國小奧數行程問題之電梯問題的經典例題透析及練習題

電梯問題其實是複雜行程問題中的一類。有兩點需要注意，一是“總行程=電梯可見部分級數±電梯運行級數”，二是在同一個人上下往返的情況下，符合流水行程的速度關係，（注意，其總行程仍然是電梯可見部分級數±電梯運行級數）

行程問題之電梯問題，經典例題透析

1.小偷與警察相隔30秒先後逆向跑上一自動扶梯，小偷每秒可跨越3級階梯，警察每秒可跨越4級階梯。已知該自動扶梯共有150級階梯，每秒運行1.5級階梯，問警察能否在自動扶梯上抓住小偷？答：_____。

分析：全部以地板為參照物，那麼小偷速度為每秒1.5級階梯，警察速度為每秒2.5級階梯。警察跑上電梯時相距小偷1.5×30=45級階梯，警察追上小偷需要45秒，在這45秒內，小偷可以跑上1.5×45=67.5級階梯，那麼追上小偷後，小偷在第112～第113級階梯之間，沒有超過150，所以警察能在自動扶梯上抓住小偷。

2.在商場裏甲開始乘自動扶梯從一樓到二樓，並在上向上走，同時乙站在速度相等的並排扶梯從二層到一層。當甲乙處於同一高度時，甲反身向下走，結果他一共走了60級，如果他一直走到頂端再反身向下走，則一共要走80級，那麼，自動扶梯不動時從下到上要走多少級？

分析：向上走速度為甲和自動扶梯的速度和，向下走速度為甲和自動扶梯的速度差。

當甲乙處於同一高度時，甲反身向下走，結果他一共走了60級，如果他一直走到頂端再反身向下走，則一共要走80級，

60÷80=3/4，這説明甲乙處於同一高度時，甲的高度是兩層總高度的`3/4。則甲和自動扶梯的速度和與自動扶梯的速度之比是3/4：（1-3/4）=3：1，即甲的速度與自動扶梯速度之比2：1，甲和自動扶梯的速度差與自動扶梯的速度相等。向下走速度向上走速度的1/3，所用時間為向上走的3倍，則甲向下走的台階數就是向上走台階數的3倍。因此甲向上走了80÷（3+1）=20級台階。甲的速度與自動扶梯速度之比2：1，甲走20級台階的同時自動扶梯向上移動了10級台階，因此如果自動扶梯不動，甲從下到上要走20+10=30級台階。

3.商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下。如果男孩單位時間內走的扶梯級數是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級？

分析：因為男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80級到達樓下與女孩走40級到達樓上所用時間相同，在這段時間中，自動扶梯向上運行了（80-40）÷2=20（級）所以扶梯可見部分有 80-20=60（級）。

4.甲在商場中乘自動扶梯從一層到二層，並在順扶梯運行方向向上走，同時乙站在速度相等的並排扶梯從二層到一層，當甲乙處於同一高度時，甲反身向下走，結果他走了60級到達一層，如果他到了頂端再從上行扶梯返回，則要往下走80級。那麼，自動扶梯不動時甲從下到上要走多少級？

答案：設電梯速度V，甲速度V1，電梯級數S。

因為甲乙同時出發，到達同一高度用時相同。所以，當時的高度為（V+V1）S/（2V+V1）。

此時向下走，走下台階用時為（V+V1）S/[（2V+V1）（V1-V）]，則60=V1（V+V1）S/[（2V+V1）（V1-V）]，80=V1S/（V1-V）。

兩式相除得3/4=（V+V1）/（2V+V1）

V1=2*V

代入第二個式子，80=2S

S=40

不動時要走40級

國小奧數：行程問題中的電梯問題練習題

【例1】小明站着不動乘電動扶梯上樓需30秒，如果在乘電動扶梯的同時小明繼續向上走需12秒，那麼電動扶梯不動時，小明徒步沿扶梯上樓需__________秒。

【例2】小霞與小寶兩個孩子比賽登電梯，已知他倆攀登電梯的速度分別為每秒2個台階和每秒3個台階，電梯運行後，他倆沿電梯運行方向的相反方向從一樓登上二樓，分別用時60秒和30秒，那麼如果他們攀登靜止的電梯需要用時多少秒？

【例3】（奧數網精選試題）商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下往上走，男孩由上往下走，結果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下。如果男孩單位時間內走的扶梯級數是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級？

【例4】小淘氣乘正在下降的自動扶梯下樓，如果他一級一級的走下去，從扶梯的上端走到下端需要走36級。如果小淘氣沿原自動扶梯從下端走到上端（很危險哦，不要效仿！），需要用下樓時5倍的速度走60級才能走到上端。請問這個自動扶梯在靜止不動時有多少級？