中學數學思想與方法

中學數學中常見的數學思想有：函數與方程、數形結合、分類討論、 轉化與化歸的思想。這典型的四類數學思想對國中數學問題的解決有着重要的思維指導作用。

1. 函數與方程的思想：函數與方程的思想是中學數學最基本的思想。所謂函數的思想是指用運動變化的觀點去分析和研究數學中的數量關係，建立函數關係或構造函數，再運用函數的圖像與性質去分析、解決相關的問題。而所謂方程的思想是分析數學中的等量關係，去構建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質去分析解決問題。

2. 數形結合的思想：數與形在一定的條件下可以轉化。如某些代數問題、三角問題往往有幾何背景，可以藉助幾何特徵去解決相關的代數三角問題；而某些幾何問題也往往可以通過數量的結構特徵用代數的方法去解決。因此數形結合的思想對問題的解決有舉足輕重的作用。

3. 分類討論的思想

分類討論的思想之所以重要，原因一是因為它的邏輯性較強，原因二是因為它的知識點的涵蓋比較廣，原因三是因為它可培養學生的分析和解決問題的能力。原因四是實際問題中常常需要分類討論各種可能性。

解決分類討論問題的關鍵是化整為零，在局部討論降低難度。常見的類型：類型 1 ：由數學概念引起的的討論，如 實數、有理數、絕對值、點（直線、圓）與圓的位置關係等概念的分類討論 ；類型 2 ：由數學運算引起的討論，如不等式兩邊同乘一個正數還是負數的問題；類型 3 ：由性質、定理、公式的限制條件引起的討論，如一元二次方程求根公式的應用引起的討論；類型 4 ：由圖形位置的不確定性引起的討論，如直角、鋭角、鈍角三角形中的相關問題引起的討論。類型 5 ：由某些字母系數對方程的影響造成的分類討論，如二次函數中字母系數對圖象的影響，二次項係數對圖象開口方向的影響，一次項係數對頂點座標的影響，常數項對截距的影響等。

如分類討論的案例： 在一張長為 9 釐米 ，寬為 8 釐米 的矩形紙板上，剪下一個腰長為 5 釐米 的等腰三角形（要求等腰三角形的.一個頂點與矩形的一個頂點重合，其餘兩個頂點在矩形的邊上），請計算剪下的等腰三角形的面積？

分類討論思想是對數學對象進行分類尋求解答的一種思想方法，其作用在於克服思維的片面性，全面考慮問題。分類的原則：分類不重不漏。分類的步驟：①確定討論的對象及其範圍；②確定分類討論的分類標準； ③ 按所分類別進行討論； ④ 歸納小結、綜合得出結論。注意動態問題一定要先畫動態圖。

4 ．轉化與化歸的思想

轉化與化歸市中學數學最基本的數學思想之一，數形結合的思想體現了數與形的轉化；函數與方程的思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，所以以上三種思想也是轉化與化歸思想的具體呈現。

但是轉化包括等價轉化和非等價轉化，等價轉化要求在轉化的過程中前因和後果是充分的也是必要的；不等價轉化就只有一種情況，因此結論要注意檢驗、調整和補充。轉化的原則是將不熟悉和難解的問題轉為熟知的、易解的和已經解決的問題，將抽象的問題轉為具體的和直觀的問題；將複雜的轉為簡單的問題；將一般的轉為特殊的問題；將實際的問題轉為數學的問題等等使問題易於解決。

常見的轉化方法有：

（ 1 ）直接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題 .

（ 2 ）換元法：運用“換元”把式子轉化為有理式或使整式降冪等，把較複雜的函數、方程、不等式問題轉化為易於解決的基本問題 . ?（ 3 ）數形結合法：研究原問題中數量關係（解析式）與空間形式（圖形）關係，通過互相變換獲得轉化途徑 . ?（ 4 ）等價轉化法：把原問題轉化為一個易於解決的等價命題，達到化歸的目的 . ?（ 5 ）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，並證明特殊化後的問題，使結論適合原問題 .

（ 6 ）構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變為易於解決的問題 .

（ 7 ）座標法：以座標系為工具，用計算方法解決幾何問題也是轉化方法的一個重要途徑