關於國小奧數植樹問題

植樹問題

今天老師帶着一年級的小朋友到路邊植樹。小朋友們每隔1米種一棵樹（馬路兩頭都種了樹），最後發現一共種了11棵，請問這條馬路有多少米？

解答：畫示意圖如下：

由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個"空"，也就是10個間隔。每個間隔長1米，10個間隔長10米。也就是説這段馬路長10米。像這類問題一般叫做"植樹問題。"

【小結】植樹問題通用公式：距離=間隔×段數

需要注意的是植樹的方式，不同方式之間的主要區別在於棵數與段數的關係。

不封閉體系，兩端種樹：棵數=段數+1

一端種樹：棵數=段數

兩端都不種：棵數=段數-1

封閉體系： 棵數=段數

一、知識要點

1.線段上的植樹問題可以分為以下三種情形：

(1)如果植樹線路的兩端都要植樹，那麼植樹的棵數應比要分的段數多1.即：

棵數=段數+1;

(2)如果一端植樹，另一端不植樹，那麼棵數與段數相等，即：棵數=段數;

(3)如果兩端都不植樹，那麼棵數應比段數少1.即：

棵數=段數-1。

2.在封閉的路線上植數，棵數與段數相等，即：

棵數=段數。

二、精講精練

【例題1】 城中國小在一條大路邊從頭至尾栽樹28棵，每隔6米栽一棵。這條路長多少米?

【思路導航】題中已知栽樹28棵，28棵樹之間有28-1=27段，每隔6米為一段，所以這條大路長6×27=162米。

練習1：

1.在一條馬路一邊從頭至尾植樹36棵，每相鄰兩棵樹之間隔8米，這長馬路有多長?

2.同學們做早操，21個同學排成一排，每相鄰兩個同學之間的距離相等，第一個人到最後一個人的距離是40米，相鄰兩個人隔多少米?

3.一條路長200米，在路的一旁從頭至尾每隔5米植一棵樹，一共要植多少棵?

【例題2】在一個周長是240米的游泳池周圍栽樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹?

【思路導航】這道題是封閉線路上的植樹問題，植樹的棵數和段數相等。240÷5=48(棵)

練習2：

1.一個魚塘的周長是1500米，沿魚塘周圍每隔6米栽一棵楊樹，需要種多少棵楊樹?

2.在圓形的水池邊，每隔3米種一棵樹，共種樹60棵，這個水池的周長是多少米?

3.在一塊長80米，寬60米的長方形地的周圍種樹，每隔4米種一棵，一共要種多少棵?

【例題3】在一座長800米的大橋兩邊掛彩燈，起點和終點都掛，一共掛了202盞，相鄰兩盞之間的距離都相等。求相鄰兩盞彩燈之間的距離。

【思路導航】大橋兩邊一共掛了202盞彩燈，每邊各掛202÷2=101盞，101盞彩燈把800米長的大橋分成101-1=100段，所以，相鄰兩盞彩燈之間的距離是800÷100=8米。

練習3：

1.在一條長100米的大路兩旁各栽一行樹，起點和終點都栽，一共栽52棵，相鄰的兩棵樹之間的距離相等。求相鄰兩棵樹之間的距離。

2.一座長400米的大橋兩旁掛彩燈，每兩個相隔4米，從橋頭到橋尾一共裝了多少盞燈?

3.六年級學生參加廣播操比賽，排了5路縱隊，隊伍長20米，前後兩排相距1米。六年級有學生多少人?

【例題4】一個木工鋸一根19米的木料，他先把一頭損壞部分鋸下來1米，然後鋸了5次，鋸成同樣長的短木條。每根短木條長多少米?

【思路導航】根據題意，把長19-1=18米的木條鋸了5次，可以鋸成5+1=6段，所以每根短木條長18÷6=3米。

練習4：

1.一個木工鋸一根長17米的木料，他先把一頭損壞的部分鋸下來2米，然後鋸了4次，鋸成同樣長的短木條，每根短木條長几米?

2.有一根圓鋼長22米，先鋸下2米，剩下的鋸成每根都是4米的小段，又鋸了幾次?

3.有一個工人把長12米的圓鋼鋸成了3米長的小段，鋸斷一次要5分鐘。共需要多少分鐘?

【例題5】有一幢10層的大樓，由於停電電梯停開。某人從1層走到3層需要30秒，照這樣計算，他從3層走到10需要多少秒?

【思路導航】把每一層樓所需要的時間看作一個間隔，1層至3層有兩個時間間隔，所以每個間隔用去的時間是30÷(3-1)=15秒，3層到10層經過了10-3=7個時間間隔，所以，他從3層到10層需要15×7=105秒。

練習5：

1.把6米長的木料平均鋸成3段要6分鐘，照這樣計算，如果鋸成6段，需要多少分鐘?

2.時鐘4點敲4下，6秒鐘敲完。那麼12點鐘敲12下，多少秒鐘敲完?

3.一遊人以等速在一條小路上散步，路邊相鄰兩棵樹的距離都相等，他從第一棵樹走到第10棵樹用了11分鐘，如果這個遊人走22分鐘，應走到第幾棵樹?

1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:

⑴如果在非封閉線路的.兩端都要植樹,那麼:

株數=段數+1=全長÷株距-1

全長=株距×(株數-1)

株距=全長÷(株數-1)

⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那麼:

株數=段數=全長÷株距

全長=株距×株數

株距=全長÷株數

⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那麼:

株數=段數-1=全長÷株距-1

全長=株距×(株數+1)

株距=全長÷(株數+1)

2 封閉線路上的植樹問題的數量關係如下

株數=段數=全長÷株距

全長=株距×株數

株距=全長÷株數

盈虧問題

(盈+虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數

(大盈-小盈)÷兩次分配量之差=參加分配的份數

(大虧-小虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數

一、國小奧數應用題題型及答案：植樹問題

每年的三月份是植樹的好季節，在植樹造林中也有有趣的數學問題。植樹的情況不同，主要是由於植樹線路不同。請同學們看一看，數一數下面各圖中各有多少個點、多少小段。(“段”指相鄰兩點間的一段，也叫間隔)再想一想點數與段數在什麼情況下各有什麼聯繫。

圖(1)這條線段圖上有()點，共有()段。

圖(2)這條線段圖上有()點，共有()段。

圖(3)，這個圓上有()點，共有()段。

由此看出，如果是一條沒有封閉的線段，它的點數比段數多1。

如果是一個封閉的圓、長方形、正方形，由於頭尾兩端重合，它的點數與段數同樣多。

二、四年級植樹問題的奧數試題（含答案解析）

1.圓湖的周長1350米，在湖邊每隔9米種柳樹一棵，在兩棵柳樹之間種桃樹2棵，兩棵桃樹之間的距離是().桃樹和柳樹各植()、()棵.

考點：植樹問題.

分析：在兩棵柳樹之間種桃樹2棵，兩棵桃樹之間的距離是：9÷(2+1)=3(米);柳樹的間隔數是：1350÷9=150(個)，那麼桃樹有：2×150=300(棵)，柳樹有150棵，據此解答.

解答：解：9÷(2+1)=3(米)，

柳樹的間隔數是：1350÷9=150(個)，

柳樹：150棵;

桃樹：2×150=300(棵);

答：兩棵桃樹之間的距離是3米.桃樹和柳樹分別植300棵、150棵.

故答案為：3米，300，150.

點評：本題考查了植樹問題，知識點是：栽樹的棵數=間隔數-1(兩端都不栽)，植樹的棵數=間隔數+1(兩端都栽)，植樹的棵數=間隔數(只栽一端).

金台國小學生參加申奧植樹活動，六年級共植樹252棵，比五年級植樹總數的5/4倍少8棵，五年級植樹多少棵?

思路分析：六年級比五年級植樹總數的5/4倍少8棵，就是六年級的5/4倍的數少8棵，等於六年級植樹的總數。等量關係是：五年級的5/4倍-8=六年級的植樹總數。

解：設五年級植樹x棵，根據題意列方程，得

5/4x-8=252

5/4x=252+8

x=208

驗算：把208代入原方程

左邊=5/4x208-8=252

右邊=252

左邊=右邊

是原方程的解。

答：五年級植樹208棵。