2018屆上海市虹口區高三數學模擬試卷及答案
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一、填空題(1～6題每小題4分，7～12題每小題5分，本大題滿分54分)
1、集合 ， ，則 .
2、複數 所對應的點在複平面內位於第 象限.
3、已知首項為1公差為2的等差數列 ，其前 項和為 ，則 .
4、若方程組 無解，則實數 .
5、若 的二項展開式中，含 項的係數為 ，則實數 .
6、已知雙曲線 ,它的漸近線方程是 ,則 的值為 .
7、在 中，三邊長分別為 ， ， ，則 ___________.
8、在平面直角座標系中，已知點 ，對於任意不全為零的實數 、 ，直線 ，若點 到直線 的距離為 ，則 的取值範圍是 .
9、函數 ，如果方程 有四個不同的實數解 、 、 、 ，則 .
10、三條側稜兩兩垂直的正三稜錐，其俯視圖如圖所示，主視圖的邊界是底邊長為2的等腰三角形，則主視圖的面積等於 .
11、在直角 中， ， ， ， 是 內一點，且 ，若 ，則 的最大值 .
12、無窮數列 的前 項和為 ，若對任意的正整數 都有 ，則 的可能取值最多有 個.
二、選擇題(每小題5分，滿分20分)
13、已知 ， ， 都是實數，則“ ， ， 成等比數列”是“ 的( )
充分不必要條件 必要不充分條件 充要條件 既不充分也不必要條件
14、 、 是空間兩條直線， 是平面，以下結論正確的是( ).
如果 ∥ ， ∥ ，則一定有 ∥ . 如果 ， ，則一定有 .
如果 ， ，則一定有 ∥ . 如果 ， ∥ ，則一定有 .
15、已知函數 ， 、 、 ，且 ， ， ，則 的值( )
一定等於零. 一定大於零. 一定小於零. 正負都有可能.
16、已知點 與點 在直線 的兩側，給出以下結論：
① ;②當 時， 有最小值，無最大值;③ ;
④當 且 時， 的取值範圍是 .
正確的個數是( )
1 2 3 4
三、解答題(本大題滿分76分)
17、(本題滿分14分.第(1)小題7分，第(2)小題7分.)
如圖 是直三稜柱，底面 是等腰直角三角形，且 ，直三稜柱的高等於4，線段 的中點為 ，線段 的'中點為 ，線段 的中點為 .
(1)求異面直線 、 所成角的大小;
(2)求三稜錐 的體積.
18、(本題滿分14分.第(1)小題7分，第(2)小題7分.)
已知定義在 上的函數 是奇函數，且當 時， .
(1)求 在區間 上的解析式;
(2)當實數 為何值時，關於 的方程 在 有解.
19、(本題滿分14分.第(1)小題6分，第(2)小題8分.)
已知數列 是首項等於 且公比不為1的等比數列， 是它的前 項和，滿足 .
(1)求數列 的通項公式;
(2)設 且 ，求數列 的前 項和 的最值.
20、(本題滿分16分.第(1)小題3分，第(2)小題5分，第(3)小題8分.)
已知橢圓 ，定義橢圓 上的點 的“伴隨點”為 .
(1)求橢圓 上的點 的“伴隨點” 的軌跡方程;
(2)如果橢圓 上的點 的“伴隨點”為 ，對於橢圓 上的任意點 及它的“伴隨點” ，求 的取值範圍;
(3)當 ， 時，直線 交橢圓 於 ， 兩點，若點 ， 的“伴隨點”分別是 ， ，且以 為直徑的圓經過座標原點 ，求 的面積.
21、(本題滿分18分.第(1)小題3分，第(2)小題6分，第(3)小題9分.)
對於定義域為 的函數 ，部分 與 的對應關係如下表：
1 2 3 4 5
0 2
2 0
0 2
(1)求 ;
(2)數列 滿足 ，且對任意 ，點 都在函數 的圖像上，求 ;
(3)若 ，其中 ， ， ， ，求此函數的解析式，並求 ( ).
2018屆上海市虹口區高三數學模擬試卷答案一、填空題(1～6題每小題4分，7～12題每小題5分，本大題滿分54分)
1、 ; 2、四; 3、 ; 4、 ; 5、1; 6、2 ;
7、 ; 8、 ; 9、4; 10、 ; 11、 ; 12、91;
二、選擇題(每小題5分，滿分20分)
13、 ; 14、 ; 15、 ; 16、 ;
三、解答題(本大題滿分76分)
17、(14分)解:(1)以A為座標原點， 、 、 分別為 軸和 軸建立直角座標系.
依題意有 (2，2，4)， (0，0，0)， (2，2，0)， (0，4，2)
所以 .……………………3分
設異面直線 、 所成角為角，
所以 ，
所以異面直線 、 所成角的大小為 …………7分
(2) 線段 的中點為 ，線段 的中點為 ，由 ，高 ，得 ， ， ………………3分
由 為線段 的中點，且 , ,由 面 , ，
得 面 ,
三稜錐 的體積為 體積單位.……………………7分
18、(14分)解：(1)設 ，則 ，
是奇函數，則有 …………4分
………………7分
(2)設 ，令 ，則 ，而 .
，得 ，從而 ， 在 的取值範圍是 .…………………………11分
又設 ，則 ，由此函數是奇函數得 ， ，從而 .………………13分
綜上所述， 的值域為 ，所以 的取值範圍是 .…………14分
19、(14分)解：(1) ， ， .……2分
整理得 ，解得 或 (捨去).………………4分
.………………6分
(2) .………………8分
1)當 時，有 數列 是以 為公差的等差數列，此數列是首項為負的遞增的等差數列.
由 ，得 .所以 . 的沒有最大值.………11分
2)當 時，有 ，數列 是以 為公差的等差數列，此數列是首項為正的遞減的等差數列.
，得 ， . 的沒有最小值.…………14分
20、(16分)解：(1)解.設 ( )由題意 則 ，又
，從而得 ……………………3分
(2)由 ，得 .又 ，得 .…………5分
點 在橢圓上， ， ，且 ，
，
由於 ， 的取值範圍是 ……8分
(3) 設 ,則 ;
1)當直線 的斜率存在時,設方程為 , 由
得 ; 有 ① ……10分
由以 為直徑的圓經過座標原點O可得: ;
整理得: ②
將①式代入②式得: ,………………………… 12分
又點 到直線 的距離
所以 ……………………14分
2) 當直線 的斜率不存在時,設方程為
聯立橢圓方程得 ;代入 得 ，解得 ,從而 , 綜上: 的面積是定值, ……………………16分
21、(18分)解：(1) ……………………3分
(2)
,週期為4 , 所以 = .……………………9分
(3)由題意得 由
又 而 …………11分
從而有
…………………………13分
此函數的最小正週期為6,
…………14分
1)當 時.
.……………………16分
2)當 時.
.………………18分
