六年級奧數知識試題「分解質因數」

一個整數，它的約數只有1和它本身，就稱為質數(也叫素數).例如，2，5，7，101，….一個整數除1和它本身外，還有其他約數，就稱為合數.例如，4，12，99，501，….1不是質數，也不是合數.也可以換一種説法，恰好只有兩個約數的整數是質數，至少有3個約數的整數是合數，1只有一個約數，也就是它本身.

質數中只有一個偶數，就是2，其他質數都是奇數.但是奇數不一定是質數，例如，15，33，….

例1 ○+(□+△)=209.

在○、□、△中各填一個質數，使上面算式成立.

解：209可以寫成兩個質數的乘積，即

209=11×19.

不論○中填11或19，□+△一定是奇數，那麼□與△是一個奇數一個偶數，偶質數只有2，不妨假定△內填2.當○填19，□要填9，9不是質數，因此○填11，而□填17.

這個算式是 11×(17+2)=209，

11×(2+17)= 209.

解例9的首要一步是把209分解成兩個質數的乘積.把一個整數分解成若干個整數的乘積，特別是一些質數的乘積，是解決整數問題的一種常用方法，這也是這一節所講述的主要內容.

一個整數的因數中，為質數的因數叫做這個整數的質因數，例如，2，3，7，都是42的質因數，6，14也是42的因數，但不是質因數.

任何一個合數，如果不考慮因數的順序，都可以唯一地表示成質因數乘積的形式，例如

360=2×2×2×3×3×5.

還可以寫成360=23×32×5.

這裏23表示3個2相乘，32表示2個3相乘.在23中，3稱為2的指數，讀作2的`3次方，在32中，2稱為3的指數，讀作3的2次方.

例2 有四個學生，他們的年齡恰好是一個比一個大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那麼，他們的年齡各是多少?

解：我們先把5040分解質因數

5040=24×32×5×7.

再把這些質因數湊成四個連續自然數的乘積：

24×32×5×7=7×8×9×10.

所以，這四名學生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.

利用合數的質因數分解式，不難求出該數的約數個數(包括1和它本身).為尋求一般方法，先看一個簡單的例子.

我們知道24的約數有8個：1，2，3，4，6，8，12，24.對於較大的數，如果一個一個地去找它的約數，將是很麻煩的事.

因為24=23×3，所以24的約數是23的約數(1，2，22，23)與3的約數(1，3)之間的兩兩乘積.

1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.

這裏有4×2=8個，即 (3+1)×(1+1)個，即對於24=23×3中的23，有(3+1)種選擇：1，2，22，23，對於3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)×(1+1)種選擇.

這個方法，可以運用到一般情形，例如，

144=24×32.

因此144的約數個數是(4+1)×(2+1)=15(個).

例3 在100至150之間，找出約數個數是8的所有整數.

解：有8=7+1; 8=(3+1)×(1+1)兩種情況.

(1)27=128，符合要求，

37>150，所以不再有其他7次方的數符合要求.

(2)23=8，

8×13=104， 8×17=136，符合要求.

33=27;

只有27×5=135符合要求.

53=135，它乘以任何質數都大於150，因此共有4個數合要求：128，104，135，136.

利用質因數的分解可以求出若干個整數的最大公約數和最小公倍數.先把它們各自進行質因數分解，例如

720=24×32×5，168=23×3×7.

那麼每個公共質因數的最低指數次方的乘積就是最大公約數，上面兩個整數都含有質因數2，較低指數次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數是

23×3= 24.

在求最小公倍數時，很明顯每個質因數的最高指數次方的乘積是最小公倍數.請注意720中有5，而168中無5，可以認為較高指數次方是51=5.720與168的最小公倍數是

24×32×5×7=5040.

例4 兩個數的最小公倍數是180，最大公約數是30，已知其中一個數是90，另一個數是多少?

解：180=22×32×5，

30=2×3×5.

對同一質因數來説，最小公倍數是在兩數中取次數較高的，而最大公約數是在兩數中取次數較低的，從22與2就知道，一數中含22，另一數中含2;從32與3就知道，一數中含32，另一數中含3，從一數是

90=2×32×5.

就知道另一數是

22×3×5=60.

還有一種解法：

另一數一定是最大公約數30的整數倍，也就是在下面這些數中去找

30， 60， 90， 120，….

這就需要逐一檢驗，與90的最小公倍數是否是180，最大公約數是否是30.現在碰巧第二個數60就是.逐一去檢驗，有時會較費力.