幾何法證明不等式如何解答

幾何法是如何證明不等式的呢?這類的證明要用到哪些證明方法呢?下面就是學習啦小編給大家整理的幾何法證明不等式內容，希望大家喜歡。

[(a+b)/2]^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈R，且a≠b)

設一個正方形的邊為C,有4個直角三角形拼成這個正方形,設三角形的一條直角邊為A,另一條直角邊為B, (B>A) A=B,剛好構成,若A不等於B時,側中間會出現一個小正方形,所以小正方形的面積為(B-A)^2,經化簡有(B+A)^2=4AB,所以有((A+B)/2)^2=AB,又因為(A^2+B^2)/2>=AB,所以有((A+B)/2)^2<=(A^2+B^2)/2,又因為A不等與B,所以不取等號

可以在直角三角形內解決該問題

=[(a+b)/2]^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。

比如證明 SIN x不大於x (x範圍是0到 兀/2，閉區間)

做出一個單位圓，

以O為頂點，x軸為角的一條邊

任取第一象限一個角x，

它所對應的弧長就是1*x=x

那個角另一條邊與圓有一個交點

交點到x軸的距離就是 SIN x

因為點到直線，垂線段長度最小，

所以SIN x 小於等於 x，當且盡當x=0時，取等

已經有的方法：第一數學歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重複遞歸利用結論法;凸函數性質法;

能給出其他方法的就給分

(a1+a2+...+an)/n≥()^(1/n)

一個是算術，一個是幾何。人類認認識算術才有幾何，人類吃飽了就去研究細微的東西，所以明顯有後者小於前者的結論，這麼簡單都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑歸搞笑，我覺得可以這樣做，題目結論相當於證

(a1+a2+...+an)/n-()^(1/n)≥0

我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-()^(1/n)這時n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個n元函數，它是沒有最大值的(這個顯然)

我們考慮各元偏導都等於0，得到方程組，然後解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，從而f≥0，裏面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。

要的是數學法證明也就是代數法 不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下

數學歸納法的基本原理、步驟和使用範圍

(1)在數學裏，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結論，那麼結論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法(通常也叫枚舉法)如果考察的只是某件事的部分情況，就得出一般結論，這種歸納法叫完全歸納法.這時得出的結論不一定可靠。數學問題中，有一類問題是與自然數有關的命題，因為自然數有無限多個，我們不可能就所有的自然數一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就部分自然數進行驗證所得到的結論，是不一定可靠的

例如一個數列的`通項公式是an(n25n5)2

容易驗證a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出結論——對於任何nN+, an(n25n5)2=1都成立，那是錯誤的.

事實上，a5=25≠1.

因此，就需要尋求證明這一類命題的一種切實可行、比較簡便而又滿足邏輯嚴謹性要求的新的方法——數學歸納法.

(2)數學歸納法是一種重要的數學證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地説，多米諾骨牌遊戲是遞推思想的一個模型，數學歸納法的基本原理相當於有無限多張牌的多米諾骨牌遊戲，其核心是歸納遞推.

一般地，當要證明一個命題對於不小於某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用一下兩個步驟：(1)證明當n=n0(例如n0=1或2等)時命題成立;

(2)假設當n=k(kN，且k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟以後，就可以斷定命題對於不小於n0所有自然數都成立.這種證明方法稱為數學歸納法.

自然數公理(皮亞諾公理)中的“歸納公理”是數學歸納法的理論根據，數學歸納法的兩步證明恰是驗證這條公理所説的兩個性質.數學歸納法的適用範圍僅限於與自然數n有關的命題.這裏的n是任意的正整數，它可取無限多個值.

附錄：下面是自然數的皮亞諾公理，供有興趣的同學閲讀.

任何一個象下面所説的非空集合N的元素叫做自然數，在這個集合中的某些元素a與b之間存在着一種基本關係：數b是數a後面的一個“直接後續”數，並且滿足下列公理：

①1是一個自然數;

②在自然數集合中，每個自然數a有一個確定“直接後續”數a’;

③a’≠1,即1不是任何自然數的“直接後續”數;

④由a’ =b’推出a=b,這就是説，每個自然數只能是另一個自然數的“直接後續”數;

⑤設M是自然數的一個集合，如果它具有下列性質：(Ⅰ)自然數1屬於M,(Ⅱ)如果自然數a屬於M，那麼它的一個“直接後續”數a’也屬於M，則集合M包含一切自然數.

其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數學歸納法的依據.

(3)數學歸納法可以證明與自然數有關的命題，但是，並不能簡單地説所有涉及正整數n的命題都可以用數學歸納法證明.

例如用數學歸納法證明(1+1)n(n N)的單調性就難以實現.一般來説，n

從k=n到k=n+1時，如果問題中存在可利用的遞推關係，則數學歸納法有用武之地，否則使用數學歸納法就有困難.

1.不等式證明的依據

(2)不等式的性質(略)

(3)重要不等式：①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)

②a2+b2≥2ab(a、b∈R，當且僅當a=b時取“=”號)

2.不等式的證明方法

(1)比較法：要證明a>b(a0(a-b<0)，這種證明不等式的方法叫做比較法.

用比較法證明不等式的步驟是：作差——變形——判斷符號.

(2)綜合法：從已知條件出發，依據不等式的性質和已證明過的不等式，推導出所要證明的不等式成立，這種證明不等式的方法叫做綜合法.

(3)分析法：從欲證的不等式出發，逐步分析使這不等式成立的充分條件，直到所需條件已判斷為正確時，從而斷定原不等式成立，這種證明不等式的方法叫做分析法.

證明不等式除以上三種基本方法外，還有反證法、數學歸納法等.