切比雪夫不等式的推導證明方法

切比雪夫不等式是一個有名的公式，關於這個公式的證明方法是怎樣的呢?下面就是本站小編給大家整理的切比雪夫不等式證明內容，希望大家喜歡。

試利用切比雪夫不等式證明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續拋1000次，其出現正面的次數在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續拋1000次可看成是1000重貝努利試驗,因此

1000次試驗中出現正面H的次數服從二項分佈.

解:設X表示1000次試驗中出現正面H的次數,則X是一個隨機變量,且

~XB(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npEX,

250)

2

答題完畢，祝你開心!

1

1(

2

1

1000)1(= ××= =pnpDX,

而所求的概率為

}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP

}100{< =EXXP

975.0

100

1

2

= ≥

DX

切比雪夫(Chebyshev)不等式

對於任一隨機變量X ,若EX與DX均存在,則對任意ε>0,

恆有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2

切比雪夫不等式説明，DX越小，則 P{|X-EX|>=ε}

越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是説，隨機變量X取值基本上集中在EX附近，這進一步説明了方差的意義。

同時當EX和DX已知時，切比雪夫不等式給出了概率P{|X-EX|>=ε}的一個上界，該上界並不涉及隨機變量X的具體概率分佈，而只與其方差DX和ε有關，因此，切比雪夫不等式在理論和實際中都有相當廣泛的應用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應用廣泛，但在一個具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數據集中，與平均數超過K倍標準差的'數據佔的比例至多是1/K^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機變數的「幾乎所有」值都會「接近」平均。這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個標準差的值，數目不多於1/4

與平均相差3個標準差的值，數目不多於1/9

與平均相差4個標準差的值，數目不多於1/16

由切比雪夫提出，描述如下：

設隨機變量X的數學期望和方差都存在，則對任意常數 ε>0，有P( | X - E(X) | ≥ ε ) ≤ D(X) / ε² ，或P( | X - E(X) | < ε ) ≥ 1 - D(X) / ε²。

在初等數論中，若a1≤a2≤……≤an，b1≤b2≤……≤bn，則a1bn+a2b(n-1)+……+anb1≤(a1+……+an)(b1+……+bn)/n≤a1b1+a2b2+……+anbn 。

19世紀俄國數學家切比雪夫[3] 研究統計規律中，論證並用標準差表達了一個不等式，這個不等式具有普遍的意義，被稱作切比雪夫定理 chebyshev's theorem 其大意是 ：

任意一個數據集中，位於其平均數m個標準差範圍內的比例(或部分)總是至少為1-1/㎡，其中m為大於1的任意正數。對於m=2，m=3和m=5有如下結果：

所有數據中，至少有3/4(或75%)的數據位於平均數2個標準差範圍內。

所有數據中，至少有8/9(或88.9%)的數據位於平均數3個標準差範圍內。

所有數據中，至少有24/25(或96%)的數據位於平均數5個標準差範圍內 。

其計算公式通常表示為：

μ為X的均值，sigma為X的標準差。