有關數學教育與培養創新精神的分析

一．期望與困惑

電子信息技術在各行各業的應用都促進了相關係統的現代化進程，很自然的讓我們企望信息技術的應用帶來教育的現代化。多年來大家做了許多的努力，從實踐、理論等多方面圍繞計算機輔助教學進行研究。

我們在計算機輔助數學教學的實驗、研究和推廣也做了大量的工作，尤其是在輔助教學”課件”的開發及推廣方面投入了相當多的人力和物力。隨着計算機設備和開發技術的提高，無論是專業人員製作或是業餘開發的”課件”都有很不錯的成品。

其中不少”課件”的設計確實參照了優秀教師成功的課例，製作的界面也十分漂亮，在交流和評比中也能得到良好的評價。大家希望通過推廣這些編寫”課件”推動各學科的計算機輔助教學。確實，一些地區、很多學校都在花費相當多的力量從事各種”課件”的開發，有一些專業的軟件公司也在這方面投入了不小的資本及人力。

當我們冷靜地考察幾年來努力的效果時，不無遺憾地看到推廣計算機輔助教學的實際情況與大家的期望相距甚遠。即使是在評價時得到好評、獲得獎項的軟件作品，推廣也極其困難。大多數教師雖然能對某些”課件”客觀地給予肯定的評價，但是常常認為與自己的教學設想不同，而要讓一個”課件”能夠適合很多教師的口味實在是難以辦到的。即使是專業軟件公司開發的商品”課件”，學校和家長購買以後也多數未能發揮輔助教學的效果。

相當多的學校投入不少資金，很多教師辛辛苦苦製作的一些”課件”,並沒有能夠在教學質量的提高上發揮多大的作用。不少只是參與評比的作品，或是準備迎接參觀和檢查的點綴與擺設。這種情況使我們這些熱衷與計算機輔助教學的人們，陷入了深深的困惑。

二．總結與思考

為了尋求推廣計算機輔助教學的有效途徑，為了讓計算機輔助教學一定要成為提高教學質量、推動教育改革、促進教育現代化的有效因素，必需進行認真的思考。

應該肯定計算機為核心的電子信息技術作為工具用於教育，對教育現代化是絕對必要的，不過怎樣用、如何用好是有講究的。計算機輔助教學就是要將計算機作為工具，用於教學工作的各方面(積累資料、備課、講課、練習、測試等等),具體的模式和應用方法當然是多元化的，包括製作與使用一些”課件”.

但是目前多數”課件”製作後難於推廣的事實，值得我們認真反思。由於這些課件雖然是使用了計算機，比單純的教師講課有一定的優越性，但是並沒有超越教師講、學生聽的基本模式，只是由計算機來幫助教師講，而各位教師在”講”法上的安排是變化多端的，課件成品難以滿足這些要求。

尤其目前的很多”課件”的設計方案來源於一些教師沒有使用計算機的環境下教學的”經驗”,這種情況下應用計算機雖然也可能有一些好處，但是對於教學質量的提高難以有很大的作用，並不能真正發揮現代化教育手段的優勢。

出路在那裏？我們考慮要認真對計算機的應用與各科教學的”整合”進行切實的實驗和研究。計算機輔助教學是否成功，主要不在計算機技術上而在各科教學的設計和改革上。各學科教學在應用計算機時的要求和重點是不相同的，一定是與本學科教學內容、教學方法的特點來定的，各學科計算機輔助教學是否成功將反映該學科教學研究的水平。

在”整合過程中也不排除使用”課件”,不過我們不主張動員很多教師都去編寫課件，而是希望教師儘量選擇已有的成品軟件.當然不是盲目地搬用,是要在充分理解軟件設計意圖的基礎上，有自己的教學安排有機地整合起來。達到有效的提高教學質量的目標。

當然我們更關注在”整合實踐中尋找哪些應用模式和軟件系統，真正適合多數教師能接受、又確實便於推廣。現在我們認為各學科的”教學信息資源庫”和某些專業學科的”智能教學工具平台”可能是利於推廣的兩種輔助教學軟件系統。

“教學信息資源庫”是指利用電子信息系統建立的，儲存了本學科的大量可用於教學的資料的數據庫。由於現在已有的多媒體超文本編輯功能、光盤存儲技術、大容量高性能服務器以及因特網應用的發展，建設和應用這樣的”資源庫”並不困難。這樣的系統讓教師備課中可能佔有海量的教學信息，也能向學生提供自主、互助和探索性學習的支持環境，是用於計算機輔助教學的有效軟件系統。學校有能力逐步積累自己各學科的”教學信息資源庫”，也可以購買市場上的成品充實學校的”資源庫”。教師個人也可能在自用的微機系統上建立小型的”資源庫”，從學校的服務器上分享資源、從因特網資料、積累本人的經驗，提高自己的業務水平。

適合各學科教學的”智能工具平台”目前還不多，就數學教學來説這類可用的軟件(包括附帶硬件的)倒是不少，例如:TI公司的”圖形計算器”、張景中院士研製的”數學實驗室”、”幾何畫板”等等都是這類系統。

幾年來我們在數學學科的”整合”實踐中，應用”幾何畫板”的輔助教學實驗獲得了不少的成果，尤其在培養學生”創新思想”和”實踐能力”方面，得到了令人驚喜的突破。本文將列出若干實際的課例，向讀者做簡單的介紹。

三．實踐與收穫

1.在動態中表達幾何關係的圖版

“幾何畫板”是美國軟件“TheGeometer’sSketchpad”的漢化版，打開“幾何畫板”後我們看到的界面，就像一塊黑板（圖1）。圖版的左側是一列工具圖標：移動、畫點、畫圓、畫線、和文字工具。可以用這些工具按照尺規作圖的法則畫出各種幾何圖形。

畫出的圖形與黑板上的圖形不同是動態的,在動態中保持設定的幾何關係不變。例如（圖2）在畫板上任意取A、B、C三點，連接成三角形同時作出AB邊上的中點D。此時利用“移動”工具拉動A點就看到了一個變化着的三角形，在變化中D點保持為AB線段的中點。

同樣可以拉動B、C兩點或是移動三角形的邊（亦能運用一些技巧讓某幾個元素同時移動）。如果作出三角形ABC三條邊上的中線，就可以在這種動態變化中清楚觀察到“任意三角形三中線交於一點”的'現象。過去討論這一條几何定理是必須依靠邏輯證明的，現在利用“幾何畫板”可以根據觀察來確認這個事實。

還可以利用系統提供的其它功能(例如度量的功能,動態地觀察有關的數據)，來發現圖形中存在的規律和各種關係。就是可以用一種區別於傳統手段的，全新的、更加直觀的過程來學習幾何。

“幾何畫板”用於立體幾何教學也很好。這是學習立體幾何必需具有”空間想像能力”，對不少初學者是一個難關。由於用“幾何畫板”畫出的圖形中的若干元素可以適當地移動，就可能幫助初學者較快地培養空間想像能力。

2.探索性學習的直觀環境

過去我們討論同一個圓內，對應一段弧的圓周角與圓心角的關係，必需要靠證明。現在可以(如圖3)：在圓O上任意作出C、D、E三點，得到圓周角CDE和圓心角COD；度量出它們的角度，就能看出是圓周角為圓心角的一半。然後在圓上移動E點，度量的值將隨着E點的移動而變化，總能看到圓周角是圓心角的一半的關係。

我們還可以移動D點，將看到所有的度量值不變化。其實這也是一個定理：“同弧上的圓周角相等”。當D點移動到與C、O在同一直線上時，就是證明圓周角有關定理的特殊位置。這説明利用“幾何畫板”對圖形觀察的過程中，也是可能啟發我們得到進行邏輯證明的思路。圓O的大小和位置也是能夠變化的，從而保證了動態觀察和分析的普遍性。

上述過程可以是在教師的指導下，由學生獨立或分組進行觀察和分析，不必用教師講學生聽的傳統教學方式進行。這就實現了又充分發揮教師的主導作用、又使學生成為學習的主體，是一個探索性學習的直觀環境，是一種新型的教學模式。

其實“幾何畫板”提供的動態幾何環境，不僅一般地幫助學生直觀地去理解教師指定的圖形或問題。而是能為學生提供了一個培養創造能力的實踐園地。甚至可以讓他們對一些“異想天開”設想的幾何圖形系統，實施動態的觀察和分析研究。例如圖4:在圓O上任取一點E和圓外一點F作一線段，過線段中點G作垂線，若E點在圓上運動則垂線將跟隨着運動，我們想知道垂線的運動規律。在這個設定的條件下，是可以討論（推導）出某些結果的，但是對一般的學生（甚至對教師）來講實在是要求太高了，在傳統的學習環境下無論是觀察和推導都很困難。

現在就不一樣了，可以在“幾何畫板”上讓E點在圓上移動，同時跟蹤（使垂線現出軌跡）觀察垂線的運動看看出現什麼，然後再作進一步的分析和思考。圖5、6、7就是分別讓F點在圓外較遠處、較近處、F點在圓內，三種不同位置在圖上留下的垂線軌跡。看到這些直觀圖不難產生一些猜想：直線軌跡的包絡線是二次曲線族（橢圓、雙曲線、拋物線）？同學和教師可能有能力進一步的分析和討論，發現這組圖形中許多有趣的現象和規律。

學生還可以在平時解幾何問題時，根據給定的已知條件，用“幾何畫板”作出草圖然後去求解。由於在“幾何畫板”上作出的草圖不但準確而且是“動態的”，學生可能在它的動態變化中的某些特殊位置，找到求解的思路。

3.培養創造性能力的實踐園地

在使用“幾何畫板”給予學生探索性學習的環境以後，我們看到了培養他們創新精神和實踐能力的奇特效果。

其實“幾何畫板”提供的動態幾何環境，不僅一般地幫助學生直觀地去理解教師指定的圖形或問題。而是能為學生提供了一個培養創造能力的實踐園地。甚至可以讓他們對一些“異想天開”設想的幾何圖形系統，實施動態的觀察和分析研究。

圖4是國中幾何課本中的一個習題，從圓O任意一條弦的中點E作兩根直線與圓交得四個點，連接兩條線段後得圖形像一隻蝴蝶，兩線段與弦分別交於L、M兩點則有：

LE=EM

即蝴蝶兩翼截得的線段相等，稱為“蝴蝶定理”。

有這樣一位同學，他不滿足於一般的證明完成這個練習。首先他使用“幾何畫板”的”度量”功能，通過移動E點觀察兩線段長度確實相等，“看到了”定理是成立的。

他加了一個同心圓（圖5），兩圓與直線交得八個點，連接得一擴展的蝴蝶，其兩翼與弦交得四點。他猜想左側線段SE、TE與右側線段EU、EV也應該有某種等式關係。他猜想可能有SE+TE=EU+EV或

SE*TE=EU*EV

這樣的猜想並不希奇，但在傳統的學習環境下這些猜想很難證實或否定，最後只能不了了之掩滅了創造的火花。現在他利用“幾何畫板”度量了這些線段的長度，並進行了計算，計算的結果否定了他的兩個猜想。

這位同學沒有停止探求，在他鍥而不捨的努力下終於找到了它們之間的等式關係：

SE*TE/(SE+TE)=EU*EV/(EU+EV)

利用“幾何畫板”的度量和計算，找到了這個有趣的關係式並完成了證明，他命名其為“廣義蝴蝶定理”。此後他還對這個圖形進行了更多的擴展和深入的分析研究，這是一個多麼令人興奮的成果啊！

中學生在學習的過程中的發現是否有價值並不重要,運用”智能教學工具平台培養了他的創新精神和創造性思維的能力，是很有意義的。

其實，在目前已經知道的學生或學生與教師共同運用“幾何畫板”安排探索性教、學的過程中，一些創新的命題和成果，也有很多是有價值的。

我們正繼續進行運用”幾何畫板”等”平台”,推廣計算機輔助中學數學教學的實驗，希望能夠有所突破，找到有效的實現計算機輔助數學教學的途徑和模式。並總結在數學教學中培養學生創新精神和實踐能力的方法和經驗。