綜合法與分析法證明不等式

綜合法是一種推理方式，那它是怎麼來證明不等式的呢?下面就是學習啦小編給大家整理的綜合法證明不等式內容，希望大家喜歡。

若正數a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值範圍是?

解：ab-3=a+b>=2根號ab

令T=根號ab,

T^2-2T-3>=0

T>=3 or T<=-1(舍)

即，根號ab>=3，

故，ab>=9 (當且僅當a=b=3是取等號)

已知a，b，c為正實數，用綜合法證明

2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)

證明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0

--->(a+b)(a-b)^2>=0

--->(a^2-b^2)(a-b)>=0

--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0

--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2

同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2

三同向的不等式的兩邊相加得到

2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b

就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.證完

1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)

2.設x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關係為

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

對滿足a>b>c恆成立，則β的取值範圍是

1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)

解：lg(a^2+1)

<==>a^2+1

<==>a^2

<==>|a|<|b|≠=>a

且a|a|<|b|,

∴lg(a^2+1)

2.設x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關係為

解：x/(1+x)+1/2-1

=(x-1)/[2(x+1)]>0,

∴x/(1+x)+1/2>1.

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

對滿足a>b>c恆成立，則β的取值範圍是

解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化為

β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恆成立,

而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,

∴β的取值範圍是(-∞，4]。

綜合法是不等式證明的一種方法，這種方法是：根據不等式的性質和已經證明過的不等式來進行。 綜合法.從已知(已經成立)的不等式或定理出發，逐步推出(由因導果)所證的不等式成立.例如要證 ，我們從 ，得 ，移項得 .綜合法的證明過程表現為一連串的“因為……所以……”，可用一連串的“ ”來代替.

綜合法的證明過程是下一節課學習的不等式的證明的又一必須掌握的方法——分析法的思考過程的逆推，而分析法的證明過程恰恰是綜合法的思考過程。 實際上在前面兩個重要的不等式平方不等式和均值定理的證明及不等式的性質證明當中，我們已經運用了綜合法，但當時只是沒有提出或採用這個名字而已。本節課是不等式的證明的每第二節課，由於立方不等式已移至閲讀材料當中，故例題只有一個，是運用平方不等式來作為基礎工具。

一.比較法

所謂比較法，就是通過兩個實數a與b的差或商的符號(範圍)確定a與b大小關係的方法，即通過

來確定a,b大小關係的方法。

前者為作差法，後者為作商法。但要注意作差法適用範圍較廣;作商法再用時注意符號問題，如果同為正的話是沒有問題的，同為負的話記得改變不等式的符號。

二.分析法和綜合

這兩個方法我們一般會一起使用，分析法是從求證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化為證明這些條件是否具備的`問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那麼就可以判定所證的不等式成立。綜合法是從已知或證明過的不等式出發，根據不等式的性質及公理推導出欲證的不等式。

我們來看一個例題，已知

如果要用綜合法或者分析法的話，對於過程上需要寫明，即證，所以要證，也就是説，即等價於……一些轉化的語句來過渡我們的題目，當然這兩個方法我們經常一起用，因為分析完條件，分析結論，兩個一起分析做題速度更快一些呢。

三.反證法

從否定結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的。這個方法其實是按照集合的補集理論來的，正難則反，但是要注意用反證法證明不等式時，必須將命題結論的反面的各種情形都要考慮到，不能少的。

反證法證明一個命題的思路及步驟：

1) 假定命題的結論不成立;

2) 進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;

3) 由於上述矛盾的出現，可以斷言，原來的假定“結論不成立”是錯誤的;

4) 肯定原來命題的結論是正確的。

不等式知識點一、大學聯考數學中不等式考試要點

在解決問題時，要依據題設與結論的結構特點、內在聯繫、選擇適當的解決方案，最終歸結為不等式的求解或證明。大學聯考數學中不等式的應用範圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中。諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、複數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有着密切的聯繫，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。

(1)理解不等式的性質及其證明。

(2)掌握兩個(不擴展到三個)正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用。

(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。

(4)掌握簡單不等式的解法。

(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。

大學聯考數學不等式知識點二、大學聯考數學中不等式證明方法

1、大學聯考數學不等式證明方法之比較法

包括比差和比商兩種方法。

2、大學聯考數學不等式證明方法之綜合法

證明不等式時，從命題的已知條件出發，利用公理、定理、法則等，逐步推導出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因導果的方法。

3、大學聯考數學不等式證明方法之分析法

證明不等式時，從待證命題出發，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最後將命題成立的條件歸結為一個已經證明過的定理、簡單事實或題設的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執果索因的方法。

4、大學聯考數學不等式證明方法之放縮法

證明不等式時，有時根據需要把需證明的不等式的值適當放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達到證明的目的，這種方法稱為放縮法。

5、大學聯考數學不等式證明方法之數學歸納法

用數學歸納法證明不等式，要注意兩步一結論。

在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

6、大學聯考數學不等式證明方法之反證法

證明不等式時，首先假設要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結論，以此説明原假設的結論不成立，從而肯定原命題的結論成立的方法稱為反證法。