數學教案：二次函數的圖象

課題：二次函數 的圖象

教學目標：

1、會用描點法畫出二次函數 的圖象；

2、根據圖象觀察、分析出二次函數 的性質；

3、進一步理解二次函數和拋物線的有關知識

4、滲透由特殊到一般的辯證唯物主義觀點；

5、滲透數形結合的數學思想方法，培養觀察能力和分析問題的能力；

6、培養學生勇於探索創創新及實事求是的科學精神.

教學重點：根據圖象，觀察、分析出二次函數的性質

教學難點：滲透數形結合的數學思想方法

教學用具：直尺、微機

教學過程：

1、列表、描點畫出函數 與 的圖象，引入新課

2、根據圖象發現問題，由學生探索出新知識.

提問：你能從圖象中發現拋物線是哪些性質？這兩個函數圖象有何異同？

（1）這兩個函數的圖象都關於y軸對稱.這一點可以從剛才的列表中可以看出， 時所對應的y值分別相等，如 等.這樣的兩個點關於y軸對稱.由這些點構成的拋物線也關於y軸對稱.從解析式中也可以得出這個結論：互為相反數的兩個數的平方數相等，因此，這兩個函數的圖象都是關於y軸對稱的.

（2）從圖中可以看出，x可取x軸上的任意一點，而y對應的是大於、等於零的數.即拋物線有最低點（0，0）.這一點可以從解析式中得到很好的解釋， 可取

任意實數. 圖象開口向上.這也説明數與形是數學中的兩條線索，它們是互相對應的，反映了數形結合的思想.

（3）從圖中也可以看出拋物線不同於我們以前學過的正比例函數和一次函數，這兩個函數的圖象都是直線，而拋物線是曲線，有一個拐彎，函數的圖象都在最低點拐了一個彎.這樣它們的性質幾發生了變化.在y軸的左側，從左向右呈下坡趨勢，即y隨x的增大而減小；在y軸的右側，從左向右，呈上坡趨勢，即y隨x的增大而增大.這一變化趨勢也可以從列表中看出.

（4）這兩個圖象除以上相同之處外，還有不同的地方.如： 離y軸近， 離y軸遠.從列表中可以看出：如 過點（2，2），而 過點（2，8）也就是説，當x=2時， 的圖象所對應的點高於 所對應的點.因此會有上述的結論.

3、畫出函數 的圖象

與 中的a都是正數，當a<0時， 的圖象會是什麼樣子呢？

4、從函數圖象入手，再次總結二次函數的性質

(1)與剛才兩個圖象不同的是， 的圖象開口向下.這是因為x是任意實數， ， 即 ，因此，開口會向下.圖象有最高點（0，0）

(2)此圖象仍然是關於y軸對稱的

(3)在y軸的左側，y隨x的增大而增大；在y軸的右側，y隨x的增大而減小

5、得出一般的規律

一般地，拋物線 的對稱軸是y軸，頂點是原點，當a>0時，拋物線 的開口向上，當a<0時，拋物線 的開口向下，a的絕對值越大，圖象越靠近y軸.

6、小結：這一節課，從始至中都是結合圖象觀察、歸納總結出二次函數 的性質，體現了數與形的結合.函數圖象是解決函數問題的有利工具，希望大家能自覺地應用.

7、作業

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．使學生知道二次函數的意義；

2．使學生會用描點法畫出二次函數 的圖像，並結合 的圖像，初步理解拋物線及其有關概念，數學教案－二次函數y=ax2的圖象，國中數學教案《數學教案－二次函數y=ax2的圖象》。

（二）能力訓練點

1．進一步培養學生用描點法畫函數圖像的能力；

2．向學生進行數形結合的數學思想方法的教育。

（三）德育滲透點

通過對幾個特殊的二次函數的講解，向學生進行一般與特殊的辯證唯物主義教育。

（四）美育滲透點

通過本節課的教學，滲透二次函數圖像的對稱美，曲線的平滑美。

二、學法引導

教師採用引導發現法，觀察法，講解法

本節的主要內容是理解二次函數的定義，知道二次函數解析式 中字母的'意思，在畫 的圖像時，要知道圖形是拋物線，是軸對稱圖形、列表時，自變量x的值的選取，應以0為中心，對稱地選取兩對（或三對）互為相反數，最好x取整數值。

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學重點：二次函數的意義及二次函數 的圖像的畫法。因為它們是研究二次函數的重要基礎。

2．教學難點：正確畫出二次函數 的圖像。因為它的圖像是一條曲線，畫起來較複雜，而且學生在畫圖之前，尚不清楚二次函數 的圖像的具體形狀和變化趨勢，所以不易把握。

3．教學疑點：（1） ；（2） 的圖像的反性質。

4．解決辦法：（1）關於二次函數的定義，關鍵要注意：自變量的最高次數定義，二次項係數 ；（2） 的圖像和性質，不可死記硬背，要結合圖像理解和掌握二次函數 的幾個主要特徵，如開口方向，頂點座標（或位置），對稱軸，最大值最小值等。

四、教學步驟

（一）教學過程

首先，我們來看兩個實驗問題：（出示幻燈）

1．圓的半徑是R，它的面積為S，你能否寫出S與R之間的函數關係式？

這個問題由學生舉手回答，可找層次較低的學生完成，培養他們的參與意識和自信心。然後把答案寫在黑板上留用。

2．已知一個矩形場地的周長是60，一邊長為l，請你寫出這個矩形場地的面積S與這條邊長之間的函數關係式。

這個問題其實就是13.2中的例1，可由學生得出結論，若學生給出的是 ，再繼續提問：你能否把函數關係式中的括號去掉？然後把所得的結論寫在黑板上。

提問：比較 與 這兩個函數，都是用自變量的幾次式來表示的？

用這個問題，引出二次函數，在學生回答之後，教師加以總結，板書：

一般地，如果 （a、b、c是常數， ），那麼，y叫做x的二次函數。

提問：1．上述概念中的a為什麼不能是0？

2．對於二次函數 中的b和c可否為0？若b和c其一為0或均為0，上述函數的式子可以改寫成怎樣？你認為它們還是不是二次函數？

3．由問題1和2，你能否總結：一個函數是否是二次函數，關鍵看什麼？

由這三個問題加深學生對二次函數意義的理解，也同時給出了二次函數的三個特例： ； ； ，使學生深刻理解：看一個函數是否是二次函數的關鍵是看二次項的係數是否為0．

4．二次函數的解析式，與我們所學過的什麼知識相類似？

通過這個問題，使學生能把二次函數與一元二次方程初步搭上聯繫即可，為以後的教學

做好鋪墊．

練習一：P108中1、2 口答，注意第1題要讓學生説明不是二次函數的原因

提問：根據我們所學知道，一次函數的圖像是條直線，那麼二次函數的圖像又是什麼樣的呢？

這個問題主要是為了引起學生的興趣，不必回答，教師也不用給出答案．

我們研究任何問題都最好由最簡單的入手，根據剛才對二次函數的介紹，你認為最簡單的二次函數是什麼？

這個問題一方面可以使學生自然過渡到要先研究 ．另一方面也使同學認識到研

究問題要由簡到繁的基本方法．

所以第三個問題是，由我們學習的畫函數的圖像方法與步驟，我們應怎樣畫二次函數 的圖像呢？

可由學生先回答畫函數圖像的三個步驟：（1）列表；（2）描點；（3）連線．然後分步驟來研究這個圖像的方法．

（1）列表：①自變量x的取值範圍是什麼？

②要畫這個圖，你認為x取整數還是取其他數較好？

③看 ，它是一個數的平方形式，它的結論與x的值有什麼關係？

學生可能有多種答法，引導學生回答：當x取互為相反數時， 的值相同．

④若選7個點畫圖，你準備怎樣選？

通過這4個問題可以使學生很順利地想到為什麼要先取書上給出的這7個點，而且也使

學生初步學會畫二次函數圖像時選點的技巧．

（2）描點：①在畫座標系時x軸的正、負半鈾和y軸的正、負半軸是否都要畫一樣的長？

②怎樣畫就可以了呢？

答：x軸的正、負半軸畫的一樣長，y的正半軸畫的較長，負半軸畫的較短就可以．

通過這兩個問題可培養學生的作圖技巧．

（2）連線：①觀察這7個點的位置，它們是否在一條直線上？

②我們應怎樣連接這7個點？

讓學生先連一次試試，然後教師演示。關於原點附近的變化趨勢，最好能用動畫演示，增強學生的直觀認識，或看書也可以．

注意：我們所畫的只是近似圖像．

接下來，讓學生觀察這個函數圖像提問：

1．函數 的圖像有什麼特點？

答：是軸對稱圖形．

2．你是怎樣判斷函數 的圖像有上述特徵的？

這個問題，按不同的層次，有三種得出方法：（1）觀察圖；（2）看列表；（3）直接根據解析式，看學生層次定講解的深度．

學生回答完上面的問題之後就可指出：函數 的圖像是一條關於y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。實際上，二次函數的圖像都是拋物線（板書）

在此處，可大致解釋一下拋物線是由物理中的問題而來的，不要深講。

再結合圖像指出：拋物線 是開口向上的，y軸是它的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，即（0，0）點。

關於拋物線的頂點，可按不同層次的學生進行不同層次的解釋：

從圖像上直觀得到：拋物線 的頂點是圖像的最低點：從解析式上看，當 時， 取得最小值0，（0，0）就是拋物線 的頂點座標。

（二）總結、擴展

教師提問，學生思考回答：

1．你能否説清二次函數的意義？

注意總結：（1）函數解析式關於自變量是整式；（2）自變量的最高次數是2。

2．二次函數 的圖像是什麼形狀的？它的開口方向，對稱軸，頂點座標各是什麼？

五、佈置作業