三個圓的半徑相同，於是考慮將三個圓心角拼在一起，這樣就可以利用三角形的內角和定理來解決了。三個扇形圓心角的度數之和為三個頂點處的三個周角的度數之和減去三角形的內角和，即 ，所以陰影部分的面積之和為： = ，

故選B.

例2 如圖2所示，已知⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連結四個圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個扇形（陰影部分）的面積之和為（ ）.

A． B． C． D．

析解：利用整體思想的方法，四個扇形的圓心角之和為四邊形ABCD的內角之和，又因為四個圓的半徑都是1，所以陰影部分的面積之和為： 故選B.

例3 有六個等圓拼成甲、乙、丙三種形狀擺放，使相鄰兩圓均互相外切，如圖3所示的圓心的連線（虛線）分別構成正六邊形、平行四邊形和正三角形，將圓心連線外側的6個扇形（陰影部分）的面積之和依次記為S、P、Q，則（ ）.

A．S>P>Q B．S>Q>P C．S>P且P=Q D．S=P=Q

分析：要想比較各個圖形中陰影部分的面積，由於若逐一計算，顯然有些麻煩，但考慮將六個扇形的圓心角合為一個整體，則可以利用多邊形內角和定理，分別求得六個圓心角之和，這樣就可以通過扇形面積公式從整體上求解。

解：因為圖甲是六邊形，即六個圓心角之和為 =720°；圖乙六個圓心角之和為平行四邊形的內角和加上兩個半圓的圓心角，即 ；圖丙中六個圓心角之和為三角形內角和加上三個半圓的圓心角，即： 。因此可見，這三個圖形中的六個扇形的面積之和是相等的，即陰影部分的面積為： .故外側扇形面積S=P=Q，應選D.

由以上三道例題我可以明顯地感悟到：數學思想方法是數學的靈魂。因此，我們在日常的數學學習中解題時要細心觀察給出的圖形,探尋進行轉化的途徑和方法是解決此類問題的關鍵,而扇形的面積應用在其中的作用是不可低估的。