考研線性代數如何複習行列式的計算

考研線性代數知識體系複雜，各個知識點之間都是相通的，這就導致考題的靈活性、綜合性強。小編為大家精心準備了考研線性代數複習行列式的計算的指南，歡迎大家前來閲讀。

一、基本內容及歷年大綱要求。

本章內容包括行列式的定義、性質及展開定理。從整體上來看，歷年大綱要求瞭解行列式的概念，掌握行列式的性質，會應用行列式的性質及展開定理計算行列式。不過要想達到大綱中的要求還需要考生理解排列、逆序、餘子式、代數餘子式的概念，以及性質中的相關推論是如何得到的。

二、行列式在線性代數中的地位。

行列式是線性代數中最基本的運算之一,也是考生複習考研線性代數必須掌握的基本技能之一(另一項基本技能是求解線性方程組)，另外，行列式還是解決後續章節問題的一個重要工具，不論是後續章節中出現的重要概念還是重要定理、解題方法等都與行列式有着密切的聯繫。

三、行列式的計算。

由於行列式的計算貫穿整個學科，這就導致了它不僅計算方法靈活，而且出題方式也比較多變，這也是廣大考生在複習線性代數時面臨的第一道關卡。雖然行列式的計算考查形式多變，但是從本質上來講可以分為兩類：一是數值型行列式的計算;二是抽象型行列式的計算。

1.數值型行列式的計算

主要方法有：

(1)利用行列式的定義來求，這一方法適用任何數值型行列式的計算，但是它計算量大，而且容易出錯;

(2)利用公式，主要適用二階、三階行列式的計算;

(3)利用展開定理，主要適用出現零元較多的行列式計算;

(4)利用範德蒙行列式，主要適用於與它具有類似結構或形式的行列式計算;

(5)利用三角化的思想，主要適用於高階行列式的計算，其主要思想是找1，化0，展開。

2.抽象型行列式的計算

主要計算方法有：

(1)利用行列式的性質，主要適用於矩陣或者行列式是以列向量的形式給出的;

(2)利用矩陣的運算，主要適用於能分解成兩個矩陣相乘的行列式的計算;

(3)利用矩陣的特徵值，主要適用於已知或可以間接求出矩陣特徵值的行列式的計算;

(4)利用相關公式，主要適用於兩個矩陣相乘或者是可以轉化為兩個矩陣相乘的行列式計算;

(5)利用單位陣進行變形，主要適用於既不能不能利用行列式的性質又不能進行合併兩個矩陣加和的行列式計算。

▶考研數學線性代數相比較高等數學和概率論而言，呈現明顯不同的學科特點——概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容縱橫交錯以及知識點前後緊密聯繫。

如果説高等數學的知識點算“條”的話，那麼概率論就應該算“塊”，而線性代數就是“網”!具體來看，線性代數這整張網，又是由行列式、矩陣、向量、線性方程組、特徵值與特徵向量以及二次型這6張小網相互交叉聯結而成。而其中向量和線性方程組這兩張網又在其中起着承前啟後、上下銜接的關鍵作用。

通過上面的分析，大家是不是發現——向量和線性方程組是線性代數的重難點內容，也是考研的重點和難點之一?這一點也可以從歷年真題的出題規律上得到驗證。

關於第三章向量，無論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來每年都有一道考題，不是考察向量組的線性表示就是向量組的線性相關性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問題。

關於第四章線性方程組，06年以來只有11年沒有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的判定問題。

考研數學線性代數暑期強化複習階段重點應放在充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法上，並及時進行總結，抓聯繫，使所學知識能融會貫通，舉一反三。

▶向量—理解相關無關概念，靈活進行判定

向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數每年必出的考點。如何掌握這部分內容呢?首先在於對定義、性質和定理的理解，然後就是分析判定的關鍵在於：看是否存在一組不全為零的實數。

這部分題型有如下幾種：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題(數一)。

要判斷(證明)向量組的線性相關性(無關性)，首先會考慮用定義法來做，其次會用向量組的線性相關性(無關性)的一些重要性質和定理結合反證法來做。同時會考慮用向量組的線性相關性(無關性)與齊次線性方程組有非零解(只有零解)之間的聯繫和用矩陣的秩與向量組的秩之間的'聯繫來做。

▶線性方程組——解的結構和(不)含參量線性方程組的求解

要解決線性方程組解的結構和求法的問題，首先應考慮線性方程組的基礎解系，然後再利用基礎解系的線性無關性、與矩陣的秩之間的聯繫等一些重要性質來解決線性方程組解的結構和含參量的線性方程組解的討論問題，同時用線性方程組解結構的幾個重要性質求解(不)含參量線性方程組的解。

1、兩個重要極限，未定式的極限、等價無窮小代換

這些小的知識點在歷年的考察中都比較高。而透過我們分析，假如考極限的話，主要考的是洛必達法則加等價無窮小代換，特別針對數三的同學，這兒可能出大題。

2、處理連續性，可導性和可微性的關係

要求掌握各種函數的求導方法。比如隱函數求導，參數方程求導等等這一類的，還有注意一元函數的應用問題，這也是歷年考試的一個重點。數三的同學這兒結合經濟類的一些試題進行考察。

3、參數估計

這一點是咱們經常出大題的地方，這一塊對咱們數一，數二，數三的考生來講，包含兩塊知識點，一個是矩估計，一個是最大似然估計，這兩個集中出大題。

4、級數問題，主要針對數一和數三

這部分的重點是：一、常數項級數的性質，包括斂散性;二、牽扯到冪級數，大家要熟練掌握冪級數的收斂區間的計算，收斂半徑與和函數，冪級數展開的問題，要掌握一個熟練的方法來進行計算。對於冪級數求和函數它可能直接給咱們一個冪級數求它的和函數或者給出一個常數項級數讓咱們求它的和，要轉化成適當的冪級數來進行求和。

5、微分方程：一是一元線性微分方程，第二是二階常係數齊次/非齊次線性微分方程

對第一部分，考生需要掌握九種小類型，針對每一種小類型有不同的解題方式，針對每個不同的方程，套用不同的公式就行了。對於二階常係數線性微分方程大家一定要理解解的結構。另一塊對於非齊次的方程來説，考生要注意它和特徵方程的聯繫，有齊次為方程可以求它的通解，當然給出的通解大家也要寫出它的特徵方程，這個變化是咱們這幾年的一個趨勢。這一類問題就是逆問題。

對於二階常係數非齊次的線性方程大家要分類掌握。當然，這一塊對於數三的同學來説，還有一個差分方程的問題，差分方程不作為咱們的一個重點，而且提醒大家一下，學習的時候要注意，差分方程的解題方式和微方程是相似的，學習的時候要注意這一點。

6、隨機變量的數字特徵

要記住一維隨機變量的數字特徵都要記熟，數字特徵很少單獨性考察，往往和前面的一維隨機變量函數和多維隨機變量函數和第六章的數理統計結合進行考察。特別針對數一的同學來説，考察矩估計和最大似然估計的時候會考察無偏性。

7、一維隨機變量函數的分佈

這個要重點掌握連續性變量的這一塊。這裏面有個難點，一維隨機變量函數這是一個難點，求一元隨機變量函數的分佈有兩種方式，一個是分佈函數法，這是最基本要掌握的。另外是公式法，公式法相對比較便捷，但是應用範圍有一定的侷限性。