2018屆上海市普陀區高三數學模擬試卷及答案
大學聯考即將來臨,我們應該怎麼去複習好數學呢,我們可以通過多做數學模擬試卷來複習,以下是本站小編為你整理的2018屆上海市普陀區高三數學模擬試卷,希望能幫到你。
2018屆上海市普陀區高三數學模擬試卷題目一.填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題,考生必須在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果,第1~6題每個空格填對得4分,第7~12題每個空格填對得5分,否則一律得零分.
1.已知 ,則 ▲ .
2.已知集合 則 ▲ .
3.若複數 ( 是虛數單位),且 為純虛數,則實數 = ▲ .
4.直線 ( 為參數)對應的普通方程是 ▲ .
5.若 ,且 ,則 的值為 ▲ .
6.某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的側面積是 ▲ .
7.若函數 在區間 上有零點,則實數 的取值範圍是 ▲ .
8.在約束條件 下,目標函數 的最大值為 ▲ .
9.某學生在上學的路上要經過2個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是 ,則這名學生在上學路上到第二個路口時第一次遇到紅燈的概率是 ▲ .
10.已知橢圓 的左、右焦點分別為 ,記 .若此橢圓上存在點 ,使 到直線 的距離是 與 的等差中項,則 的最大值為 ▲ .
11.如圖同心圓中,大、小圓的半徑分別為2和1,點 在大圓上, 與小圓相切於點 , 為小圓上的點,則 的取值範圍是 ▲ .
12.已知遞增數列 共有 項,且各項均不為零, ,如果從 中任取兩項 ,當 時, 仍是數列 中的項,則數列 的各項和 ▲ .
二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題有且只有一個正確答案,考生必須在答題紙相應編號上,將代表答案的小方格塗黑,選對得5分,否則一律得零分.
13.設 分別是兩條異面直線 的方向向量,向量 夾角的取值範圍為 , 所成角的'取值範圍為 ,則“ ”是“ ”的
(A) 充要條件
(B) 充分不必要條件
(C) 必要不充分條件
(D) 既不充分也不必要條件
14. 將函數 圖像上的點 向左平移 個單位,得到點 ,若 位於函數 的圖像上,則
(A) , 的最小值為 (B) , 的最小值為
(C) , 的最小值為 (D) , 的最小值為
15.某條公共汽車線路收支差額 與乘客量 的函數關係如圖所示(收支差額 車票收入 支出費用),由於目前本條線路虧損,公司有關人員提出了兩條建議:建議(Ⅰ)不改變車票價格,減少支出費用;建議(Ⅱ)不改變支出費用,提高車票價格,下面給出的四個圖形中,實線和虛線分別表示目前和建議後的函數關係,則
(A) ①反映了建議(Ⅱ),③反映了建議(Ⅰ)
(B) ①反映了建議(Ⅰ),③反映了建議(Ⅱ)
(C) ②反映了建議(Ⅰ),④反映了建議(Ⅱ)
(D) ④反映了建議(Ⅰ),②反映了建議(Ⅱ)
16.設函數 的定義域是 ,對於以下四個命題:
(1) 若 是奇函數,則 也是奇函數;
(2) 若 是周期函數,則 也是周期函數;
(3) 若 是單調遞減函數,則 也是單調遞減函數;
(4) 若函數 存在反函數 ,且函數 有零點,則函數 也有零點.
其中正確的命題共有
(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個
三.解答題(本大題滿分76分)本大題共有5題,解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
17.(本題滿分14分;第1小題6分,第2小題8分)
直三稜柱 中,底面 為等腰直角三角形, , , , 是側稜 上一點,設 .
(1) 若 ,求 的值;
(2) 若 ,求直線 與平面 所成的角.
18.(本題滿分14分;第1小題6分,第2小題8分)
設函數 ,函數 的圖像與函數 的圖像關於 軸對稱.
(1)若 ,求 的值;
(2)若存在 ,使不等式 成立,求實數 的取值範圍.
19.(本題滿分14分;第1小題6分,第2小題8分)
如圖所示, 是某海灣旅遊區的一角,其中 ,為了營造更加優美的旅遊環境,旅遊區管委會決定在直線海岸 和 上分別修建觀光長廊 和AC,其中 是寬長廊,造價是 元/米, 是窄長廊,造價是 元/米,兩段長廊的總造價為120萬元,同時在線段 上靠近點 的三等分點 處建一個觀光平台,並建水上直線通道 (平台大小忽略不計),水上通道的造價是 元/米.
(1) 若規劃在三角形 區域內開發水上游樂項目,要求 的面積最大,那麼 和 的長度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道 還需要多少錢?
20.(本題滿分16分;第1小題4分,第2小題6分,第3小題6分)
設直線 與拋物線 相交於不同兩點 、 ,與圓
相切於點 ,且 為線段 中點.
(1) 若 是正三角形( 是座標原點),求此三角形的邊長;
(2) 若 ,求直線 的方程;
(3) 試對 進行討論,請你寫出符合條件的直線 的條數(直接寫出結論).
21.(本題滿分18分;第1小題4分,第2小題6分,第3小題8分)
對於數列 ,定義 , .
(1) 若 ,是否存在 ,使得 ?請説明理由;
(2) 若 , ,求數列 的通項公式;
(3) 令 ,求證:“ 為等差數列”的充要條件是“ 的前4項為等差數列,且 為等差數列”.
2018屆上海市普陀區高三數學模擬試卷答案一.填空題(本大題共54分)第1~6題每個空格填對得4分,第7~5題每個空格填對得5分
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11 . 12.
二、選擇題 (每小題5分,共20分)
13. C 14.A 15. B 16.B
三.解答題(共78分)
17.(1)以 為座標原點,以射線 、 、 分別為 、 、 軸建立空間直角座標系,如圖所示,
則 , , , ……………………2分
, ……………………4分
由 得 ,即
解得 . ……………………6分
(2) 解法一:此時
……………8分
設平面 的一個法向量為
由 得
所以 ……………………10分
設直線 與平面 所成的角為
則 ……………12分
所以直線 與平面 所成的角為 ………………14分
解法二:聯結 ,則 ,
, 平面 …………………8分
平面
所以 是直線 與平面 所成的角; ……………………10分
在 中,
所以 ……………………12分
所以
所以直線 與平面 所成的角為 ………………14分
18.(1)由 得 ……………………2分
所以 (舍)或 , ……………………4分
所以 ……………………6分
(2)由 得 ……………………8分
……………………10分
而 ,當且僅當 時取等號…12分
所以 ,所以 .………………………………14分
19.(1)設 長為 米, 長為 米,依題意得 ,
即 , ………………………………2分
…………………………4分
=
當且僅當 ,即 時等號成立,
所以當 的面積最大時, 和AC的長度分別為750米和1500米……6分
(2)在(1)的條件下,因為 .
由 …………………………8分
得
…………………………10分
, …………………………12分
元
所以,建水上通道 還需要 萬元. …………………………14分
解法二:在 中,
………8分
在 中,
…………………………10分
在 中,
= …………12分
元
所以,建水上通道 還需要 萬元. …………………………14分
解法三:以A為原點,以AB為 軸建立平面直角座標系,則 ,
,即 ,設 ………8分
由 ,求得 , 所以 …………10分
所以, ……………………12分
元
所以,建水上通道 還需要 萬元. …………………………14分
20. (1)設 的邊長為 ,則 的座標為 ………2分
所以 所以
此三角形的邊長為 . ……………………………4分
(2)設直線
當 時, 符合題意 ……………………………6分
當 時, …………………8分
,捨去
綜上所述,直線 的方程為: ……………………………10分
(3) 時,共2條;……………………………12分
時,共4條; ……………………………14分
時,共1條. ……………………………16分
21.:(1)由 ,可知數列 為遞增數列,……………………………2分
計算得 , ,
所以不存在 ,使得 ; ………………………4分
(2)由 ,可以得到當 時,
, ……………………6分
又因為 ,
所以 , 進而得到 ,
兩式相除得 ,
所以數列 , 均為公比為6的等比數列, ……………………8分
由 ,得 ,
所以 ; ………… …………10分
(3)證明:由題意 ,
當 時, ,
因此,對任意 ,都有 . …………12分
必要性( ):若 為等差數列,不妨設 ,其中 為常數,
顯然 ,
由於 = ,
所以對於 , 為常數,
故 為等差數列; …………14分
充分性( ):由於 的前4項為等差數列,不妨設公差為
當 時,有 成立。…………15分
假設 時 為等差數列,
即 …………16分
當 時,由 為等差數列,得 ,
即: ,
所以 …………17分
,
因此 ,
綜上所述:數列 為等差數列. …………18分