數學思想方法研究的歷史與現狀
數學思想方法的研究，自古有之，並取得了一系列進展。然而，長期以來，由於人們過於注重記述數學研究的事實與最終成果本身，而忽視總結、交流和刊發取得成果的真實經過及其思想方法，因此數學思想方法的研究十分分散，缺乏系統性，發展緩慢，至今尚未形成一個獨立的研究領域和完整的理論體系。
回顧數學思想方法研究的歷史，考察其現狀，對深入開展這方面的研究，是大有益處的。根據我們掌握的資料，數學思想方法的研究，大體可以分為三個階段：
一、第一階段（18世紀末以前）：提出了許多零散的、個別的、具體的方法，以及解決數學中的實際問題
自古代到18世紀，數學研究基本上處於分散狀態，各個分支、部門很少聯繫，因此數學思想方法的提出往往是零散的、個別的、具體的和解決實際問題的。下面的事例可以説明這一點。古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出了公理方法，以解決將大量的、零散的幾何知識系統化問題，最後由歐幾里得等人完成並發表了《幾何原本》。中國古代數學家劉徽提出了“割圓術”，以解決長期存在的、圓周率計算不精確的問題，其中包含着極限思想方法的萌芽。英國數學家納皮爾發明了對數方法，以解決天文觀測及貿易中存在的繁重的數字計算問題。法國數學家帕斯卡確立了數學歸納法，以解決數學論證中存在的不嚴密的問題。法國數學家、哲學家笛卡爾提出了座標法、用代數方法研究幾何問題，並從而開創了不同數學分支相結合的思想方法。英國的牛頓與德國的萊布尼茨創立了無窮小量方法，以解決微積分理論建設中存在的問題。瑞士數學家歐拉和法國數學家拉格朗日共同建立了變分法，以解決“等周問題”、“最速降線問題”等長期解決不了的極大與極小問題等。
二、第二階段（18世紀末到20世紀初）：創立了一批具有突破性的思想方法，使數學某些分支發生了革命性的變革
18世紀末以前，人們提出和發現了許多有實際意義的數學思想方法，有力地推動了數學的發展。但是，與18世紀末到20世紀初這一時期相比，無論是從產生的難度上看，還是從產生後所表現出來的作用上看，都顯得一般和不夠突出。事實上，自18世紀末到20世紀初這一時期，在數學領域中的確出現了一些具有劃時代意義的思想方法，並導致了數學基礎學科的變革。這是這一時期的顯著特點。
在幾何學中，出現了創立非歐幾何的一系列思想方法。19世紀20年代，高斯、羅巴切夫斯基與亞·鮑耶等人，成功地運用了研究錯誤與失敗、逆向與反常規思維、想象等思想方法，解決了人們奮鬥兩千年而未能解決的試證歐氏第五公設的問題，並從而創立了非歐幾何理論，使幾何學發生了一次偉大的革命。希爾伯特提出：19世紀最有啟發性最重要的數學成就是非歐幾何的發展。
在代數學中，出現了羣論的思想方法。19世紀以來，人們在探求五次和五次以上代數方程的代數解法問題上，打破了百餘年來毫無進展的僵局，首先由挪威青年數學家阿貝爾證明了五次方程代數解法的不可能性。其次，又由法國青年數學家伽羅華提出了“羣”的概念，後發展為一整套羣論的思想方法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解問題。不僅如此，羣論的思想方法，在代數學的其他分支，拓撲學、函數論乃至數學以外的許多領域都得到了廣泛的應用。由於羣論的誕生，使傳統代數學所研究的對象由具體的“數”擴充為更加抽象的“量”，由量之間的代數運算關係發展為更為一般的關係，從而使代數這門學科發生了轉折性的變化。
在數學分析中，出現了極限與集合論的思想方法。19世紀30年代至50年代，法國的柯西與德國的魏爾斯特拉斯等人，在給出函數、極限等概念以精確化描述的基礎上，又通過嚴格化了的極限思想方法與實數理論改造了微積分，並使其嚴密化和標準化。這是微積分學科發展史上的一個重要里程碑。1874年，德國數學家康托爾提出了集合論思想，建立起無限集的勢、序型等概念以及無限集合論和超限數理論，證明了代數集合可以和整數集合一一對應，所有實數集合不可數性，發展了無限集合勢的比較原理，引入了連續公理即康托爾公理等，並從而創立了集合論的理論。這一理論的創立，不僅為微積分的理論奠定了穩固的基礎，而且對整個數學基礎的研究，尤其對現代數學結構的探討，也具有巨大而深遠的促進作用。
應當指出的是，這一時期，除了出現上述重要思想方法外，還形成了影響廣泛的數學公理化方法。到了19世紀末20世紀初，由於非歐幾何、無理數理論、集合論的建立，有力地促進了數學公理化方法研究的開展。1872年，德國數學家克萊因發表了“愛爾蘭根綱領”，提出用變換羣的觀點，給出各種幾何學的綜合分類，以統一整個幾何學。1899年，德國數學家希爾伯特發表了《幾何學基礎》一書，使公理化方法深入到數學的更多分支。1908年，集合論完成了公理化，本世紀20年代，又實現了代數學的公理化，從而使公理化方法應用於數學各個分支。這場公理化運動，對數學的影響是前所未有的。
還應當特別指出的是，在這一時期，馬克思和恩格斯在自己的著作尤其是《數學手稿》和《自然辯證法》中，闡發了極其豐富的數學思想，從思想方法角度論述了數學發展史上若干重大成果和著名數學家。他們的論述是數學思想方法研究的珍貴財富。但遺憾的是，這些論述未能在當時發表和發揮其應有的作用。
三、第三階段（20世紀初以來）：逐步開展對數學思想方法理論的研究，為形成其獨立的研究領域奠定了基礎
20世紀初以來，由於數學基礎學科中重大思想方法的出現，特別是數學公理化方法的形成以及數學基礎論和數學統一研究的深入開展，人們漸漸關心數學各分支之間內在聯繫的研究，開始注重數學思想方法本身產生、發展規律的探討。因此，這一時期，數學家們一方面繼續創造各種數學思想方法，並用來推進數學的發展，另一方面，他們中的一部分特別是一些著名數學家集中精力從事數學思想方法理論的研究，並發表了一大批這方面的論著。與前面兩個時期相比，後一方面是這一時期的突出特點。
這一時期發表的關於數學思想方法方面的理論著作，數量是很多的，研究問題的角度也是不盡相同和多方面的，但大體上可概括為以下六個方面。
第一，從數學思想方法本身內容與應用的角度研究。
就數學思想方法本身最早系統發表見解的要算德國著名數學家希爾伯特於1900年在巴黎國際數學家代表會上的演講《數學問題》。在這篇演講中，他精闢地闡述了重大數學問題的特點及其在數學發展中的作用，並列舉了發人深思的23個重大數學問題，後人稱之為“希爾伯特23個問題”。他的演講是一篇重要的數學方法論著作。法國數學家彭加勒於1903年至1908年之間發表了《科學與假設》，《科學之價值》、《科學與方法》等著作（均有中譯本）。在這三部著作中，彭加勒以章節的篇幅討論了數學方法論的問題。後來，德國數學家赫爾德發表了《數學方法論》一書，書中對數學中的演繹方法、歸納方法、公理方法與假設方法等進行了系統的論述。
近些年來，我國數學家徐利治十分注重數學方法論的研究。他陸續發表了《淺談數學方法論》、《數學方法論選講》和《數學抽象度概念與抽象度分析法》等論著，並提出許多獨到見解，引起了國內外數學界與哲學界的關注。解恩澤與趙樹智同志合作編著的《數學思想方法縱橫論》，從縱橫兩個方面分析了數學思想方法的形成與發展，其中既闡述了數學本身的思想與方法，又探討了人們對數學本質與規律的認識;既論述了若干數學家的思想方法，又評介了偉大哲學家馬克思與恩格斯的數學思想方法。
此外，還發表了一系列論文，對一些具體數學方法作了分析，諸如，蘇聯沙柳京的《控制論的算法與可能性》，日本加茂利男的《系統論與社會認識的方法》，中國黃順基等的《論公理方法》和王順義的《希爾伯特的現代公理化方法》等。
第二，從歷史發展的角度研究。
本世紀以來，從歷史演變、發展的角度研究數學思想方法的論著是不少的，但影響較大的主要有兩部著作。其一是蘇聯A·B·亞歷山大洛夫等第一流數學家於1956年發表的著作《數學-它的內容、方法和意義》（本書分三卷，均有中譯本）。書中一方面從總體上概括了數學的歷史演進，另一方面又着重就現代數學每一個分支的歷史、內容、方法與意義等進行了闡述，與以往的數學史著作相比，它比較重視數學思想方法的分析和評價。其二是美國著名數學家M·克萊因於1972年發表的著作《古今數學思想》。這是一部全面論述近代數學各分支歷史發展的著作。這部著作打破了過去史書中單純記述史料及人物傳記的框子，着重闡述了數學思想方法的古往今來。無論是一個數學成果的產生，還是一個數學學科的形成，或是一個數學家的功績，都把着眼點放在“思想方法”上面，這是這部著作的突出特點。它是一部大部頭的數學思想史專著，原書有51章1238頁，內容十分豐富，見解精闢獨到。國外有的專家認為，“就數學史而論，這是迄今為止最好的一本”。我們認為，本書好就好在“思想方法”的挖掘與分析上面。當然，也有不足，如對我國數學成果及其思想就沒有給予應有的重視。
此外，像日本的細井淙於1953年發表的《東西方數學思想史》、伊東俊太郎於1967年發表的《純粹數學的起源-歐幾里得〈幾何原本〉的形成》、三宅剛一於1968年發表的《數學哲學思想史》等，也都是從歷史的角度來研究數學思想方法的論著。
第三，從數學教育與數學能力培養的角度研究。
多年來的實踐表明，數學思想方法是數學教育的`重要內容，也是培養數學能力和建設數學隊伍的關鍵所在。一些著名的數學家尤其是長期從事教育的數學家，注重這方面的研究，積累了豐富的經驗，撰寫了深受歡迎的著作。比如，1954年，美籍匈牙利著名數學家教育家、斯坦福大學教授G·波利亞發表了《數學與猜想》一書。波利亞在自己的教育實踐中認識到，數學中的發現常常是從估計、猜想開始的，而這些估計、猜想經過實踐檢驗，再經過嚴格論證推理，最後獲得定理、公式等結論。但是，在一般數學教科書中，只注意寫經過嚴格論證的結論，而不寫這些結論產生的過程。本書根據上述認識和針對過去數學教科書存在的這一弊端，為了充分發揮數學教育功能，提高數學教育特別是中學數學教育水平，列舉了數學史上的大量事例，集中地分析了數學成果的思想淵源，揭示論證推理與合情推理的內在聯繫，闡明既要重視論證推理的運用，更要重視合情推理的學習，以豐富人們的數學思想，提高數學思維能力。本書內容翔實，形式新穎，語言生動，思想深刻。出版後，引起了世界數學界的重視，特別是此書作為作者已發表的《怎樣解題》、《數學的發現》的續篇，得到了著名數學家的高度評價。這本書在美國深受歡迎和推崇，曾譯成多種文字出版發行，被譽為第二次世界大戰後出版的經典著作之一。我國科學出版社於1984年分兩卷將其翻譯出版。
1969年，日本著名數學家、教育家米山國藏發表了《數學的精神、思想與方法》。以數學中一些富有啟發性的實例為依據，系統地論述了貫穿於整個數學的數學精神，一些重要數學思想與若干有效的數學方法。它是把着眼點放在培養人們數學能力和創造精神的一本理論專著，其特點是以數學教育為背景，從思想方法入手，結合史實深入探討數學認識與數學發展的規律。作者寫該書的目的有二：一是為了彌補過去的不足，他説：“我認為，現在的數學書籍，不論是教科書還是參考書，也不論是大部頭的著作還是論文，都僅僅是記述了數學知識，可以説還沒有一本論述數學的精神、數學的思想和數學的方法的著作”。二是因為數學、思想和方法是數學創造和發展的源泉，是數學教育目的的集中表現，正如他在本書“序”中所指出的：科學工作者所需要的數學知識，相對地説是不夠的，而數學的精神、思想與方法卻是絕對必需的；數學知識可以記憶一時，但數學精神、思想與方法卻永遠發揮作用，可以受益終生，是數學能力之所在，是數學教育根本目的之所在。書中總結和概括出：
(1)貫穿整個數學中的七個數學精神：①應用化的精神；②擴張化、一般化的精神；③組織化、系統化的精神；④致力於發明、發現的精神；⑤統一建設的精神；⑥嚴密化的精神；⑦思想經濟化的精神。
(2)十個數學思想：①“數學的本質在於思考充分自由”的思想；②極限的思想；③構成“不定義的術語組”與“不證明的命題組”的思想；④集合與羣的思想；⑤把有限長看作無限長的思想；⑥把曲線看作直線的思想；⑦使得特異幾何、特異數學、特異運算能夠出現的思想；⑧二維空間、四維空間、高維空間的思想；⑨超限數的思想；⑩數學的神祕性與數學美的思想。
(3)數學中常用的兩類方法：①證明方法；②研究方法。
日本歷來重視從思想方法入手研究數學教育及其歷史。比如，日本數學史家小倉金之助於1957年發表的《數學教育史》和1974年發表的《數學教育的歷史》；赤攝也於1967年發表的《現代數學的思想與數學教育的現代化》；植竹桓男於1975年發表的《數學史與數學教育》等，都是把數學思想方法研究與數學教育緊密結合在一起的論著。
第四，從哲學的角度研究。
從哲學角度來研究數學思想方法，可以説是最為多見的。有的哲學家對此有興趣，不少數學家對此也很熱心。馬克思的《數學手稿》是一部哲學著作，但由於它主要是闡述辯證思維方法在數學中的運用，以及數學思想的歷史演進，所以它又是一部研究數學思想方法方面的著作。前面講過，此手稿是馬克思於19世紀50年代末到1883年期間寫作的，但當時未能發表。直到1933年，蘇聯的雅諾夫斯卡婭，才將此手稿的部分內容譯成俄文第一次公開發表。同年，日本將其譯成日文出版。我國於1975年出版了中文譯本。恩格斯《自然辯證法》的數學札記，也是從哲學的角度研究數學思想方法的。後來，又出現了許多研究馬克思和恩格斯這兩部著作的論著，從內容看，大部分也是屬於從哲學上研究數學思想方法的。
本世紀70年代以來，現代西方哲學家十分重視數學思想方法的研究，並發表了一些論著。比如，英國數學哲學家拉卡託斯的《證明及反駁》、美國哲學家普特南的《數學、物質與方法》等。這兩部著作都從哲學上系統地討論了所謂“擬經驗方法”。近年來，我國也出版了從哲學上探討數學思想方法的著作，比如，劉鳳璞等編寫的《數學若干辯證內容簡析》，對數學客觀基礎、數學概念的若干辯證性質、數學運算的對立統一，19世紀以來數學的某些進展及其特徵等，進行了較為系統的論述。又比如，傅士俠主編的《科學前沿的哲學探索》，對現代數學的新分支：模糊數學、突變理論與非標準分析等進行了哲學分析，得到自然辯證法界的好評。
關於數學基礎論的研究，吸引着許多數學家的注意力，並取得了不少研究成果。諸如，1956年，日本的竹內外史發表了《數學基礎論》，1971年，日本的島內綱一發表了《數學的基礎》；1987年，我國的朱梧檟發表了《幾何基礎與數學基礎》等。
不僅如此，還發表了一系列從哲學上研究數學思想方法的論文，比如，日本永井博的《數學的實在性-數理哲學的一個問題》，前原昭二的《數學的哲學》；蘇聯馬里尼切夫的《“數學的”唯心論批判》，比留科夫的《控制論的哲學問題》，內桑巴耶夫的《數學發展中抽象與具體的統一》；我國黃耀樞的《數學基礎研究的歷史與現狀》，鄭毓信的《數學直覺淺析》、王順義的《數學是擬經驗的-拉卡託斯數學哲學述評》，王前的《試論現代數學中的經驗主義思潮》，林夏水的《數學基礎的若干哲學問題》等。
第五，從數學存在形態的角度研究。
從數學存在形態如潛在形態來研究數學思想方法，是我國最先開始的。1979年，我國學者開創了“潛科學”這一新的研究領域，從科學潛在形態的角度探討科學新思想孕育、產生與發展的規律，頗受學術界的歡迎。關於數學潛在形態的研究，目前雖然還沒有專門的系統著作，但在《潛科學雜誌》上陸續發表了一些有關文章。在潛科學叢書，如朱新民主編的《科學史上重大爭論集》、解恩澤主編的《科學蒙難集》、洪定國主編的《科學前沿中的疑難與展望》、李醒民等主編的《思想領域中最高的音樂神韻-科學發現個例研究》，以及解恩澤主編的《潛科學導論》等著作中，均有關於數學潛在形態問題的討論。在由解恩澤與趙樹智合作編著的《數學思想方法縱橫論》、徐本順與解恩澤合寫的《數學猜想-它的思想與方法》和《關於數學猜想的幾個問題》中，則對數學的某些潛在形態進行了專門的探討，為形成系統的數學潛在形態的理論作了一些有益的工作。
第六，從人物評傳的角度研究。
從人物評傳的角度研究數學思想方法，是數學界歷來關注的一個重要問題，也是一個十分有效的途徑。從出版的著作看，除了在一些數學家傳記如《數學人物》、《女數學家傳》、《祖沖之》、《希爾伯特》、《伽羅華傳》、《華羅庚傳》等著作中零散地介紹一些各自的思想方法外，還有一些集中論述著名數學家思想方法的著作，比如，德國數學家梅什剋夫斯基於1961年發表的《大數學家的思維方式》一書，就專門分析和介紹了畢達哥拉斯、阿基米德、庫薩的尼古拉、帕斯卡、萊布尼茨、高斯、伽羅華、布爾、魏爾斯特拉斯、康托爾和希爾伯特等著名數學家的思想方法特點。還比如，日本數學史家小堀憲於1968年發表的《大數學家》一書，也選出高斯、柯西、阿貝爾、伽羅華、魏爾斯特拉斯和黎曼等六位大數學家，一方面介紹生平，另一方面分析他們的思想方法。再比如，我國的解延年、尹斌庸著的《數學家傳》一書，不僅介紹了61名中外數學家的生平經歷、“冠軍”記錄和光輝業績，而且十分注重闡發他們的思想方法和哲學觀點，是一部很有特色的數學家傳記。
數學思想方法，雖然至今尚未形成一個完整的理論體系，但本世紀以來特別是50年代以來，越來越引起人們的關注，並已經取得了一系列重要的研究成果。隨着現代科學的發展和人們認識的深化，數學思想方法定會吸引更多的人們去關心它、探討它和發展它，並使它逐步成為一個具有完整理論體系的、獨立的研究領域。
數學思想方法研究的意義
從數學發展史上看，長期以來，數學家們對自己所從事研究領域的思想方法是重視的，並有許多發明和創造。但是，對數學思想方法本身尤其是把它作為一個獨立的領域或學問來進行研究，卻是很不夠的。究其原因，主要是對數學思想方法研究的意義缺乏應有的認識，那麼，研究數學思想方法到底有何意義呢?
一、有利於培養數學能力與改革數學教育
我們知道，數學教育的根本目的在於培養數學能力，即運用數學解決實際問題和進行發明創造的本領，而這種能力和本領，不僅表現在對數學知識的記憶，而且更主要地反映在數學思想方法的素養。事實上，我們説一個人數學能力強，有數學才能，並不簡單指他記憶了多少數學知識，而主要是説他運用數學思想方法解決實際問題和創造數學理論的本領。伽羅華之所以創立羣論，羅巴切夫斯基之所以創立非歐幾何，維納之所以創立控制論，不僅僅在於數學知識的積累與記憶，而主要是由於他們在數學思想方法上實行了革命性的變革所致。對一個科技工作者來説，需要記憶的數學知識可多可少，但掌握數學思想方法則是絕對必要的，因為後者是創造的源泉，發展的基礎，也是數學能力的集中體現。在過去的數學教育中，正是因為過於重視知識的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加之傳統的考試製度，所以出現了“高分低能”的現象。要想改變這種狀況，就要狠抓數學思想方法的研究與教學，並把它作為數學教育改革的重要內容，堅持下去，取得成效。
二、有利於充分發揮數學的功能
數學功能的發揮，同數學能力的培養一樣，關鍵不在於知識的積累與傳遞，而在於思想方法的領會、運用以及創造新的思想方法上面。實踐越來越證明，數學在科學技術各領域、社會科學各部門以及生產、生活的各行各業，都有廣泛的應用。這是因為，任何事物都是量與質的統一體，要想真正的認識某一事物，不僅要把握其質的規定性，而且還要了解其量的規定性，因此，數學能夠應用於各種物質運動形態。馬克思曾指出：一門科學只有當它達到了能夠運用數學時，才算真正發展了。那麼怎樣在各方面更加廣泛地應用數學呢?我們認為，加強數學教育，特別是加強數學思想方法的教育，是至關重要的。數學的科學功能的發揮，主要是靠數學思想方法向科學各領域的滲透與移植，把數學作為一種工具加以運用，從而促進其發展。當代科學數學化的趨勢明顯地反映出這一點。數學的思維功能的發揮也是如此。我們説數學是一種思維工具，實質上就是指它的思想方法。為什麼往往通過數學的考核來判定一個兒童的思維能力與智力水平呢?其根據也在這裏。至於數學的社會功能的發揮，同樣還是靠數學思想方法的運用。我們説某人辦事有數學頭腦，無非是説他能靈活地運用數學思想方法。歐拉作為一位數學家，之所以不僅在代數、數論、微積分等數學分支研究上取得了突出成果，而且還在力學、物理學、天文學、航海、造船、建築等許多非數學領域與部門做出重大貢獻，集中到一點就是他具有深刻的數學思想和非凡的運用數學解決實際問題的才能。這也是他之所以能成為數學史上著名應用數學大師的根本原因所在。
三、有利於深刻認識數學本質與全面把握數學發展規律
在數學思想方法的研究中，我們可以通過對數學內容辯證性質的探討，進一步認識數學的本質。馬克思和恩格斯在自己的著作中，都對微積分內容的辯證性質作過精闢的分析，並從而概括其本質。馬克思在《數學手稿》中，着重對導函數概念作了探討。他認為，導函數生成的過程就是原函數經歷了“否定之否定”的發展過程，並深刻指出：“理解微積分運算時的全部困難（正像理解否定的否定本身時那樣），恰恰在於要看到微積分運算是怎樣區別於這樣簡單手續並因此導出實際結果的。”恩格斯在談到微積分的本質時，也曾經明確指出：“變數的數學-其中最重要的部分是微積分-本質上不外是辯證法在數學方面的運用”。事實上，微積分中所運用的思想方法，實質上就是辯證法。就拿微積分中最基本的牛頓-萊布尼茨公式來説，就是通過常量與變量的相互轉化而推得的。本來作為曲邊梯形面積的定積分是一個確定的常量，但為了推導牛頓-萊布尼茨公式，卻特地把此定積分看作是上限函數，即把常量轉化為變量。然後，在證明一個定理成立的基礎上，又反過來把變量轉化為常量，最終得到了這一公式。因此，我們可以説，牛頓-萊布厄茨公式就是常量與變量辯證統一的結果。
關於通過數學思想方法的研究，可更加全面把握數學規律的問題，前面已經講過，它可從數學內部的矛盾運動這個側面來發現和認識規律，以彌補過去只注重從外面研究的不足。比如，在關於數學潛形態的研究中，一方面可以提高對數學新思想萌發和形成規律的認識，另一方面，還可以加強對數學由“潛”到“顯”轉化機制的掌握。研究表明：對新事實的解釋、對理論體系自身矛盾的研究、對個體結論的推廣等，均是科學新思想產生的有效途徑;樹立科學成效觀、積極開展自由論爭、大力倡導科學伯樂精神、實行科學的組織管理等，都是加速科學由“潛”到“顯”轉化的重要機制。這對深入探討數學由“潛”到“顯”轉化的規律，顯然具有啟示意義和參考價值。
總之，數學思想方法的研究，具有十分重要而深遠的意義。我們相信，數學思想方法作為一個獨立的研究領域，必將不斷取得新的研究成果，為數學、自然科學、教育科學與哲學的發展，做出應有的貢獻。
