函數法證明不等式
已知函數f(x)=x-sinx,數列{an}滿足0
<1> 證明 0
<2>證明an+1<(1/6)×(an)^3
它提示是構造一個函數然後做差求導，確定單調性。可是還是一點思路都沒有，各位能不能給出具體一點的解答過程啊?
(1)f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx
00,f(x)是增函數,f(0)
因為0
且an+1=an-sinan
(2)求證不等式即(1/6)an^3-an+1=(1/6)an^3-an+sinan>0①
構造函數g(x)=(1/6)x^3-x+sinx(0
g''(x)=x-sinx,由(1)知g''(x)>0,所以g'(x)單增,g'(x)>g'(0)=0
所以g(x)單增且g(x)>g(0)=0,故不等式①成立
因此an+1<(1/6)×(an)^3 成立。
證畢!
構造分式函數，利用分式函數的單調性證明不等式
【例1】證明不等式：≥ (人教版教材P23T4)
證明：構造函數f(x)= (x≥0)
則f(x)==1-在上單調遞增
∵f(|a| + |b|)= f(|a + b|)=且|a| + |b|≥|a + b|
∴f(|a| + |b|)≥f(|a + b|) 即所證不等式正確。
點評：本題還可以繼續推廣。如：求證：≥。利用分式函數的單調性可以證明的教材中的習題還有很多，如：
P14第14題：已知c>a>b>0,求證:
P19第9題: 已知三角形三邊的長是a，b，c，且m是正數，求證：
P12例題2:已知a，b，m，都是正數，且a 二、利用分式函數的奇偶性證明不等式
【例2】證明不等式：(x≠0)
證明：構造函數f(x)=
∵f(-x)=
=f(x)
∴f(x)是偶函數，其圖像關於y軸對稱。
當x>0時，<0，f(x)<0;
當x<0時，-x>0,故f(x)=f(-x)<0
∴<0，即
三、構造一次函數，利用一次函數的單調性證明不等式
【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：a + b + c 證明：構造函數f(c)=(1-ab)c + a + b-2
∵|a|<1，|b|<1
∴-10
∴f(c)的(-1，1)上是增函數
∵f(1)=1-ab + a + b -2=a + b–ab -1=a(1 - b)-(1 - b)=(1 - b)(a -1)<0
∴f(1)<0，即(1-ab)c + a + b-2<0
∴a + b + c 。
【擴展閲讀篇】
用文字記載一個星期來的自己的思想、學習、生活情況的文字記錄。
它有別於“流水賬”，日記，在於流水賬是有什麼就記錄什麼，不需要作任何修飾和認識的昇華，而且內容不限，一週之內可以記錄您每一天的任何事情。而週記就是：每週一次，並且對自己的生活學習思想認識有一定的昇華。 週記是對個人和某個團體一週的所見、所聞、所思、所感、所惑、所獲的記錄。還可以寫一件在這一週裏讓你有所感觸的事。
編輯本段作用
從學生角度來説，週記用來了解學生的思想動態，學習情況，答疑解惑，並通過週記的形式而置一些跟教育主題有關的主題作文，提高學生的認識，從而在全班範圍內形成正確、積極、健康的輿論環境，併為主題班會準備材料，提高同學們參與的積極性。
從老師的角度來説，週記用來回顧一週的得失，提出經驗教訓，讓班主任對班上情況有一個更加詳細和全面的瞭解，提高工作的針對性和準確性。老師除了用來了解同學一週發生的事情外，還用來鍛鍊同學的文章水平，使同學文章水平得以提高。
編輯本段格式
週記的題目(寫作範圍：讀後感;見聞;趣事;數學週記......)
1.記事
2.自評(優，缺)
3.解決措施
4.下週計劃
5.自己的所見所聞所感
其實週記並沒有一種標準的格式，只需要同學們每週把自己的所看到的、聽到的、想到的、經歷的東西記下來，形成的文字片斷或一篇文章，一週寫一則就可以了。
編輯本段怎麼寫週記
不少同學又開始問了，週記怎麼寫?國小國中週記開頭怎麼寫?
如果是一個片斷，將事情寫清、將要表達的意思表達完整就行了，當然，時間充裕，你可以將前因後果，你的想法補充完整，形成一篇文章。不論無論，週記沒有什麼特殊規定的格式，跟我們平時説話寫文章一樣，要求就是條理清楚地説清一件事、一個想法。
週記的關鍵是要真，真事、真情、真想，不要虛構。用力表達你正經歷的、正思考的事，對提高你的寫作能力是有幫助的'，不要當作負擔，也不要覺得有任何壓力，因為真的，只要排列一下就行了。
同時，週記交給老師後，也可讓老師來了解你的生活、你的想法，或許對你有幫助。
去年也談過週記怎麼寫，轉到下面，大家再看看。
老師佈置了週記作業，怎麼寫呢?許多同學發了愁。
其實週記也好，日記也好，都是要寫一段時間內印象最深的事。週記就是本星期內的事。
回想一下這個星期發生了什麼，在學習上有什麼問題，班級裏有什麼新鮮事，和朋友老師間關係如何，這些都可以寫，和日記相比周記可以寫的內容更多了，需要突出一兩個重點。
如果大腦裏立刻就想起一二件事情，記憶深刻，那麼恭喜，你就有材料了，將它們的前因後果，事情經過，個人感想寫清楚吧。
有人會問：不好意思，一想到過去的幾天，我印象裏只記得吃了一次大餐，或者只記得被老師罵了一頓，或者跟同學鬧彆扭心裏不爽，這些都沒有重要意義，怎麼能寫呢?告訴你，既然你想到了，就説明是值得寫的。有意義的事情，不一定非得是意義重大，思想崇高，自己的生活瑣事，也是值得一寫的，只要你寫出你的感受。我們每天的日子不都是這些細小的沙子一樣的事情組成的嗎?這些沙子，串起了我們的歡笑，串起了我們的憂愁，串起了我們的無聊，引領着我們一天天，不知不覺地在長大。
更有一些同學説，這個周最無味，什麼也沒有發生，沒什麼可寫的。再想想，再想想，多個心眼，仔細觀察，你會找到的。
