2018屆天津市紅橋區大學聯考理科數學模擬試卷及答案
備考大學聯考理科數學時，多做一些大學聯考數學模擬試卷題有助於高三的學生進行查漏補缺，下面是小編為大家精心推薦的2018屆天津市紅橋區大學聯考理科數學模擬試卷，希望能夠對您有所幫助。
一、選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1、已知集合 ，則
A. B. C. D.
2、設變量 滿足約束條件 ，則目標函數 的最大值為
A.6 B. C.0 D.12
3、根據如下圖所示的框圖，對大於2的正數N，輸出的數列的通項公式是
A. B. C. D.
4、某幾何體的三視圖如上圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的 的值
A.2 B.3 C. D.
5、設 ，則 是 的
A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6、在 中， 是線段AC的三等分點，則 的值為
A. B. C. D.
7、將函數 的圖象向右平移 個單位，再講圖象上沒一點的橫座標縮短到原來的 (縱座標不變)，所得圖象關於直線 對稱，則 的最小值為
A. B. C. D.
8、已知函數 ，若存在實數 滿足 ，且 ，則 的取值範圍是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卷的橫線上..
9、設 為虛數單位，則複數
10、在 的展開式中常數項是
11、在 中，角 的對邊分別為 ，已知 ，
則
12、曲線C的極座標方程是 ，則曲線C上的點到直線 為參數)的
最短距離是
13、如圖， 是雙曲線 的左右焦點，
過 的直線與雙曲線的左右兩支分別交於點 ，若 為
等邊三角形，則雙曲線的離心率為
14、已知下列命題：
①函數 有最小值2;
②“ ”的一個必要不充分條件是“ ”;
③命題 ;命題 ，則命題“ ”是假命題;
④函數 在點 處的切線方程為 .
其中正確命題的序號是
三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟
15、(本小題滿分13分)
已知函數 .
(1)求 的最小正週期;
(2)求 在區間 上的最大值和最小值.
16、(本小題滿分13分)
摩拜單車和ofo小黃車等各種共享自行車已經遍佈大街小巷，給我們的生活帶來了便利，某自行車租車點的收費標準是：每年使用1小時之內是免費的，超過1小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算)，有甲乙兩人相互對立來該租車點租車(各組一車一次)，設甲、乙不超過1小時還車的概率分別為 ;1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為 ;兩人租車時間都不會超過3小時.
(1)求甲乙兩人所付的租車費用相同的概率;
(2)設甲乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量 ，求的分佈列及數學期望 .
17、(本小題滿分13分)
如圖，在四稜錐 中，底面 是邊長為2的正方形，側面 底面 ，
且 分別為 的中點.
(1)求證：平面 平面 ;
(2)求證：平面 平面 ;
(3)在線段 上是否存在點 ，使二面角 的餘弦值為 ?説明理由.
18、(本小題滿分13分)
已知橢圓 的離心率為 ，且過點 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設與圓 相切的直線 交橢圓 於 兩點，求 面積的最大值，
及取得最大值時直線 的方程.
19、(本小題滿分14分)
設 是正項數列 的前n項和，且 .
(1)求數列 的通項公式;
(2)是否存在等比數列 ，使 對一切正整數n都成立?並證明你的結論.
(3)設 ，且數列 的'前n項和為 ，試比較 與 的大小.
20、(本小題滿分14分)
已知函數 ，且對任意 ，都有 .
(1)用含 的表達式表示;
(2)若 存在兩個極值點 ，且 ，求出 的取值範圍，並證明 ;
(3)在(2)的條件下，判斷 兩點的個數，並説明理由.
2018屆天津市紅橋區大學聯考理科數學模擬試卷答案一、選擇題(每小題5分，共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C B A B C A
二、填空題(每小題5分，共30分)
9. 10.14 11. 12.1 13. 14.③④
三、解答題(本大題共6小題，共80分)
(15)(本小題滿分13分)
(Ⅰ)解：(1)f(x)= sin 2x• +3sin 2x-cos 2x
=2sin 2x-2cos 2x= ................................6
所以，f(x)的最小正週期T= =π.......................................7
(Ⅱ)因為f(x)在區間 上是增函數，在區間 上是減函數...............9
又f(0)=-2， ， ，
故函數f(x)在區間 上的最大值為 ，最小值為-2........................13
(16)(本小題滿分13分)
(Ⅰ)甲乙兩人租車時間超過2小時的概率分別為： , ................................1
甲乙兩人所付的租車費用相同的概率p= × + × + × = ...........4
(Ⅱ)隨機變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8.....................................................5
P(ξ=0)= × =
P(ξ=2)= × + × =
P(ξ=4)= × + × + × =
P(ξ=6)= × + × =
P(ξ=8)= × = .......................................................10
數學期望Eξ= ×2+ ×4+ ×6+ ×8= ................................13
(17)(本小題滿分13分)
(Ⅰ)連接 ， 為正方形， 為 中點， 為 中點.
所以在 中， ，且 ，
所以 .........................................................3
(Ⅱ)因為 ，
為正方形， ，
所以 . ....................................4
所以 ，.................................5
又 ， 所以 是等腰直角三角形，
且 即 .........................6
，且
所以 又 ，
所以 ...............................7
(Ⅲ)如圖，取 的中點 ，連接 ， .
因為 ，所以 .
因為 ，
所以 ，........................................8
而 ， 分別為 ， 的中點，
所以 ，
又 是正方形，故 .
因為 ，
所以 ， .
以 為原點，直線 ， ， 分別為 ， ， 軸建立空間直角座標系，.....................9
則有 ， ， ， .
若在 上存在點 ，使得二面角 的餘弦值為 ，
連接 ，
設 .
由(Ⅱ)知平面 的法向量為 .
設平面 的法向量為 .
因為 ， ，
所以由 ，
可得 ，
令 ，則 ， ，
故 ，
所以 ，..............................12
解得， .
所以，在線段 上存在點 ，使得二面角 的餘弦值為 ......13
(18)(本小題滿分13分)
(Ⅰ)由題意可得： ..........................2
..........................4
(Ⅱ)①當 不存在時， ，
..........................5
②當 存在時，設直線為 ，
....................7
..........................8
..........................9
...........................11
當且僅當 即 時等號成立 ..........................12
，
∴ 面積的最大值為 ，此時直線方程 . ..........................13
(19)(本小題滿分14分)
(Ⅰ)由
得 ，............................1
相減並整理得
又由於 ，
則 ，故 是等差數列.........................3
因為 ，
所以
故 ........................5
(Ⅱ)當 ， 時， ， ，
可解得 ， ，........................................7
猜想 使 成立.........................8
證明： 恆成立.
令
②﹣①得：
，
故存在等比數列 符合題意. ..........................10
(Ⅲ) ..........................12
則
故 .........................................................................14
(20)(本小題滿分14分)
(Ⅰ)法一：根據題意：令 ，可得 ，
所以
經驗證，可得當 時，對任意 ，都有 ，
所以 .......................3
法二：因為
所以要使上式對任意 恆成立，則須有
即 .......................3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ，且 ，
所以 ，.............................4
令 ，要使 存在兩個極值點 ， ，則須有 有兩個不相等的正數根，所以
解得 或無解，所以 的取值範圍 ，可得 ，.......7
由題意知 ，
令 ，則 .
而當 時， ，即 ，
所以 在 上單調遞減，
所以
即 時， ..............................................................10
(Ⅲ)因為 ， .
令 得 ， .
由(Ⅱ)知 時， 的對稱軸 ， ， ，所以
又 ，可得 ，此時， 在 上單調遞減， 上單調遞增， 上單調遞減，所以 最多隻有三個不同的零點.
又因為 ，所以 在 上遞增，即 時， 恆成立.
根據(2)可知 且 ，所以 ，即 ，所以 ，使得 .
由 ，得 ，又 ， ，
所以 恰有三個不同的零點： ， ， .
綜上所述， 恰有三個不同的零點..............................14
