關於數學最讓人難以理解的一點分析

Scott Aaronson是麻省理工學院電子工程與計算機科學專業的一名副教授，隸屬於計算機科學與人工智能實驗室。他是《從德謨克利特到量子計算》（Quantum Computing since Democritus , 2013）的作者。

在某種意義上，數學中的謎題比其他任何人類竭力探索的領域都要少。在數學上，我們可以真正地理解一些事物，比理解其他事物更加深刻。（當我年輕時，每當看懸疑電影時感到恐慌，我就會用背誦數學定理證明的方法來讓自己安心，因為至少這裏面的確定性是電影無法撼動的。）那麼為何還有許多人，尤其是數學家，對這個謎題最少的學科感到迷惑呢？他們在疑惑什麼呢？

數學世界當然是存在謎題的。對於入門者而言，數學有着數以千計的未解之謎，比如一些無人能證明或證偽的推斷，其中有些甚至耗費了數學家數十年的努力仍未能解決。儘管許多此類問題都很深奧和重要，我們現在仍可以找出一個簡單的例子：沒人能夠證明，圓周率π=3.141592653589…無盡的小數部分，數字0到9出現的頻率是相等的。

然而，出於一些原因（也適用於許多其他未解數學問題），是否該把這個問題稱為“謎題”還有爭議。對於大多數人來講，如果這些數字事實上並非等頻率出現，那才算得上引人好奇的謎題。但在數學上，最大的難題其實是要嚴密地證明：真實的情況就是任何具備常識的人經仔細思考後認為最可能發生的情況。正如威斯康星大學的數學家Jordan Ellenberg寫道，數學的一個骯髒祕密就是許多未解問題都有一個相似點：它們缺少神祕的巧合。

舉個例子，孿生素數猜想認為，有無限組相差為2的素數對（如3和5，或者11和13）。Ellenberg解釋道，要讓這個猜想成立，並不需要什麼神祕 “力量”將素數聚攏一起，只要別有什麼神祕力量把素數拆散就行了；或者以黎曼猜想為例，即一個特定的複變函數，無限多的非平凡零點都在一條直線上。當該假説被這樣描述時，聽上去的確像是個謎。為什麼無限多的數字都要恰好排列在一條線上呢？

但當你認識到，這個函數的每一個零點都編碼了素數分佈的全局信息時，神祕感也就消退了：只要有一個零點不在這條線上，就意味着有無限多的素數會以看上去極為不可能的方式聚攏在一起。所以，如果你願意，總得有一種神祕的規律存在，從而阻止更加神祕的第二種規律出現。

當然，並非所有的數學謎題都是要嚴密地論證常識的預測結果。1978年，肯考迪婭大學的John McKay注意到數字196883出現在兩個看起來毫不相關的數學領域。這是單純的巧合麼？1998年，Richard Borcherds（現就職于于加利福尼亞大學伯克利分校）證明了這絕非巧合（這受到英國數學家John Conway和Simon Norton提出的“魔羣月光”猜想的啟發），並因此獲得了菲爾茲獎。

你也許會覺得數學是一個巨大的陰謀：在某時某地，我們常會發現生活中的一些事物竟能夠如此一致，這樣的機率也太高了，以至於我們得説這絕非巧合，背後一定有更深入的解釋等着被髮掘。另一方面，恰恰由於整個學科都充滿了非巧合的模式，一旦你在數學上投入了足夠的時間，你也就見怪不怪了。

因此，關鍵的問題在於：當一個數學模型被解釋——不僅是被證明，而是已經用20種不同方法證明，完全被理解，就像勾股定理一樣——那還剩有神祕麼？我會説也許還有吧，但並不確定。

兩年前，一位捷克弦理論家，同時也是以保守態度而知名的數學博主Lubo? Motl曾指責理論計算機科學家不該相信“P≠NP” 猜想——這是計算領域一個未被證明的核心理論，但就這樣一個毫無合理依據的“偏見”，居然就成了包括我在內的理論計算機領域人士的羣體思維和意識形態，他認為這是不可接受的。因為持這種看法的不止Motl一人，他的指控本身並不是那麼引人注目，但他走得更遠：儘管他作出了讓步，認為在更接近物理學的數學領域裏，或許會存在支持某一陳述為真的客觀原因，但他聲稱，在遠離物理學的分支裏，數學就會變成一堆命題的雜亂堆砌。

有一些命題碰巧得到了證明，我們也因此同意它們是對的，就像我們會同意532+193=725一樣。但如果一個命題沒能被證明或者被證偽，在Motl看來，我們甚至都沒有辦法以比50%更高的概率“猜”出它到底是真是偽。這一不知真偽的命題無法與任何已經被證明的命題建立可靠的聯繫，也不能被歸入更寬泛的模式中，只能引出一個接一個不知真假的引理。

然而，我自己在研究中從未有過這種經歷，我認識的其他任何從事數學工作的人也從未有過這種經歷。沒錯，人們有時會感到驚訝，驚訝也是驚喜的重要來源之一。但驚訝之所以為驚訝，就在於它們的.稀有，因為其他大部分時候，事情都如專家預期般發展。而驚訝為何如此稀有，本身就是一個令人驚訝的謎。數學本可能變成Motl所説的樣子：在數學領域，我們所關注的命題到底是對是錯，背後並不存在人類能夠理解的理由。但總的來説，數學並沒有變成這樣，為什麼呢？

我們可以把這個問題表述得更清晰一些：在奧地利出生的數學家庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）告訴我們，如果我們無法得到一個數學問題的答案（除了可以被歸結於有限步計算的問題，例如白棋在遊戲中能否取勝），有可能是因為這個命題的解從根本上就不能用尋常的數學公理來證明或證偽。這一發現被稱為“哥德爾不完備性定理”，給整個數學界帶來了軒然大波。但是，85年之後，我們卻發現，這一定理大多數時候卻都處於休眠狀態。哥德爾的不完備定理只在特定情況下適用：只適用於某些關於整個公理系統的問題（通常只在你有意尋找不可證命題時才會遇到）；或是超限集合論中的某些問題（然而有人認為這些問題本來就不需要有確定的答案）；或是關於一組由0和1組成的特定字符串是否無規律的問題（這個問題好像也沒有什麼普遍意義，除非你出於某種理由對某個特定的無規字符串感興趣）；或是設計超快增長函數的問題。

為什麼會這樣？為什麼哥德爾不完備性定理並沒有大幅破壞數學的一致性呢？數學本可以不是這個樣子：理論上，費馬大定理、龐加萊猜想和其他關於數學的命題也都可以既無法證明也無法證偽，而如果這樣，那麼所有關於數學的有趣的事實就會分崩離析，成為一個個孤立的島嶼，這樣，每個島上就只剩一個問題，我們唯一需要操心的就是是否應該把它定為新的公理（而這也僅僅是個人口味問題罷了）。但情況並非如此：數學家發現的並不是數以百萬的孤立“島嶼”，而是一個“超大陸”，海岸外只有零星幾個“島嶼”——而大多數“島嶼”，隨着探索的深入，也最終與大陸聯繫在了一起。

於是問題又來了：為什麼呢？一個可能的原因是選擇效應：數學中當然有許多無規律的部分，但正因為它們無規律，人類也就對它沒有興趣了。我們教給學生、寫入教科書（或者寫入像本文一樣誇誇其談的文章裏）的部分，都是最終會與“大陸”聯繫起來的部分。同樣地，沒有人會驚歎於傳記主角為什麼會有如此精彩的生活，因為如果他們沒有如此精彩的人生經歷，也就不會有人為他們寫傳記了。

在我看來，這就是答案的一部分，但並不是答案的全部，因為它並不能解釋所有數學家都會遇到的一些事情：數學中很多看似無關的概念之間經常有着驚人相似的模式，或者有讓人意想不到的聯繫，甚至是在無人能夠提前預知的情況下。

第二個可能的原因是，即使是數學中看上去脱離物理的部分，也是由我們對物理世界的經驗間接啟發得來的——所以，由於我們所在的物理世界是內在一致的，它們也是內在一致的。這個答案可能會將“數學為何可以被人理解，又為何如此優雅”的謎題推回到另一個謎題，即匈牙利出生的數學家尤金·維格納（Eugene Wigner）所説的物理科學中數學的“不合理有效性”。

第三類原因則可能在於人類大腦的獨特特徵：它有一種神奇能力，天生傾向專注於終將可解的數學問題，同時天生傾向於研究彼此之間能產生有趣聯繫的概念，即使大腦並不知道自己在這麼做。

我不知道到底哪種答案更接近真實，或者説還有其他完全不同的答案。不過，我依然可以自信地説，數學是神祕的——但最神祕的一點，是它為什麼竟然沒有那麼神祕。