六年級奧數推理問題習題

甲、乙兩所學校的學生中，有些學生互相認識.已知甲校的學生中任何一個人也認不全乙校的學生，乙校的任意兩名學生都有甲校中的一個公共朋友.問：能否在甲校中找出兩個學生A、B，從乙校中找出三個學生C、D、E，使得A認識C、D，不認識E，B認識D、E，不認識C？説明理由.（認識是相互的，即甲認識乙時，乙也認識甲）.

分析：如果選乙校學生中任意兩個人為C、D，那麼甲校中有認識C、D的人，設它為A.因為A認不全乙校學生，所以在乙校中有學生E，A不認識E.這時A認識C、D，不認識E.按這個思路，再考慮選B時有些麻煩.雖然對於乙校的D、E，可知甲校中有學生認識D、E，如果把甲校的這個認識D、E的人選為B.這個B可能認識C，這樣就達不到題目要求了.之所以陷入上述困境，原因在於C、D在乙校中太"任意"了，在乙校中任選C、D，就可能使得最後甲校中的B選不出來，看來要選特殊一點的人.

因為甲校學生都認不全乙校的學生，所以存在甲校的認識乙校學生數目最多的人（或認識乙校學生數目最多的人之一）.選他為A.因為A認不全乙校學生，取A不認識的乙校的一名學生為E，設A認識的乙校的一名學生為D.

對於D、E，在甲校中有一個人，設它為B，B認識D、E.因為B認識E，A不認識E，所以A、B不是同一個人.

在A認識的乙校學生中，一定有B不認識的人，若不然，當A認識的乙校的'任何一名學生都認識B時，B至少要比A多認識一個人E，這與"甲校學生中認識乙校人數最多的人之一是A"的假定矛盾.設在乙校中，學生C認識A而不認識B，這樣就有：

A認識C、D，不認識E，B認識D、E，不認識C.

學而思老師提示：為論證的需要，選擇特殊元素（如最多、最少、最早、最晚、…等），是行之有效的辦法，這個特殊元素的性質作為論證的一個重要已知條件.