國小奧數競賽獵狗追兔問題

獵狗追兔問題是行程問題中比較典型的一類題，該類問題除考察追及問題的基本公式外，還要綜合運用比例、份數等手段解決。解題思想是將兩種動物單位化為統一，然後用路程差除以速度差得到追及時間，或者由速度比得出路程比，再引入份數思想，進而解決問題。以下題為例：

【例1】一獵狗正在追趕前方20米遠兔子,已知狗一跳前進3米,而兔子一跳前進2.1米,但狗跳3次的時間兔子可以跳4次,問獵狗跑多少米能追上兔子?

【 分析】狗跳3次的時間兔子可以跳4次，設都等於一秒

則狗速度為9米/秒，兔速度為8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以確定，接下來將是一個非常簡單的追及問題，路程差為20米，可列式子20÷（9－8.4）=100/3（秒）能夠追上兔子。

用時20/(9-8.4)秒時間追上，即 狗跑了9×100/3=300米

從以上例題我們可以看出，解決此類問題的關鍵在於：根據時間相同，將其設為單位時間（1秒），問題簡單解決。

我們再看下一道題：

【例2】 獵狗前面26步遠有一隻野兔,獵狗追之,兔跑8步的時間狗跑5步,兔跑9步的距離等於狗跑4步的距離,問:兔跑多少步後被獵狗抓獲?此時獵狗跑了多少米?

【 分析】兔8步的時間狗跑5步,設都為1秒 （一次設數）

再根據兔跑9步的距離等於狗跑4步的距離

設兔子一步4米，狗一步9米 （二次設數）

從而得出 狗速度為45米/秒，兔速度為32米/秒

進而狗兔相距26×9=234米，追及時間為 234÷(45-32)=18（秒）

兔子一秒跑8步，總共跑了9×18=144步

狗一秒跑45米，總共跑了45×18=810米

此題不同於第一道題的地方在於並未直接告訴我們狗與兔的步長，而給出兩者步長的關係，解決問題時可再一次設數，將狗與兔的數據調換，作為其步長，問題轉化同例1.

根據以上兩道例題， 做以下總結，稱之為“兩次設數法”：

獵狗追兔問題“兩次設數法”：

國小 奧數 競賽 獵狗追兔

①設單位時間，得出每秒幾步；

②設步長，從而得出各自速度；

之後運用追及基本公式解決。但要注意開始時的距離是步長還是米，以及最終所問的是米還是狗步或兔步。

【練習】獵狗發現離它110米處有一隻奔跑的兔子，馬上緊追上去，獵狗跑5步的距離兔子要跑9步，獵狗跑2步的時間兔子要跑3步，問獵狗跑多遠才能追上兔子？

1.獵犬發現在離它9米遠的前方有一隻奔跑的兔子，立刻追趕，獵犬步子大.它跑5步的路程，兔子跑9步，但兔子動作快，獵犬跑2步的時間，兔子跑3步，獵犬至少跑多少米才能追上兔子?

思路一：狗5步=兔子9步步幅之比=9：5

狗2步時間=兔子3步時間步頻之比=2：3

則速度之比是9×2：5×3=6：5

這個9米應該是9步單位好像錯了

是指狗的9步距離

6×9/(6-5)=54步

思路二：

速度=步頻×步幅

獵犬：兔子=2×9：3×5=18：15，18-15=3，

9÷3=3

18×3=54

2.獵狗發現離它110米處有一隻奔跑的兔子，馬上緊追上去，獵狗跑5步的距離兔子要跑9步，獵狗跑2步的時間兔子要跑3步，問獵狗跑多遠才能追上兔子？

答案：設狗的步進為L1，兔子為L2，狗的跑步頻率為f1，兔子為f2，顯然有：L1/L2=9/5，f1/f2=2/3又設狗的.速度為v1，兔子為v2，則v1/v2=(L1*f1)/(L2*f2)=6/5設狗跑了x米追上兔子，則因為時間相等，有：x/v1=110/(v1-v2)所以：x=110*v1/(v1-v2)=110/(1-v2/v1)=660狗要跑660米設：獵狗跑1步的距離x米，兔子跑1步的距離y米，獵狗跑a米遠才能追上兔子

國小 奧數 競賽 獵狗追兔

∵獵狗跑5步的距離兔子要跑9步∴5x=9y∵獵狗跑2步的時間兔子要跑3步，而獵狗與兔子跑的時間相等∴a/2x=a-110/3y解┌5x=9y└a/2x=a-110/3y得(步驟略)a=660答：獵狗跑660米遠才能追上兔子。

3.獵狗前面26步遠的地方有一野兔，獵狗追之。兔跑8步的時間狗只跑5步，但兔跑9步的距離僅等於狗跑4步的距離。問兔跑幾步後，被狗抓獲？

答案：

解法一：設兔的步長為1，則狗的步長為9/4，兔跑一步的時間為1，則狗跑一步的時間為8/5。26×9/4÷(9/4÷8/5－1)=144(步)

解法二：設狗的步長為1，則兔的步長為4/9，設兔跑一步的時間為1，則狗跑一步的時間為8/5。26÷(1÷8/5－4/9)＝144（步）

4.獵犬發現在離它10米的前方有一隻奔跑的兔，馬上追.獵犬的步子大，它跑5步等於兔跑9步，兔子動作快，獵犬2步時它能跑3步，獵犬至少跑多少米才能追上兔子？

答案：

解法1：由"獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步"可知當獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由"獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步"可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是説當獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完。

解法2：在相同的時間裏，狗跑的路程與兔子跑的路程的比是：9×2∶5×3=6：5狗跑6份可以追上兔子1份把10米看成1份，狗要跑10×6＝60米

5.獵人帶狗去打獵。發現兔子跑出去70米時，獵狗立即去追兔子。獵狗跑2步的時間兔子跑3步，獵狗跑7步的距離兔子跑13步。那麼獵狗跑多少米才能追上兔子？

答案：

解法1：設獵狗要跑x米才能追上兔子兔與狗所用時間比為：13/3÷（7/2)=26/21速度比為21/26(x-70)：x=21：26x=364獵狗要跑364米才能追上兔子

解法2：獵狗跑7步的距離兔子跑13步。説明獵狗跑一步等於兔子跑13/7步，獵狗跑2步的時間兔子跑3步，所以相同時間內，獵狗和兔子跑的距離的比是13/7*2：3=26：21，設獵狗跑X米才能追上兔子，則X-21X/26=70X=364米獵狗跑364米才能追上兔子

獵狗追趕前方30米處的野兔.獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。狗至少跑出多遠才能追上野兔？（思考：此時兔子跑了多少米？）

【解析一】獵狗跑12步的路程兔子要跑21步，獵狗跑12步的時間兔子要跑16步，在獵狗跑12步這個單位時間內，兩者的速度差為兔子的5步，所以獵狗追擊距離為：30÷5×21=126（米）.

【解析二，推薦】此處求狗跑了多少米，所以統一兔子。

題目條件統一兔子

距離兔7步，狗4步兔28步，狗16步

時間兔4步，狗3步兔28步，狗21步

所以兔子跑28步時間內，狗比兔子多跑狗步長的21-16=5步。狗要跑30÷5×21=126米才能追上兔子。

思考：如果要求兔子跑了多少米，就得統一狗。

題目條件統一兔子

距離兔7步，狗4步兔21步，狗12步

時間兔4步，狗3步兔16步，狗12步

所以狗跑12步時間內，狗比兔子多跑兔步長的21-16=5步。兔要跑30÷5×16=96米才能追上兔子。當然也可以用126米-30米=96米。