必修四數學知識點15篇

來源：文萃谷 2.12W

在年少學習的日子裏，大家都沒少背知識點吧？知識點也可以通俗的理解為重要的內容。那麼，都有哪些知識點呢？下面是小編為大家收集的必修四數學知識點，歡迎大家分享。

必修四數學知識點1

數列的圖象

對於數列4，5，6，7，8，9，10每一項的序號與這一項有下面的對應關係：

序號：1234567

項：45678910

這就是説，上面可以看成是一個序號集合到另一個數的集合的映射.因此，從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整集N_(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函數，當自變量從小到大依次取值時，對應的一列函數值.這裏的函數是一種特殊的函數，它的自變量只能取正整數.

由於數列的項是函數值，序號是自變量，數列的通項公式也就是相應函數和解析式.

數列是一種特殊的函數，數列是可以用圖象直觀地表示的

數列用圖象來表示，可以以序號為橫座標，相應的項為縱座標，描點畫圖來表示一個數列，在畫圖時，為方便起見，在平面直角座標系兩條座標軸上取的'單位長度可以不同，從數列的圖象表示可以直觀地看出數列的變化情況，但不精確.

把數列與函數比較，數列是特殊的函數，特殊在定義域是正整數集或由以1為首的有限連續正整數組成的集合，其圖象是無限個或有限個孤立的點.

必修四數學知識點2

基本初等函數有哪些

基本初等函數包括以下幾種：

(1)常數函數y = c( c為常數)

(2)冪函數y = x^a( a為常數)

(3)指數函數y = a^x(a>0, a≠1)

(4)對數函數y =log(a) x(a>0, a≠1，真數x>0)

(5)三角函數以及反三角函數(如正弦函數：y =sinx反正弦函數：y = arcsin x等)

基本初等函數性質是什麼

冪函數

形如y=x^a的函數，式中a為實常數。

指數函數

形如y=a^x的函數，式中a為不等於1的正常數。

對數函數

指數函數的反函數，記作y=loga a x，式中a為不等於1的正常數。指數函數與對數函數之間成立關係式，loga ax=x。

三角函數

即正弦函數y=sinx，餘弦函數y=cosx，正切函數y=tanx，餘切函數y=cotx，正割函數y=secx，餘割函數y=cscx(見三角學)。

反三角函數

三角函數的反函數——反正弦函數y = arc sinx，反餘弦函數y=arc cosx (-1≤x≤1，初等函數0≤y≤π)，反正切函數y=arc tanx，反餘切函數y = arc cotx(-∞

學習數學小竅門

建立數學糾錯本。

把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西;能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對症下藥;解答問題完整、推理嚴密。

限時訓練。

可以找一組題(比如10道選擇題)，爭取限定一個時間完成;也可以找1道大題，限時完成。這主要是創設一種考試情境，檢驗自己在緊張狀態下的思維水平。

調整心態，正確對待考試。

首先，應把主要精力放在基礎知識、基本技能、基本方法這三個方面上，因為每次考試佔絕大部分的也是基礎性的題目，而對於那些難題及綜合性較強的題目作為調劑，認真思考，儘量讓自己理出頭緒，做完題後要總結歸納。調整好自己的心態，使自己在任何時候鎮靜，思路有條不紊，克服浮躁的情緒。

數學函數的值域與最值知識點

1、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

(2)換元法：運用代數式或三角換元將所給的複雜函數轉化成另一種簡單函數再求值域，若函數解析式中含有根式，當根式裏一次式時用代數換元，當根式裏是二次式時，用三角換元.

(3)反函數法：利用函數f(x)與其反函數f-1(x)的定義域和值域間的關係，通過求反函數的定義域而得到原函數的值域，形如(a≠0)的函數值域可採用此法求得.

(4)配方法：對於二次函數或二次函數有關的函數的.值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可採用單調性法求出函數的值域.

(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

2、求函數的最值與值域的區別和聯繫

求函數最值的常用方法和求函數值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數的值域中存在一個最小(大)數，這個數就是函數的最小(大)值.因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異.

如函數的值域是(0，16]，最大值是16，無最小值.再如函數的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數無最大值和最小值，只有在改變函數定義域後，如x>0時，函數的最小值為2.可見定義域對函數的值域或最值的影響.

3、函數的最值在實際問題中的應用

函數的最值的應用主要體現在用函數知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現實問題上，求解時要特別關注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值.

必修四數學知識點3

一、兩個定理

1、共線向量定理：

兩向量共線(平行)等價於兩個向量滿足數乘關係(與實數相乘的向量不是零向量)，且數乘係數唯一。用座標形式表示就是兩向量共線則兩向量座標的“內積等於外積”。此定理可以用來證向量平行或者使用向兩平行的條件。此定理的延伸是三點共線!三點共線可以向兩個向量的等式轉化：1.三個點中任意找兩組點構成的兩個向量共線，滿足數乘關係;2.以同一個點為始點、三個點為終點構造三個向量，其中一個可由另外兩個線性表示，且係數和為1。

2、平面向量基本定理：

平面內兩個不共線的向量可以線性表示任何一個向量，且係數唯一。這兩個不共線的向量構成一組基底，這兩個向量叫基向量。此定理的作用有兩個：1.可以統一題目中向量的形式;2.可以利用係數的唯一性求向量的係數(固定的算法模式)。

二、三種形式

平面向量有三種形式，字母形式、幾何形式、座標形式。字母形式要注意帶箭頭，多考慮幾何形式畫圖解題，特別是能得到特殊的三角形和四邊形的情況，向量的座標和點的座標不要混淆，向量的座標是其終點座標減始點座標，特殊情況下，若始點在原點，則向量的座標就是終點座標。

選擇合適的向量形式解決問題是解題的一個關鍵，優先考慮用幾何形式畫圖做，然後是座標形式，最後考慮字母形式的變形運算。

三、四種運算

加、減、數乘、數量積。前三種運算是線性運算，結果是向量(0乘以任何向量結果都是零向量，零向量乘以任何實數都是零向量);數量積不是線性運算，結果是實數(零向量乘以任何向量都是0)。線性運算符合所有的實數運算律，數量積不符合消去律和結合律。

向量運算也有三種形式：字母形式、幾何形式和座標形式。

加減法的字母形式注意首尾相接和始點重合。數量積的字母形式公式很重要，要能熟練靈活的使用。

加減法的幾何意義是平行四邊形和三角形法則，數乘的幾何意義是長度的伸縮和方向的共線，數量積的幾何意義是一個向量的模乘以另一個向量在第一個向量方向上的射影的數量。向量的夾角用尖括號表示，是兩向量始點重合或者終點重合時形成的`角，首尾相接形成的角為向量夾角的補角。射影數量有兩種求法：1.向量的模乘以夾角餘弦;2.兩向量數量積除以另一向量的模。

加減法的座標形式是橫縱座標分別加減，數乘的座標形式是實數乘以橫、縱座標，數量積的座標形式是橫座標的乘積加縱座標的乘積。

四、五個應用

求長度、求夾角、證垂直、證平行、向量和差積的模與模的和差積的關係。前三個應用是數量積的運算性質，證平行的數乘運算性質，零向量不能説和哪個向量方向相同或相反，規定零向量和任意向量都平行且都垂直;一個向量乘以自己再開方就是長度;兩個向量數量積除以模的乘積就是夾角的餘弦;兩個向量滿足數乘關係則必定共線(平行)。一個向量除以自己的模得到和自己同方向的單位向量，加符號是反方向的單位向量

數學函數的值域與最值知識點

1、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採用何種方法求函數值域都應先考慮其定義域，求函數值域常用方法如下：

(1)直接法：亦稱觀察法，對於結構較為簡單的函數，可由函數的解析式應用不等式的性質，直接觀察得出函數的值域.

(4)配方法：對於二次函數或二次函數有關的函數的值域問題可考慮用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數的值域，不過應注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧.

(6)判別式法：把y=f(x)變形為關於x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特徵是解析式中含有根式或分式.

(7)利用函數的單調性求值域：當能確定函數在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調性，可採用單調性法求出函數的值域.

(8)數形結合法求函數的值域：利用函數所表示的幾何意義，藉助於幾何方法或圖象，求出函數的值域，即以數形結合求函數的值域.

2、求函數的最值與值域的區別和聯繫

3、函數的最值在實際問題中的應用

必修四數學知識點4

不等式

不等關係

瞭解現實世界和日常生活中的不等關係,瞭解不等式(組)的實際背景.

(2)一元二次不等式

①會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.

②通過函數圖象瞭解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯繫.

③會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設計求解的程序框圖.

(3)二元一次不等式組與簡單線性規劃問題

①會從實際情境中抽象出二元一次不等式組.

②瞭解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區域表示二元一次不等式組.

③會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題,並能加以解決.

(4)基本不等式：

①瞭解基本不等式的.證明過程.

②會用基本不等式解決簡單的(小)值問題圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點

必修四數學知識點5

複數的概念：

形如a+bi（a，b∈R）的數叫複數，其中i叫做虛數單位。全體複數所成的集合叫做複數集，用字母C表示。

複數的表示：

複數通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），這一表示形式叫做複數的代數形式，其中a叫複數的實部，b叫複數的虛部。

複數的幾何意義：

（1）複平面、實軸、虛軸：

點Z的橫座標是a，縱座標是b，複數z=a+bi（a、b∈R）可用點Z（a，b）表示，這個建立了直角座標系來表示複數的平面叫做複平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數

（2）複數的幾何意義：複數集C和複平面內所有的點所成的集合是一一對應關係，即

這是因為，每一個複數有複平面內惟一的一個點和它對應；反過來，複平面內的每一個點，有惟一的一個複數和它對應。

這就是複數的一種幾何意義，也就是複數的另一種表示方法，即幾何表示方法。

複數的模：

複數z=a+bi（a、b∈R）在複平面上對應的點Z（a，b）到原點的距離叫複數的模，記為|Z|，即|Z|=

虛數單位i：

（1）它的平方等於—1，即i2=—1；

（2）實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立

（3）i與—1的關係：i就是—1的一個平方根，即方程x2=—1的一個根，方程x2=—1的另一個根是—i。

（4）i的週期性：i4n+1=i，i4n+2=—1，i4n+3=—i，i4n=1。

複數模的性質：

複數與實數、虛數、純虛數及0的關係：

對於複數a+bi（a、b∈R），當且僅當b=0時，複數a+bi（a、b∈R）是實數a；當b≠0時，複數z=a+bi叫做虛數；當a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數；當且僅當a=b=0時，z就是實數0。

兩個複數相等的定義：

如果兩個複數的實部和虛部分別相等，那麼我們就説這兩個複數相等，即：如果a，b，c，d∈R，那麼a+bi=c+di

a=c，b=d。特殊地，a，b∈R時，a+bi=0

a=0，b=0。

複數相等的充要條件，提供了將複數問題化歸為實數問題解決的途徑。

複數相等特別提醒：

一般地，兩個複數只能説相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個複數都是實數，就可以比較大小，也只有當兩個複數全是實數時才能比較大小。

解複數相等問題的方法步驟：

（1）把給的複數化成複數的標準形式；

（2）根據複數相等的充要條件解之。

數學學習技巧

1、做好預習：

單元預習時粗讀，瞭解近階段的學習內容，課時預習時細讀，注重知識的形成過程，對難以理解的概念、公式和法則等要做好記錄，以便帶着問題聽課。

2、認真聽課：

聽課應包括聽、思、記三個方面。聽，聽知識形成的來龍去脈，聽重點和難點，聽例題的解法和要求。思，一是要善於聯想、類比和歸納，二是要敢於質疑，提出問題。記，指課堂筆記——記方法，記疑點，記要求，記注意點。

3、認真解題：

課堂練習是最及時最直接的反饋，一定不能錯過。不要急於完成作業，要先看看你的筆記本，回顧學習內容，加深理解，強化記憶。

4、及時糾錯：

課堂練習、作業、檢測，反饋後要及時查閲，分析錯題的原因，必要時強化相關計算的訓練。不明白的問題要及時向同學和老師請教了，不能將問題處於懸而未解的狀態，養成今日事今日畢的好習慣。

數學中的合數是什麼意思？

合數的概念

合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數（0除外）整除的數。與之相對的是質數，而1既不屬於質dao數也不屬於合數。最小的合數是4。其中，完全數與相親數是以它為基礎的。

什麼是質數

質數又稱素數，有無限個。一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，換句話説就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數；否則稱為合數。

根據算術基本定理，每一個比1大的.整數，要麼本身是一個質數，要麼可以寫成一系列質數的乘積；而且如果不考慮這些質數在乘積中的順序，那麼寫出來的形式是唯一的。最小的質數是2。

質數和合數應用

1、質數與密碼學：所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質數，編碼之後傳送給收信人，任何人收到此信息後，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找素數的過程），將會因為找質數的過程（分解質因數）過久，使即使取得信息也會無意義。

2、質數與變速箱：在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數設計成質數，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇齧合次數的最小公倍數，可增強耐用度減少故障。

必修四數學知識點6

【公式一】

設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

【公式二】

設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

【公式三】

任意角α與-α的三角函數值之間的關係：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

【公式四】

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

【公式五】

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

【公式六】

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

【高一數學函數複習資料】

一、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關係：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數。

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

即：y=kx(k為常數，k≠0)

二、一次函數的性質：

的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)

當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質：

作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，並連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

性質：(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的座標總是(0，b)，與x軸總是交於(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。

，b與函數圖像所在象限：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k

當b>0時，直線必通過一、二象限;

當b=0時，直線通過原點

當b

特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k

四、確定一次函數的表達式：

已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。

(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最後得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用：

當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：(不全，希望有人補充)

求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

【高一數學集合複習講義】

集合

集合具有某種特定性質的事物的總體。這裏的“事物”可以是人，物品，也可以是數學元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：緊急～。2、數學名詞。一組具有某種共同性質的數學元素：有理數的～。3、口號等等。集合在數學概念中有好多概念，如集合論：集合是現代數學的基本概念，專門研究集合的理論叫做集合論。康託(Cantor，，1845年—1918年，德國數學家先驅，是集合論的，目前集合論的基本思想已經滲透到現代數學的`所有領域。

集合，在數學上是一個基礎概念。什麼叫基礎概念?基礎概念是不能用其他概念加以定義的概念。集合的概念，可通過直觀、公理的方法來下“定義”。集合

集合是把人們的直觀的或思維中的某些確定的能夠區分的對象匯合在一起，使之成為一個整體(或稱為單體)，這一整體就是集合。組成一集合的那些對象稱為這一集合的元素(或簡稱為元)。

元素與集合的關係

元素與集合的關係有“屬於”與“不屬於”兩種。

集合與集合之間的關係

某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。『説明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A?B。若A是B的子集，且A不等於B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A?B。中學教材課本里將?符號下加了一個≠符號(如右圖)，不要混淆，考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的幾種運算法則

並集：以屬於A或屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的並(集)，記作A∪B(或B∪A)，讀作“A並B”(或“B並A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬於A且屬於B的元差集表示

素為元素的集合稱為A與B的交(集)，記作A∩B(或B∩A)，讀作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那麼因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那麼説A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減集合

1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A?B定義為：A?B=(A-B)∪(B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A?B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A?B=(A∪B)-(A∩B)無限集：定義：集合裏含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令Nx正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那麼A叫做有限集合。差：以屬於A而不屬於B的元素為元素的集合稱為A與B的差(集)。記作：AB={x│x∈A，x不屬於B}。注：空集包含於任何集合，但不能説“空集屬於任何集合”.補集：是從差集中引出的概念，指屬於全集U不屬於集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬於A}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那麼全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。

集合元素的性質

確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學”“很小的數”都不能構成集合。這個性質主要用於判斷一個集合是否能形成集合。獨立性：集合中的元素的個數、集合本身的個數必須為自然數。互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同於{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重複，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。無序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一個集合。純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A={x|x

必修四數學知識點7

解三角形

(1)正弦定理和餘弦定理

掌握正弦定理、餘弦定理,並能解決一些簡單的三角形度量問題.

(2)應用

能夠運用正弦定理、餘弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.

數列

(1)數列的概念和簡單表示法

①瞭解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).

②瞭解數列是自變量為正整數的一類函數.

(2)等差數列、等比數列

①理解等差數列、等比數列的概念.

②掌握等差數列、等比數列的通項公式與前項和公式.

③能在具體的`問題情境中,識別數列的等差關係或等比關係,並能用有關知識解決相應的問題.

④瞭解等差數列與一次函數、等比數列與指數函數的關係.

必修四數學知識點8

平面向量

戴氏航天學校老師總結加法與減法的代數運算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

戴氏航天學校老師總結向量加法有如下規律：+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結合律);

兩個向量共線的充要條件：

(1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數，使得b= .

(2) 若=(),b=()則‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，戴氏航天學校老師提醒有且只有一對實數，，使得= e1+ e2

大學聯考數學必修四學習方法

養成良好的課前和課後學習習慣：在當前高中數學學習中，培養正確的學習習慣是一項重要的學習技能。雖然有一種刻板印象的猜疑，但在高中數學學習真的是反覆嘗試和錯誤的。學生們不得不預習課本。我準備的數學教科書不是簡單的閲讀，而是一個例子，至少十分鐘的思考。在使用前不能通過學習知識解決問題的情況下，可以在教學內容中找到答案，然後在教材會考察問題的'解決過程，掌握解決問題的思路。同時，在課堂上安排筆記也是必要的。在高中數學研究中，建議採用兩種形式的筆記，一種是課堂速記，另一種是課後筆記。這不僅提高了課堂記憶的吸收能力，而且有助於對筆記內容的查詢。

大學聯考數學必修四學習技巧

養成良好的學習數學習慣

多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。學生在學習數學的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，並永久記憶在自己的腦海中。良好的學習數學習慣包括課前自學、專心上課、及時複習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。

及時瞭解、掌握常用的數學思想和方法

中學數學學習要重點掌握的的數學思想有以上幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。

有了數學思想以後，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定係數、數學歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。在具體的方法中，常用的有：觀察與實驗，聯想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。

必修四數學知識點9

一】

a（1）=a，a（n）為公差為r的等差數列

通項公式：

a（n）=a（n—1）+r=a（n—2）+2r=...=a[n—（n—1）]+（n—1）r=a（1）+（n—1）r=a+（n—1）r。

可用歸納法證明。

n=1時，a（1）=a+（1—1）r=a。成立。

假設n=k時，等差數列的通項公式成立。a（k）=a+（k—1）r

則，n=k+1時，a（k+1）=a（k）+r=a+（k—1）r+r=a+[（k+1）—1]r。

通項公式也成立。

因此，由歸納法知，等差數列的通項公式是正確的。

求和公式：

S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n）

=a+（a+r）+...+[a+（n—1）r]

=na+r[1+2+...+（n—1）]

=na+n（n—1）r/2

同樣，可用歸納法證明求和公式。

a（1）=a，a（n）為公比為r（r不等於0）的等比數列

通項公式：

a（n）=a（n—1）r=a（n—2）r^2=...=a[n—（n—1）]r^（n—1）=a（1）r^（n—1）=ar^（n—1）。

可用歸納法證明等比數列的通項公式。

求和公式：

S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n）

=a+ar+...+ar^（n—1）

=a[1+r+...+r^（n—1）]

r不等於1時，

S（n）=a[1—r^n]/[1—r]

r=1時，

S（n）=na。

同樣，可用歸納法證明求和公式。

二】

符合一定條件的動點所形成的圖形，或者説，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡。

軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）。

【軌跡方程】就是與幾何軌跡對應的代數描述。

一、求動點的軌跡方程的基本步驟

⒈建立適當的座標系，設出動點M的.座標；

⒉寫出點M的集合；

⒊列出方程=0；

⒋化簡方程為最簡形式；

⒌檢驗。

二、求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等。

⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡後即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

⒉定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

⒊相關點法：用動點Q的座標x，y表示相關點P的座標x0、y0，然後代入點P的座標（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

⒋參數法：當動點座標x、y之間的直接關係難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數t的關係，得再消去參變數t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數法。

⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

譯法：求動點軌跡方程的一般步驟

①建系——建立適當的座標系；

②設點——設軌跡上的任一點P（x，y）；

③列式——列出動點p所滿足的關係式；

④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關於X，Y的方程式，並化簡；

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

大學聯考數學必修四學習方法

1、先看筆記後做作業。

有的同學感到，老師講過的，自己已經聽得明明白白了。但是為什麼你這麼做有那麼多困難呢？原因是學生對教師所説的理解沒有達到教師要求的水平。

因此，每天做作業之前，我們必須先看一下課本的相關內容和當天的課堂筆記。能否如此堅持，常常是好學生與差學生的最大區別。尤其是當練習不匹配時，老師通常沒有剛剛講過的練習類型，因此它們不能被比較和消化。如果你不重視這個實施，在很長一段時間內，會造成很大的損失。

2、做題之後加強反思。

學生一定要明確，現在正做着的題，一定不是考試的題目。但使用現在做主題的解決問題的思路和方法。因此，我們應該反思我們所做的每一個問題，並總結我們自己的收穫。

要總結出：這是一道什麼內容的題，用的是什麼方法。做到知識成片，問題成串。日復一日，建立科學的網絡系統的內容和方法。俗話説：有錢難買回頭看。做完作業，回頭細看，價值極大。這一回顧，是學習過程中一個非常重要的環節。

大學聯考數學必修四學習技巧

1、科學的預習方法

預習中發現的難點，就是聽課的重點；對預習中遇到的沒有掌握好的有關的舊知識，可進行補缺，以減聽課過程中的困難；有助於提高思維能力，預習後把自己理解了的東西與老師的講解進行比較、分析即可提高自己思維水平；預習後將課本的例題及老師要講授的習題提前完成，還可以培養自己的自學能力，與老師的方法進行比較，可以發現更多的方法與技巧。總之，這樣會使你的聽課更加有的放矢，你會知道哪些該重點聽，哪些該重點記。

2、科學的聽課方式

聽課的過程不是一個被動參預的過程，要全身心地投入課堂學習，耳到、眼到、心到、口到、手到。還要想在老師前面，不斷思考：面對這個問題我會怎麼想？當老師講解時，又要思考：老師為什麼這樣想？這裏用了什麼思想方法？這樣做的目的是什麼？這個題有沒有更好的方法？問題多了，思路自然就開闊了。

3、科學的記錄筆記

記問題——將課堂上未聽懂的問題及時記下來，便於課後請教同學或老師，把問題弄懂弄通。

記疑點——對老師在課堂上講的內容有疑問應及時記下，這類疑點，有可能是自己理解錯造成的，也有可能是老師講課疏忽大意造成的，記下來後，便於課後與老師商榷。

記方法——勤記老師講的解題技巧、思路及方法，這對於啟迪思維，開闊視野，開發智力，培養能力，並對提高解題水平大有益處。

記總結——注意記住老師的課後總結，這對於濃縮一堂課的內容，找出重點及各部分之間的聯繫，掌握基本概念、公式、定理，尋找存在問題、找到規律，融會貫通課堂內容都很有作用。

必修四數學知識點10

初等函數是由冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數與常數經過有限次的有理運算及有限次函數複合所產生，並且能用一個解析式表示的函數。非初等函數是指凡不是初等函數的函數。

初等函數是最常用的一類函數，包括常函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(以上是基本初等函數)，以及由這些函數經過有限次四則運算或函數的複合而得的所有函數。即基本初等函數經過有限次的四則運算或有限次的函數複合所構成並可以用一個解析式表出的函數，稱為初等函數。

非初等函數的研究與發展是近現代數學的重大成就之一，極大拓展了數學在各個領域的應用，在概率論、物理學科各個分支中等有十分廣泛的應用。是函數的一個重要的分支。一般説來，大部分分段函數不是初等函數。如符號函數，狄利克雷函數，gamma函數，誤差函數，Weierstrass函數。但是個別分段函數除外。

1、指數函數：函數y=ax (a>0且a≠1)叫做指數函數

a的取值a>1 0

定義域x∈R x∈R

值域y∈(0，+∞) y∈(0，+∞)

單調性全定義域單調遞增全定義域單調遞減

奇偶性非奇非偶函數非奇非偶函數

過定點(0,1) (0,1)

注意：⑴由函數的單調性可以看出，在閉區間[a,b]上，指數函數的最值為：

a>1時，最小值f(a)，最大值f(b);0

⑵對於任意指數函數y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

2、對數函數：函數y=logax(a>0且a≠1))，叫做對數函數

a的取值a>1 0

定義域x∈(0，+∞) x∈(0，+∞)

值域y∈R y∈R

單調性全定義域單調遞全定義域單調遞減

奇偶性非奇非偶函數非奇非偶函數

過定點(1,0) (1,0)

3、冪函數：函數y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數只研究第I象限的情況。

⑴所有冪函數都在(0，+∞)區間內有定義，而且過定點(1,1)。

⑵a>0時，冪函數圖像過原點，且在(0，+∞)區間為增函數，a越大，圖像坡度越大。

⑶a<0時，冪函數在(0，+∞)區間為減函數。

當x從右側無限接近原點時，圖像無限接近y軸正半軸;

當y無限接近正無窮時，圖像無限接近x軸正半軸。

冪函數總圖見下頁。

4、反函數：將原函數y=f(x)的x和y互換即得其反函數x=f-1(y)。

反函數圖像與原函數圖像關於直線y=x對稱。

數學函數的奇偶性知識點

1、函數的奇偶性的定義：對於函數f(x)，如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那麼函數f(x)就叫做奇函數(或偶函數).

正確理解奇函數和偶函數的定義，要注意兩點：(1)定義域在數軸上關於原點對稱是函數f(x)為奇函數或偶函數的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恆等式.(奇偶性是函數定義域上的整體性質).

2、奇偶函數的定義是判斷函數奇偶性的'主要依據。為了便於判斷函數的奇偶性，有時需要將函數化簡或應用定義的等價形式。

學數學的用處

第一，實際生活中數學學得好可以幫助你在工作上解決工程類或財務類的技術問題。就大多數情況來看，不能解決技術問題的人不僅收入較差而且還要到基層去從事低等體力勞動，能解決技術問題的人就可以拿高工資在辦公室當工程師或者財務人員。

第二，數學可以使你的大腦變得更加聰明，增加你思維的嚴謹性，另外，數學對你其它科目的學習也有很大作用。

第三，數學無處不在，工作學習中都用得着，例如日常逛街買東西都是和數學有關的，這時候才能體會到學習數學的好處。

必修四數學知識點11

一1.正弦、餘弦公式的逆向思維

對於形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)這樣的形式，運用逆向思維，化解為：

cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α)

2.正切公式的逆向思維。

比如，由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)]

可得：

tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)]

[1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β)

tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β)

3.二倍角公式的靈活轉化

比如：1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α)

=[sin(α)+cos(α)]2

cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)]

cos2(α)=[1+cos(2α)]/2

sin2(α)=[1-cos(2α)]/2

1+cos(α)=2cos2(α/2)

1-cos(α)=2sin2(α/2)

sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α)

sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α)

4.兩角和差正弦、餘弦公式的相加減、相比。

比如：

sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1

sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2

1式+2式，得到

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β)

1式-2式，得到

sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β)

1式比2式，得到

sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)]

=[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)]

我們來看兩道例題，增加印象。

1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β

本題中，α-β∈(0,π/2)

sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14

cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β)

=1/2

β=π/3

2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是鋭角。求α+2β

由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到：

1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α)

由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到：

sin(2β)=3sin(2α)/2

cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β)

=cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2

=3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α)

加之0<α+2β<270o

α+2β=90o

二軌跡知識點

符合一定條件的動點所形成的圖形，或者説，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡.

軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的.純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性).

【軌跡方程】就是與幾何軌跡對應的代數描述。

一、求動點的軌跡方程的基本步驟

⒈建立適當的座標系，設出動點M的座標;

⒉寫出點M的集合;

⒊列出方程=0;

⒋化簡方程為最簡形式;

⒌檢驗。

求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關點法、參數法和交軌法等。

⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡後即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。

⒉定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

⒊相關點法：用動點Q的座標x，y表示相關點P的座標x0、y0，然後代入點P的座標(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關點法。

⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數消去，得到不含參數的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。

_直譯法：求動點軌跡方程的一般步驟

①建系——建立適當的座標系;

②設點——設軌跡上的任一點P(x，y);

③列式——列出動點p所滿足的關係式;

④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關於X，Y的方程式，並化簡;

⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。

學好數學竅門是什麼

文科中的科目大部分都是需要理解記憶的，數學其實也是如此，只不過是需要理解做題，勤加鍛鍊自己的思維能力，面對數學題的時候，從多方面的去思考，數學學沒學好其實也體現在每次考試的成績上，有一些同學平時會覺得自己成績不錯，但是到了考試，成績並不是很好，這一部分原因是由於你的基礎知識不紮實，還是一部分原因是由於你在面對考試的時候，心態差。

魏德武速算

1，加法速算：計算任意位數的加法速算，方法很簡單學習者只要熟記一種加法速算通用口訣 ——“本位相加(針對進位數) 減加補，前位相加多加一 ”就可以徹底解決任意位數從高位數到低位數的加法速算方法，比如：(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。

2，減法速算：計算任意位數的減法速算方法也同樣是用一種減法速算通用口訣 ——“本位相減(針對借位數) 加減補，前位相減多減一 ”就可以徹底解決任意位數從高位數到低位數的減法速算方法，比如：(1)，67-48=(6-5)×10+(7+2)=19，(2)，758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。

3，乘法速算：魏氏乘法速算通用公式：ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗數×10。

必修四數學知識點12

正弦函數

主詞條：正弦函數。

格式：sin（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度比斜邊長度的比值求出，函數值為上述比的比值，也是csc（θ）的倒數。

函數圖像：波形曲線。

值域：-1~1。

餘弦函數

主詞條：餘弦函數。

格式：cos（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為（單位為弧度）的角鄰邊長度比斜邊長度的比值求出，函數值為上述比的比值，也是sec（θ）的倒數。

函數圖像：波形曲線。

值域：-1~1。

正切函數

主詞條：正切函數。

格式：tan（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度比鄰邊長度的比值求出，函數值為上述比的比值，也是cot（θ）的倒數。

函數圖像：右圖平面直角座標系反映。

值域：-∞~∞。

餘切函數

主詞條：餘切函數。

格式：cot（θ）。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長度比對邊長度的比值求出，函數值為上述比的比值，也是tan（θ）的倒數。

函數圖像：右圖平面直角座標系反映。

值域：-∞~∞。

正割函數

主詞條：正割函數。

格式：sec（θ）。

作用：在直角三角形中，將斜邊長度比大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長度的比值求出，函數值為上述比的比值，也是cos（θ）的倒數。

函數圖像：右圖平面直角座標系反映。

值域：≥1或≤-1。

餘割函數

主詞條：餘割函數。

格式：csc（θ）。

作用：在直角三角形中，將斜邊長度比大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度的比值求出，函數值為上述比的.比值，也是sin（θ）的倒數。

函數圖像：右圖平面直角座標系反映。

值域：≥1或≤-1。

學數學的用處

第二，數學可以使你的大腦變得更加聰明，增加你思維的嚴謹性，另外，數學對你其它科目的學習也有很大作用。

第三，數學無處不在，工作學習中都用得着，例如日常逛街買東西都是和數學有關的，這時候才能體會到學習數學的好處。

數學函數的解析式與定義域知識點

1、函數及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數是不存在的，因此，要正確地寫出函數的解析式，必須是在求出變量間的對應法則的同時，求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類型：

（1）有時一個函數來自於一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結合實際意義考慮；

（2）已知一個函數的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如：

①分式的分母不得為零；

②偶次方根的被開方數不小於零；

③對數函數的真數必須大於零；

④指數函數和對數函數的底數必須大於零且不等於1；

⑤三角函數中的正切函數y=tanx（x∈R，且k∈Z），餘切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

應注意，一個函數的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。

（3）已知一個函數的定義域，求另一個函數的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。

已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值範圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。 2、求函數的解析式一般有四種情況

（1）根據某實際問題需建立一種函數關係時，必須引入合適的變量，根據數學的有關知識尋求函數的解析式。

（2）有時題設給出函數特徵，求函數的解析式，可採用待定係數法。比如函數是一次函數，可設f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定係數，根據題設條件，列出方程組，求出a，b即可。

（3）若題設給出複合函數f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當於求函數的定義域。

（4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現其他未知量（如f（-x），等），必須根據已知等式，再構造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。

必修四數學知識點13

問題提出

函數是研究兩個變量之間的依存關係的一種數量形式.對於兩個變量,如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關係就是一個函數關係.

在中學校園裏，有這樣一種説法：“如果你的數學成績好,那麼你的物理學習就不會有什麼大問題.”按照這種説法,似乎學生的物理成績與數學成績之間存在着某種關係,我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量,那麼這兩個變量之間的關係是函數關係嗎?

我們不能通過一個人的數學成績是多少就準確地斷定其物理成績能達到多少,學習興趣、學習時間、教學水平等,也是影響物理成績的一些因素,但這兩個變量是有一定關係的,它們之間是一種不確定性的關係.類似於這樣的兩個變量之間的關係,有必要從理論上作些探討,如果能通過數學成績對物理成績進行合理估計,將有着非常重要的現實意義.

知識探究(一)：變量之間的相關關係

思考1:考察下列問題中兩個變量之間的關係:

(1)商品銷售收入與廣告支出經費;

(2)糧食產量與施肥量;

(3)人體內的脂肪含量與年齡.

這些問題中兩個變量之間的關係是函數關係嗎?

思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那麼學生的學業成績與教師的教學水平之間的關係是函數關係嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關係的成語嗎?

思考3:上述兩個變量之間的關係是一種非確定性關係,稱之為相關關係,那麼相關關係的含義如何?

自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關係，叫做相關關係.

1、球的體積和球的半徑具有()

A函數關係B相關關係

C不確定關係D無任何關係

2、下列兩個變量之間的關係不是

函數關係的是()

A角的度數和正弦值

B速度一定時，距離和時間的關係

C正方體的稜長和體積

D日照時間和水稻的畝產量AD練:知識探究(二)：散點圖

【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關係的研究中,研究人員獲得了一組樣本數據:

其中各年齡對應的脂肪數據是這個年齡人羣脂肪含量的樣本平均數.

思考1:對某一個人來説,他的體內脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少,但是如果把很多個體放在一起，就可能表現出一定的規律性.觀察上表中的數據,大體上看,隨着年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化?

思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關係,我們需要對數據進行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關係有一個直觀的印象.以x軸表示年齡,y軸表示脂肪含量,你能在直角座標系中描出樣本數據對應的圖形嗎?

思考3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎?

在平面直角座標系中，表示具有相關關係的兩個變量的一組數據圖形，稱為散點圖.

思考4:觀察散點圖的大致趨勢,人的年齡的與人體脂肪含量具有什麼相關關係?

思考5：在上面的散點圖中,這些點散佈在從左下角到右上角的區域,對於兩個變量的這種相關關係,我們將它稱為正相關.一般地,如果兩個變量成正相關，那麼這兩個變量的變化趨勢如何?

思考6：如果兩個變量成負相關，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何?其散點圖有什麼特點?

一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散佈在從左上角到右下角的區域.

一般情況下兩個變量之間的相關關係成正相關或負相關，類似於函數的單調性.

知識探究(一)：迴歸直線

思考1:一組樣本數據的平均數是樣本數據的中心,那麼散點圖中樣本點的中心如何確定?它一定是散點圖中的點嗎?

思考2:在各種各樣的散點圖中,有些散點圖中的`點是雜亂分佈的,有些散點圖中的點的分佈有一定的規律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數據的散點圖中的點的分佈有什麼特點?

這些點大致分佈在一條直線附近.

思考3:如果散點圖中的點的分佈,從整體上看大致在一條直線附近,則稱這兩個變量之間具有線性相關關係,這條直線叫做迴歸直線.對具有線性相關關係的兩個變量,其迴歸直線一定通過樣本點的中心嗎?

思考4:對一組具有線性相關關係的樣本數據,你認為其迴歸直線是一條還是幾條?

思考5:在樣本數據的散點圖中，能否用直尺準確畫出迴歸直線?藉助計算機怎樣畫出迴歸直線?

知識探究(二)：迴歸方程

在直角座標系中，任何一條直線都有相應的方程，迴歸直線的方程稱為迴歸方程.對一組具有線性相關關係的樣本數據，如果能夠求出它的迴歸方程，那麼我們就可以比較具體、清楚地瞭解兩個相關變量的內在聯繫，並根據迴歸方程對總體進行估計.

思考1：迴歸直線與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關係?

整體上最接近

思考2:對於求迴歸直線方程，你有哪些想法?

思考4：為了從整體上反映n個樣本數據與迴歸直線的接近程度，你認為選用哪個數量關係來刻畫比較合適%某小賣部為了瞭解熱茶銷售量與氣温

之間的關係，隨機統計並製作了某6天

賣出熱茶的杯數與當天氣温的對照表：

如果某天的氣温是-50C，你能根據這些

數據預測這天小賣部賣出熱茶的杯數嗎?

實例探究

為了瞭解熱茶銷量與

氣温的大致關係,我們

以橫座標x表示氣温，

縱座標y表示熱茶銷量，

建立直角座標系.將表

中數據構成的6個數對

表示的點在座標系內

標出，得到下圖。

你發現這些點有什麼規律?

今後我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).

建構數學

所以,我們用類似於估計平均數時的

思想,考慮離差的平方和

當x=-5時，熱茶銷量約為66杯

線性迴歸方程：

一般地,設有n個觀察數據如下：當a,b使三點(3,10),(7,20),(11,24)的

線性迴歸方程是()

二、求線性迴歸方程

例2：觀察兩相關變量得如下表：

求兩變量間的迴歸方程解1：列表：

閲讀課本P73例1

EXCEL作散點圖

利用線性迴歸方程解題步驟：

1、先畫出所給數據對應的散點圖;

2、觀察散點，如果在一條直線附近，則説明所給量具有線性相關關係

3、根據公式求出線性迴歸方程，並解決其他問題。

(1)如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值;(2)分別説明以上兩個模型是確定性

模型還是隨機模型.

模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+

解(1)模型1：y=6+4x=6+4×3=18;

模型2：y=6+4x+e=6+4×3+線性相關與線性迴歸方程小結1、變量間相關關係的散點圖

2、如何利用“最小二乘法”思想求直線的迴歸方程

3、學會用迴歸思想考察現實生活中變量之間的相關關係

必修四數學知識點14

【公式一】

設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

【公式二】

設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

【公式三】

任意角α與-α的三角函數值之間的關係：

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

【公式四】

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

【公式五】

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

【公式六】

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)

【高一數學函數複習資料】

一、定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關係：

y=kx+b

則此時稱y是x的一次函數。

特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。

即：y=kx(k為常數，k≠0)

二、一次函數的性質：

的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)

當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質：

作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表;

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。因此，作一次函數的圖像只需知道2點，並連成直線即可。(通常找函數圖像與x軸和y軸的交點)

，b與函數圖像所在象限：

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k

當b>0時，直線必通過一、二象限;

當b=0時，直線通過原點

當b

特別地，當b=O時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k

四、確定一次函數的表達式：

已知點A(x1，y1);B(x2，y2)，請確定過點A、B的一次函數的表達式。

(1)設一次函數的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最後得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用：

當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：(不全，希望有人補充)

求函數圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

求任意線段的長：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(x1-x2)與(y1-y2)的`平方和)

【高一數學集合複習講義】

集合

元素與集合的關係

元素與集合的關係有“屬於”與“不屬於”兩種。

集合與集合之間的關係

集合的幾種運算法則

必修四數學知識點15

一、立體幾何初步

(1)稜柱：

定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜柱、四稜柱、五稜柱等。

表示：用各頂點字母，如五稜柱或用對角線的端點字母，如五稜柱

幾何特徵：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側稜平行且相等;平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)稜錐

定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜錐、四稜錐、五稜錐等

表示：用各頂點字母，如五稜錐

幾何特徵：側面、對角面都是三角形;平行於底面的截面與底面相似，其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。

(3)稜台：

定義：用一個平行於稜錐底面的平面去截稜錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的標準分為三稜態、四稜台、五稜台等

表示：用各頂點字母，如五稜台

幾何特徵：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側稜交於原稜錐的頂點

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特徵：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一週所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特徵：①底面是一個圓;②母線交於圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓台：

定義：用一個平行於圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特徵：①上下底面是兩個圓;②側面母線交於原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一週形成的幾何體

幾何特徵：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。

二、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的`向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

三、向量的向量積運算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

四、必修四數學學習方法

數學不是靠老師教會的，而是在老師的引導下，靠自己主動的思維活動去獲取的。學習數學一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行。記數學筆記，特別是對概念理解的不同側面和數學規律，教師在課堂中拓展的課外知識。記錄下來本章你覺得最有價值的思想方法或例題，以及你還存在的未解決的問題，以便今後將其補上。

要建立數學糾錯本。把平時容易出現錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西;能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對症下藥;解答問題完整、推理嚴密。

五、必修四數學學習技巧

首先：課前複習。就是上課前花兩三分鐘把書本本節課要學的內容看一遍。僅僅是看一遍，過一遍。這樣上課老師講自己不但可以跟上老師節奏還可以再次鞏固。其餘不要幹其他多餘的事。

其次：上課時候一定要專心聽講，如果覺得老師這裏講得都懂了的話可以自己翻書看後面的內容。做習題的時候一定要一道一道往過做，不要越題做。因為對於課本來説這些都是基礎，只有基礎完全掌握後才能做難題。上課過程中第一次接觸到的知識點概念等，一定一定要當堂背過。不然以後很難背過，不要妄想考前抱佛教再背

另外要把筆記記準確，知道自己需要記什麼不需要記什麼，憋一個勁地往書上搬。字不要求整齊，自己能看懂就行。課本資料書上有例題，多看多記方法。先看課本基礎，在看資料書上着重的。例題的方法一定一定要理解，不要去背!接着下課再看筆記，只是略微鞏固記住。

知識點必修數學