考研數學證明題答題詳解

考生們在準備考研數學的複習時，需要把證明題的答題方法掌握好。小編為大家精心準備了考研數學證明題答題祕訣，歡迎大家前來閲讀。

證明題可以分三步走：

第一步：結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。瞭解基本原理是證明的基礎，瞭解的程度不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的存在性並求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那麼第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕鬆解決，因為對於該題中的數列來説，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題並不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：藉助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目中文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關於中值定理的證明題，可以在直角座標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯繫結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關於零點存在定理的證明題，只要在直角座標系中結合所給條件作出函數及在上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關係恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的`，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

第三步：逆推。從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需藉助導數符號與單調性之間的關係，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這裏所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。

對於那些經常使用如上方法的同學來説，利用三步走就能輕鬆收穫數學證明的分數，但對於從心理上就不自信能解決證明題的同學來説，卻常常輕易丟失，後一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以防止分數的白白流失。

1.求極限

無論數學一、數學二還是數學三，求極限是高等數學的基本要求，所以也是每年必考的內容。區別在於有時以4分小題形式出現，題目簡單;有時以大題出現，需要使用的方法綜合性強。比如大題可能需要用到等價無窮小代換、泰勒展開式、洛比達法則、分離因式、重要極限等幾種方法，有時考生需要選擇多種方法綜合完成題目。另外，分段函數在個別點處的導數，函數圖形的漸近線，以極限形式定義的函數的連續性、可導性的研究等也需要使用極限手段達到目的，須引起注意!

2.利用中值定理證明等式或不等式，利用函數單調性證明不等式

證明題雖不能説每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及。等式的證明包括使用4個常見的微分中值定理(即羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理)，1個定積分中值定理;不等式的證明有時既可使用中值定理，也可使用函數單調性。這裏泰勒中值定理的使用時的一個難點，但考查的概率不大。

3.一元函數求導數，多元函數求偏導數

求導數問題主要考查基本公式及運算能力，當然也包括對函數關係的處理能力。一元函數求導可能會以參數方程求導、變限積分求導或應用問題中涉及求導，甚或高階導數;多元函數(主要為二元函數)的偏導數基本上每年都會考查，給出的函數可能是較為複雜的顯函數，也可能是隱函數(包括方程組確定的隱函數)。

另外，二元函數的極值與條件極值與實際問題聯繫極其緊密，是一個考查重點。極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數的偏導數。

4.級數問題

常數項級數(特別是正項級數、交錯級數)斂散性的判別，條件收斂與絕對收斂的本質含義均是考查的重點，但常常以小題形式出現。函數項級數(冪級數，對數一的考生來説還有傅里葉級數，但考查的頻率不高)的收斂半徑、收斂區間、收斂域、和函數等及函數在一點的冪級數展開在考試中常佔有較高的分值。

5.積分的計算

積分的計算包括不定積分、定積分、反常積分的計算，以及二重積分的計算，對數一考生來説常主要是三重積分、曲線積分、曲面積分的計算。這是以考查運算能力與處理問題的技巧能力為主，以對公式的熟悉及空間想象能力的考查為輔的。需要注意在複習中對一些問題的靈活處理，例如定積分幾何意義的使用，重心、形心公式的使用，對稱性的使用等。

6.微分方程

解常微分方程方法固定，無論是一階線性方程、可分離變量方程、齊次方程還是高階常係數齊次與非齊次方程，只要記住常用形式，注意運算準確性，在考場上正確運算都沒有問題。但這裏需要注意：研究生考試對微分方程的考查常有一種反向方式，即平常給出方程求通解或特解，現在給出通解或特解求方程。這需要考生對方程與其通解、特解之間的關係熟練掌握。

實際上對於線性代數來講是考研數學中比較容易拿分的部分，但是這門課程的難點就在於入門，入門的時候往往就讓很多考望而卻步了，但其實只要深入的進行學習就會無師自通，這門課由於思維上與高數南轅北轍所以一上來會很不適應，總體而言6章內容環環相扣，所以很多同學一上來看第一章發現內容涉及到第五章，看到第二章發現竟有第4章的知識點，無法形成完整的知識網絡，自然無法入門。這裏在複習上就有技巧可續，具體複習方法請大家往下看。

線性代數總共六章內容我們可以分成三個部分進行復習，逐個進行突破比整體看待要容易很多。首先是行列式和矩陣，這裏説的是第三第五和第六章，為什麼要對這三個部分進行整體的複習呢，因為他們的內容關聯性比較大，逐個突破，以兩章為一個單位。我們在複習的初期應該把每 個章節中出現的知識點和定理都整理出來記在筆記本上，找到他們彼此的關係，將知識點整體框架化。同學們在整理時可以以樹形圖的方式，最後根據每一個知識點各個擊破。第5章不用細看，第六章第七章主要是記憶，在記憶的基礎上儘可能的理解。浙大版的書上每章的課後題相當經典，請同學們反覆推敲，做過之後，再進行一遍總結，針對題型對應知識點進行復習和歸類。

這兩門課程的做題技巧完全體現在知識點的連貫性和總結基礎上，零散的看書完全達不到這些目的，只有看書也不能幫助你在這兩門課程上拿到好的成績。一定要在筆記整理方面下功夫，筆記的整理主要為了方便記憶，也是對知識點整理後的形象記憶法。最後根據這個大綱來一個各個擊破，講每個部分的內容所出現的題型，一口氣做20道，在總結相應的思路，同時打開自己總結的筆記，來一個反饋。最好將自己的總結 筆記分成兩類，一類是知識點筆記，一類是題型思路歸納，這樣一來反饋學習效果更明顯，思路更清晰。

另外要學會發現和找到自身的短板和薄弱項，要知道自己哪裏不會。那個題做錯了也是要注意的問題，錯了不能只知道正確答案就行，要知道哪裏錯了為什麼錯了。正確答題的思路是什麼，只有這樣才能真正的瞭解到錯誤的意義，做題才沒有白做。這樣給自己接下來的學習指明方向，明白下一步應該複習哪裏，針對哪裏進行練習。

考研複習衝刺階段，同學們要注意安排有效的複習計劃，並按計劃安排執行，這樣才能在時間緊的情況下完成繁重的複習任務，預祝大家考試順利。