五年級奧數數論問題習題解析

求21000除以13的餘數

考點：同餘問題.

分析：這類型的題目都是採用一般方法來做，就是用前面幾個數字來找規律，尋找第幾個數被13除後的餘數是1，得出對應的次方就是餘數變化的週期，從而求出因此2的1000次方除以13的餘數是與2的4次方除以13的餘數相同，進而得出大答案。

解答：解：因為一個數字m如果能被13除餘1的話，它就可以寫成 m=13n+1這種形式。

那麼根據題意它再乘以2之後就是26m+2，

這個數被13除後的餘數顯然是2，又會跟第一個數的餘數相同了。

所以這個數對應的次方就是餘數變化的一個週期。

首先從2開始，2除以13的餘數是2;2的2次方是4，餘數是4;按照這個方法一直找下去，

發現第12個數也就是2的12次方被13除後餘1，所以12是餘數變化的週期。

接下來把1000除以12後得到餘數是4，因此2的1000次方除以13的餘數是與2的`4次方除以13的餘數相同。

∵2的4次方也就是16，除以13餘數為3。

故21000除以13的餘數為3。

點評：此題主要考查了同餘問題的性質，得出2的1000次方除以13的餘數是與2的4次方除以13的餘數相同是解決問題的關鍵。