數學思想與方法練習題
特殊與一般的數學思想：對於在一般情況下難以求解的問題，可運用特殊化思想，通過取特殊值、特殊圖形等，找到解題的規律和方法，進而推廣到一般，從而使問題順利求解。以下是數學思想與方法練習題，歡迎閲讀。
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共計60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若a＞b＞1，P＝lg alg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lga＋b2，則
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
【解析】 取a＝100，b＝10，
此時P＝2，Q＝32＝lg1 000，R＝lg 55＝lg 3 025，比較可知P＜Q＜R.
【答案】 B
2．(2010龍巖模擬)設(3x＋1)25＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a25x25，則|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|等於
A．225 B．－225
C．425 D．－425
【解析】 (3x＋1)25＝(1＋3x)25展開式中項的係數都為正，故|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a25，所以只須令x＝－1即可．
【答案】 B
3．(2010泉州模擬)在平面直角座標系中，O為座標原點，已知A(3,1)，B(－1,3)，若點C滿足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α，β∈R，且α＋β＝1，則點C的軌跡方程為
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0
【解析】 通過向量的座標運算把OC→＝αOA→＋βOB→轉化為
消去α得x＋2y－5＝0.
【答案】 D
4．如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，直線x＝t截這個三角形位於此直線左方的圖形面積(見圖中陰影部分)為y，則函數y＝f(t)的大致圖象為
C. D.
【解析】 當t＝1時，面積為32，故排除A、B，當t＞1時，隨t增大，面積增大越來越慢．
【答案】 D
5．(2010蕪湖質檢)4枝牡丹花與5枝月季花的價格之和小於22元，而6枝牡丹花與3枝月季花的價格之和大於24元，則2枝牡丹花和3枝月季花的價格比較結果是
A．2枝牡丹花貴 B．3枝月季花貴
C．相同 D．不確定
【解析】 由已知設牡丹花一枝x元，月季花一枝y元，則
作出可行域和目標函數t＝2x－3y，可求得2x－3y＞0，故選A.
體現了實際問題與數學理論的轉化．
【答案】 A
6．(2010聊城模擬)設x∈R，如果a＜lg(|x－3|＋|x＋7|)恆成立，那麼
A．a≥1 B．a＞1
C．0＜a≤1 D．a＜1
【解析】 要使不等式恆成立，只須求lg(|x－3|＋|x＋7|)的最小值．
∵y＝lg(|x－3|＋|x＋7|)為增函數，且|x－3|＋|x＋7|的最小值為10，
∴ymin＝lg 10＝1，∴a小於y的最小值．
【答案】 D
7．如果實數x，y滿足x2＋y2＝1，那麼(1－xy)(1＋xy)有
A．最小值12和最大值1 B．最小值34而無最大值
C．最大值1而無最小值 D．最大值1和最小值34
【解析】 ∵(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2，
∴當x＝0或y＝0時，有最大值1，而x2＋y2≥2xy，
∴x2y2≤14，∴當x2＝y2＝12時，1－x2y2取得最小值34.
【答案】 D
8．(2010三明模擬)已知點P在拋物線y2＝4x上，那麼點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點P的座標為
A.14，－1 B.14，1
C．(1,2) D．(1，－2)
【解析】 依題意，拋物線的焦點F的座標為(1,0)，
設P到準線的距離為d，則由拋物線的定義知：|PF|＋|PQ|＝d＋|PQ|.
如圖，當PQ∥x軸時， |PF|＋|PQ|最小，此時P14，－1，故選A.
【答案】 A
9．不等式x2－logax＜0當x∈0，12時恆成立，則a的取值範圍是
A.116≤a＜1 B.116＜a＜1
C．0＜a≤116 D．0＜a＜116
【解析】 構造函數y＝x2與y＝logax，x2－logax＜0，
當x∈0，12時恆成立，
即當x∈0，12時，y＝x2的圖象在y＝logax圖象的下方，
所以首先a＜1.
當a＜1時，如圖，當x＝12時，y＝14即14＝loga12，
∴a＝116，當y＝logax圖象繞點(1,0)順時針旋轉時a增大，∴116≤a＜1.
【答案】 A
10．(2010杭州模擬)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
【解析】 把不等式變形為2x－5－x≤2－y－5y，構造函數y＝2x－5－x，其為R上的增函數，所以有x≤－y，故選B.
【答案】 B
11．(2010信陽模擬)已知函數f(x)＝13x，等比數列{an}的前n項和為f(n)－c，則an的最小值為
A．－1 B．1
C. 23 D．－23
【解析】 a1＝f(1)－c＝13－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又數列{an}成等比數列，
所以a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，
所以c＝1；
又公比q＝a2a1＝13，
所以an＝－2313n－1＝－213n，n∈N*，
因此，數列{an}是遞增數列，n＝1時，an最小，為－23，選D.
【答案】 D
12．(2010福建質檢)已知函數f(x)＝1－1－x2，x∈[0,1]，對於滿足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，給出下列結論：
①(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0；
②f(x2)－f(x1)＞x2－x1；
③f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22.
其中正確結論的序號是
A．① B．②
C．③ D．①③
【解析】 函數f(x)＝1－1－x2，x∈[0,1]的圖象如圖所示，
結論①可等價為 ，
即f(x)在x∈[0,1]上是單調遞減函數，
結合圖象可知，結論①錯誤；
結論②可變形為f(x2)－f(x1)x2－x1＞1，
不等式左端的幾何意義是圖象上任意兩點連線的斜率，由圖象知斜率不都大於1，結論②錯誤；
對於結論③，觀察圖象可知，
滿足f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22，
所以結論③正確．
【答案】 C
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共計16分．把答案填在題中的橫線上)
13．(2009山東)若函數f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有兩個零點，則實數a的'取值範圍是________．
【解析】 設函數y＝ax(a＞0且a≠1)和函數y＝x＋a，則函數f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有兩個零點，就是函數y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象與函數y＝x＋a的圖象有兩個交點．由圖象可知，當0＜a＜1時，兩函數只有一個交點，不符合；當a＞1時，因為函數y＝ax(a＞1)的圖象過點(0,1)，而直線y＝x＋a的圖象與y軸的交點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點．所以實數a的取值範圍是a＞1.
【答案】 a＞1
14．(2010天水模擬)若關於x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實根，則實數a的取值範圍是________．
【解析】 分離變量a＝－22x－12x＋1＝－(2x＋1)－22x＋1＋2≤－22＋2.
【答案】 a∈(－∞，2－22]
15．(2010珠海模擬)已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，對於f(t)值域內的所有實數m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恆成立，則x的取值範圍是________．
【解析】 ∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3，
原題轉化為m(x－2)＋(x－2)2＞0恆成立，
當x＝2時，不等式不成立，
∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，
問題轉化為g(m)在m∈12，3上恆大於0，則
解得x＞2或x＜－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
16．直線y＝k(x＋1)＋1(k∈R)與橢圓x25＋y2m＝1恆有公共點，且橢圓焦點在x軸上，則m的取值範圍是________．
【解析】 由橢圓焦點在x軸上，求出m的一個範圍，由直線與橢圓恆有公共點求出m的另一範圍．
由焦點在x軸上，故m＜5.
又直線過定點B(－1,1)，此點應在橢圓內部或邊界上，
所以有(－1)25＋1m≤1，
又m＞0，∴m≥54.
【答案】 54，5
三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時應寫出必要的文字説明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)已知直角座標平面上點Q(2,0)和圓C：x2＋y2＝1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等於常數λ(λ＞0)，求動點M的軌跡方程，並説明它表示什麼樣的曲線．
【解析】 設M(x，y)，M到圓的切線長為|MT|，則|MT|＝x2＋y2－1，
則|MT|＝λ|MQ|，得x2＋y2－1＝λ(x－2)2＋y2
兩邊平方整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(4λ2＋1)＝0
當λ＝1時，表示直線x＝54.
當λ≠1時，方程為x－2λ2λ2－12＋y2＝1＋3λ2(λ2－1)2，
M點的軌跡是以點2λ2λ2－1，0為圓心，1＋3λ2|λ2－1|為半徑的圓．
【答案】 (λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(4λ2＋1)＝0 略
18．(12分)(2010陝西)為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調查，測得身高情況的統計圖如下： (1)估計該校男生的人數；
(2)估計該校學生身高在170～185 cm之間的概率；
(3)從樣本中身高在165～180 cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170～180 cm之間的概率．
【解析】 (1)樣本中男生人數為40，由分層抽樣比例為10%估計全校男生人數為400.
(2)由統計圖知，樣本中身高在170～185 cm之間的學生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，樣本容量為70，所以樣本中學生身高在170～185 cm之間的頻率f＝3570＝0.5，故由f估計該校學生身高在170～185 cm之間的概率p＝0.5.
(3)樣本中女生身高在165～180 cm之間的人數為10，身高在170～180 cm之間的人數為4.
設A表示事件“從樣本中身高在165～180 cm之間的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180 cm之間”，
則P(A)＝1－C26C210＝23或P(A)＝C16C14＋C24C210＝23.
【答案】 (1)400 (2)0.5 (3)23
19．(12分)(2010雲南曲靖一中模擬)已知a、b、c均為正整數，且a≠1，等差數列{an}的首項為a，公差為b，等比數列{bn}的首項為b，公比為a，且a＜b，b2＜a3，在數列{an}和{bn}中各存在一項am與bn，使得am＋1＝bn，又cn＝an－143log2b2n＋13.
(1)求a、b的值；
(2)求數列{cn}中的最小項，並説明理由．
【解析】 (1)由b2＜a3，得ab＜a＋2b，
∵1＜a＜b，∴ab＜3b，則1＜a＜3.
又a為正整數，∴a＝2.
∵am＋1＝bn，∴2＋(m－1)b＋1＝b2n－1，
∴b＝32n－1－m＋1.
∵b∈N*，∴2n－1－m＋1＝1，故b＝3.
(2)∵an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
b2n＋1＝3×22n，
∴cn＝3n－153log222n＝2n(n－5)＝2n2－10n，
∴當n＝2或n＝3時，cn取得最小值－12.
故數列{cn}中的最小項為c2或c3.
【答案】 (1)a＝2 b＝3 (2)最小項為c2或c3 理由略
20．(12分)某隧道長a(米)，最高限速為v0(米/秒)．已知一個勻速行駛的車隊有10輛車，每輛車長為l米，相鄰兩車之間距離m(米)與車速v(米/秒)的平方成正比，比例係數為k.設自第1輛車車頭進隧道至第10輛車車尾離開隧道時所用時間為t秒．
(1)求函數t＝f(v)的解析式，並寫出其定義域；
(2)求車隊通過隧道的時間t的最小值，並求出t取得最小值時v的大小．
【解析】 (1)依題意有：
t＝f(v)＝a＋10l＋9kv2v(0＜v≤v0)．
(2)t＝f(v)＝a＋10lv＋9kv≥2 9k(a＋10l).
當且僅當a＋10lv＝9kv，
即v＝ a＋10l9k時等號成立．
①當 a＋10l9k≤v0，v＝ a＋10l9k時，tmin＝6 k(a＋10l).
②當 a＋10l9k＞v0時，
f(v0)－f(v)＝a＋10lv0＋9kv0－a＋10lv＋9kv
＝9k(v－v0)vv0a＋10l9k－v0v.
∵v≤v0，∴v0v≤v20＜a＋10l9k，
∴f(v0)－f(v)≤0.
當v＝v0時，tmin＝a＋10lv0＋9kv0.
【答案】 (1)t＝f(v)＝a＋10l＋9kv2v(0＜v≤v0)
(2)當 a＋10l9k≤v0時，tmin＝6 k(a＋10l)，此時v＝ a＋10l9k.
當 a＋10l9k＞v0時，tmin＝a＋10lv0＋9kv0，此時v＝v0
21．(12分)(2010東北四校聯考)已知13≤a≤1，若函數f(x)＝ax2－2x＋1，在[1,3]上最大值為M(a)，最小值為m(a)，令g(a)＝M(a)－m(a)．
(1)求g(a)的函數表達式；
(2)求函數g(a)的最小值．
【解析】 (1)∵f(x)＝ax－1a2＋1－1a，
∴函數f(x)的對稱軸為直線x＝1a.
∵x∈[1,3]且13≤a≤1，即1≤1a≤3.
則①當1≤1a≤2即12≤a≤1，x＝1a時，f(x)有最小值．
m(a)＝f 1a＝1－1a；
當x＝3時，f(x)有最大值，
即M(a)＝f(3)＝9a－5.
∴g(a)＝M(a)－m(a)＝9a＋1a－6.
②當2＜1a≤3即13≤a＜12時，x＝1a時，
f(x)有最小值，f(x)min＝m(a)＝1－1a，
當x＝1時，f(x)max＝M(a)＝a－1
∴g(a)＝M(a)－m(a)＝a＋1a－2
綜上，g(a)＝
(2)當12≤a≤1時，g(a)在12，1上是增函數，
即g(a)min＝g12＝12.
當13≤a≤12時，g(a)在13，12上是減函數，
即g(a)min＝g12＝12＋2－2＝12.故g(a)min＝12.
【答案】 (1)g(a)＝
(2)g(a)min＝12
22．(14分) (2010湛江模擬)已知函數f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．
(1)當a＝1時，曲線y＝f(x)上P點處的切線與直線x－3y－2＝0垂直，求P點的座標；
(2)求函數f(x)的單調區間．
【解析】 (1)∵直線x－3y－2＝0的斜率為13，
∴切線的斜率為－3.
由f(x)＝x3＋3|x－1|得：
當x≥1時，f(x)＝x3＋3x－3，f′(x)＝3x2＋3＝－3不成立，∴切線不存在；
當x＜1時，f(x)＝x3－3x＋3，f′(x)＝3x2－3＝－3，∴x＝0，∴P點的座標為(0,3)．
(2)當x≥a時，f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3＞0，
∴f(x)單調遞增．
當x＜a時，f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
若0＜a≤1，f′(x)＝0時，x＝－1；f′(x)＞0時，x＜－1；
f′(x)＜0時，－1＜x＜a；
若a＞1，f′(x)＝0時，x＝±1；f′(x)＞0時，x＜－1或1＜x＜a；
f′(x)＜0時，－1＜x＜1.
綜上可得：當0＜a≤1時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(a，＋∞)，單調遞減區間為(－1，a)；
當a＞1時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，單調遞減區間為(－1,1)．
