國小奧數輔導：雞兔同籠問題與假設法

雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多國小算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。

　　例1 小紅家的雞與兔關在同一個籠子裏，數頭有16個，數腳有44只。問：小紅家的雞與兔各有多少隻?

分析：假設16只都是雞，那麼就應該有2×16=32(只)腳，但實際上有44只腳，比假設的情況多了44-32=12(只)腳，出現這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數量的兔去換同樣數量的雞，那麼每換一隻，頭的數目不變，腳數增加了2只。因此只要算出12裏面有幾個2，就可以求出兔的只數。

解：有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只)，

有雞16-6=10(只)。

答：有6只兔，10只雞。

當然，我們也可以假設16只都是兔子，那麼就應該有4×16=64(只)腳，但實際上有44只腳，比假設的'情況少了64-44=20(只)腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一隻，頭的數目不變，腳數減少了4-2=2(只)。因此只要算出20裏面有幾個2，就可以求出雞的只數。

有雞(4×16-44)÷(4-2)=10(只)，

有兔16——10=6(只)。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常採用假設法，可以先假設都是雞，然後以兔換雞;也可以先假設都是兔，然後以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

　　例2 今有100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少個?

分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那麼就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。

假設100人全是大和尚，那麼共需饃300個，比實際多300-140=160(個)。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少3——1=2(個)，因為160÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有

100-80=20(人)。

同樣，也可以假設100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。

　　例3 得力文化用品商行出售“得力”牌文化用品每套19元，“藍天”牌文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套?

分析與解：我們設想有一隻“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。

假設買了16套“得力”文化用品，則共需19×16=304(元)，比實際多304——280=24(元)，現在用“藍天”文化用品去換“得力”文化用品，每換一套少用19——11=8(元)，所以

買“藍天”文化用品 24÷8=3(套)，

買“得力”文化用品 16-3=13(套)。

　　例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少隻?

分析：假設100只都是雞，沒有兔，那麼就有雞腳200只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這説明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200——20=180(只)。

現在以兔換雞，每換一隻，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，雞100——30=70(只)。

解：有兔(2×100——20)÷(2+4)=30(只)，

有雞100——30=70(只)。

答：有雞70只，兔30只。

　　一、例題精講：

例1 現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個?

解：小瓶有(4×50-20)÷(4+2)=30(個)，

大瓶有50-30=20(個)。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

例2 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那麼這批鋼材有多少噸?

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144(噸)。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9(輛)小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9=16(噸)。由此可求出這批鋼材有多少噸。

解：4×36÷(45-36)×45=720(噸)。

答：這批鋼材有720噸。

例3 樂樂百貨商店委託搬運站運送500只花瓶，雙方商定每隻運費0.24元，但如果發生損壞，那麼每打破一隻不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾隻花瓶?

分析：假設500只花瓶在搬運過程中一隻也沒有打破，那麼應得運費0.24×500=120(元)。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5(元)。搬運站每打破一隻花瓶要損失0.24+1.26=1.5(元)。因此共打破花瓶4.5÷1.5=3(只)。

解：(0.24×500-115.5)÷(0.24+1.26)=3(只)。

答：共打破3只花瓶。

例4 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然後兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那麼小喜比小樂共多跳了多少下?

分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那麼兩人跳的總數減少了

12×(2+3)=60(下)。

可求出小樂每分鐘跳

(780—60)÷(2+3+3)=90(下)，

小樂一共跳了90×3=270(下)，因此小喜比小樂共多跳

780—270×2=240(下)。

　　二、考練：

1.雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少隻?

2.學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副?

3.班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本?

4.龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾隻?

5.小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張?

6.一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天?

7.振興國小六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那麼他做對了幾道題?

8.有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每隻大筐比每隻小筐多裝運20千克，那麼這批水果有多少千克?

9.蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾隻?

10.雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾隻?

　　三、考練參考答案：

1.兔75只，雞25只。

2.象棋9副，跳棋17副。

3.活頁簿21本，日記本11本。

4.30只龜，70只鶴。

5.賀年卡5張，明信片9張。

6.6天。 7.15道。

8.4800千克。

解：[(80×20)÷(120-80)]×120=4800(千克)。

9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。

提示：把小蟲分成8條腿與6條腿兩種，先求出蜘蛛的數。

10.兔18只，雞14只。

解：由於雞換成兔，兔換成雞，腳的只數少了8只，故原來的兔比雞多4只。減去這4只兔，則雞、兔一樣多，並且共有腳100-4×4=84(只)，所以，

雞有84÷(4+2)=14(只)，

兔有14+4=18(只)。