有關五年級奧數題之質數合數和分解質因數問題

例8 一個整數a與1080的乘積是一個完全平方數.求a的最小值與這個平方數。

分析 ∵a與1080的乘積是一個完全平方數，

∴乘積分解質因數後，各質因數的指數一定全是偶數。

解：∵1080×a=23×33×5×a，

又∵1080=23×33×5的質因數分解中各質因數的指數都是奇數，

∴a必含質因數2、3、5，因此a最小為2×3×5。

∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

答：a的最小值為30，這個完全平方數是32400。

例9 問360共有多少個約數？

分析 360=23×32×5。

為了求360有多少個約數，我們先來看32×5有多少個約數，然後再把所有這些約數分別乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有約數.為了求32×5有多少個約數，可以先求出5有多少個約數，然後再把這些約數分別乘以1、3、32，即得到32×5的所有約數。

解：記5的約數個數為Y1，

32×5的約數個數為Y2，

360（=23×32×5）的約數個數為Y3.由上面的分析可知：

Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

顯然Y1=2（5只有1和5兩個約數）。

因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

所以360共有24個約數。

説明：Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數的個數，也就是其中2的最大指數加1，也就是360＝23×32×5中質因數2的個數加1；Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數的個數，也就是23×32×5中質因數3的個數加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數的個數，即23×32×5中質因數5的個數加1.因此

Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

對於任何一個合數，用類似於對23×32×5（=360）的約數個數的討論方式，我們可以得到一個關於求一個合數的約數個數的重要結論：

一個合數的.約數個數，等於它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加1的連乘的積。

例10 求240的約數的個數。

解：∵240＝24×31×51，

∴240的約數的個數是

（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

∴240有20個約數。

請你列舉一下240的所有約數，再數一數，看一看是否是20個？

例1 三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.