複變函數學結

好久沒更新博客了，原因很多；主要的一點是我在中途換了本書，由《複變函數及應用》換成了《複分析基礎及工程應用》，然後又從頭看了。現在大概説説這門學問的學習感受吧！

首先，與微積分相比，它的學習難度要小很多，裏面的大部分證明都是短小精悍，非常容易接受的；但是個別定理，比如柯西定理等等，由於受到拓撲知識的約束，一般書上都會略去不證。但是，學的時候一定要注意跟微積分中一些結論的區別，例如：在某一點解析，那麼就有無窮次導數；柯西積分公式，洛朗級數，留數等。

其次，説説跟學習的內容吧，一般而言都是上來先講複數，然後將解析函數，然後講一些常用的函數（例如指數，對數，三角，多項式），然後講復積分，然後講級數，然後講留數，最後有的書會將初等映射。相比之下，前3章（復積分之前），都是在打基礎，解析函數的知道滿足的關係式，具體函數中注意log的分支，指數函數的定義稍有奇葩外，都是一些簡單的東西，到了復積分，可以説才有了復變自己的內容。積分不僅在實數上是困難的，在複數上也是一樣，所以這一章的內容主要圍繞如何算復積分展開。總體上講，有3種方法：參數方程、如果解析，求原函數、柯西積分公式，其中第3種方法是復變特有的。到了級數部分其實是既熟悉又陌生的。泰勒級數大家都會，但是講完泰勒級數以後還會講一個冪級數，為洛朗級數做準備，而在講洛朗級數時，不論前面的定義如何，但落實到具體計算時，都是轉化為與冪級數相關的形式計算。而留數的作用，我理解有的時候也是在幫你算積分：柯西定理告訴你，如果解析，那麼積分為0，柯西積分公式告訴你如果有1個極點，那麼該如何處理，而留數告訴你，如果有多個極點，該如何處理。關於留數的應用，很大一部分都是再算積分（一般或者反常積分）！基本思想也差不多，可見計算積分一直是所有人的心頭大患，想法利用簡單的.方法搞定是數學家們的期望。

最後，復變還稍微學了一點以前公認的東西，例如代數學基本定理的證明使用復變就很簡單。

最後，對比一下上面提到的兩本書吧。個人感覺《複分析基礎及工程應用》是一本更好的教科書，主要原因在於：

1.結構，章節條目更清晰，而且，定義，定理，以及對定理的證明都用粗體標出來了，書後也有便於查閲用的索引頁碼。而且清楚的告訴了讀者，那些內容講了，那些內容只講了特例，哪些內容沒講。而且每章後有簡短的總結，幫你梳理主要內容。

2.它的講述的內容更加細緻，深入，比如：在初等函數這一章，專門證明了如何部分分式展開；在積分那一張，他給出的復積分的定義是分隔求和取極限，而《複變函數及應用》則直接用的是參數方程定義，感覺很不協調。在級數那一張，它就專門講了級數收斂的判別法及相關的內容；而在柯西積分定理中，使用了向量分析（格林公式）證明，又使用了周線變形法證明；

3.《複分析基礎及工程應用》中應用的例子講的是與通信緊密相關的傅里葉變換，拉普拉斯變換，z變換等內容，更適合工科學生，而《複變函數及應用》的例子更偏物理一些。

4.《複分析基礎及工程應用》中共性映射的講-法是先給出概念，然後舉一些例子；而《複變函數及應用》則是先給出一些映射的例子，然後再講共性映射，這樣感覺開始會有點迷茫，不過我也就是看一個基本概念，因為工作中似乎用不到。

當然《複變函數及應用》的優點也是很明顯的，它略去了很多繁瑣的細節，直奔主題，如果你想直接搞清楚怎麼用，學這本會更快一些。很多章節的安排都是先告訴你一個定理，然後舉好幾個例子，最後再給出定理的證明。而且課後題也會稍微簡單一點，偏計算為主，證明題稍微複雜一點的，都會給出提示。

應用部分我只看了《複分析基礎及工程應用》，因為它們與通信專業關係非常密切；《複變函數及應用》的應用比較偏物理，我覺得還是算了吧。

複變函數學結 [篇2]

數學學科發展到現在,已成為了分支眾多的學科之一，複變函數則是其中一個非常重要的分支，是19世紀，cauchy, riemann, weierstrass 等數學家分別從不同角度建立了複變函數的系統理論，使複變函數真正成為分析數學的一個重要分支。

複變函數是複數域上的微積分，是基於解決數學內部矛盾的間接需要而產生的，是由於在生產實際和科學研究中發現了應用原型而發展起來的!

複變函數現在是大學理工科專業和數學院係數學類專業的一門重要的基礎課,但是複變函數的學習要有高等數學的基礎,如果沒有這方面的知識,學習複變函數無疑會非常困難,因為這門課程在初學者看來非常抽象,理論性太強。作為複變函數的教學工作者,如何使得這門課程的課堂變得生動有趣,而且使學生在學習過程中容易理解,是我們不得不思考的問題。

由於複變函數的導數與可導性、微分與可微性是利用類比的方法從一元實變函數相應概念推廣到複數域後得到的，它們在形式上與一元實變函數的導數、可導性與微分一致，因此在教學中應當勤於和善於比較，既要重視共性，更要注意不同點，切實關注在推廣到複數域後出現了什麼新情況和新問題，探討出現新問題的原因何在。

在這篇報告中,王錦森先生非常生動地介紹了複變函數課程的改革思路和分別討論了複變函數教學中的難點和重點，並且這些難點和重點的教學方法。

難點和重點介紹方面：討論了“在複變函數可導性(從而判斷函數解析性)的充要條件中，為什麼要求函數的實部和虛部必須滿足cauchy-riemann方程?”內在含義，複變函數的導數的幾何意義是否跟實變函數導數的幾何意義相同?，一元實函數的微分中值定理能不能推廣到複變函數中來?，復變初等函數與相應的實變初等函數之間的關係與差別，複變函數的積分與一元實變函數的第二型曲線積分的不同之處，即，它們積分和式的結構不同，積分的表達形式不同，物理意義不同等等，還討論了學習cauchy-goursat 基本定理應當注意的幾個問題，複變函數積分中有沒有與一元實變函數微積分中的微積分基本定理和newton-leibniz公式相對應的結論等等。

這些難點和重點教學法方面介紹了類比教學法，化“復”為“實”，用“已知”解決“未知”的思想等教學法。

參加培訓之前我沒有考慮過這些問題，通過這次學習，我對這些難點與重點的認識進一步深入了。以後的教學過程中用到所學的知識，為提高教學質量而努力。