2018屆成都市九校聯考大學聯考理科數學聯考試卷及答案
大學聯考考生要拿出超越平時的拼勁來力戰大學聯考，就應該多做一些大學聯考聯考試卷，以下是本站小編為你整理的2018屆成都市九校聯考大學聯考理科數學聯考試卷，希望能幫到你。
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}，B={x|y=ln(2﹣x)}，則A∩B=( )
A.{x|﹣1
2.已知 ，則複數z+5的實部與虛部的和為( )
A.10 B.﹣10 C.0 D.﹣5
3.如圖程序框圖所示的算法來自於《九章算術》，若輸入a的值為16，b的值為24，則執行該程序框圖的結果為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.廣告投入對商品的銷售額有較大影響.某電商對連續5個年度的廣告費和銷售額進行統計，得到統計數據如表(單位：萬元)：
廣告費x 2 3 4 5 6
銷售額y 29 41 50 59 71
由表可得到迴歸方程為 =10.2x+ ，據此模型，預測廣告費為10萬元時的銷售額約為( )
A.101.2 B.108.8 C.111.2 D.118.2
5.設a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x>1)，則a，b，c的大小關係是( )
A.a
6.哈市某公司有五個不同部門，現有4名在校大學生來該公司實習，要求安排到該公司的兩個部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數為( )
A.40 B.60 C.120 D.240
7.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B.27π C.27 π D.
8.設等差數列{an}滿足3a8=5a15，且 ，Sn為其前n項和，則數列{Sn}的最大項為( )
A. B.S24 C.S25 D.S26
9.已知變量x，y滿足約束條件 若目標函數z=ax+by(a>0，b>0)的最小值為2，則 + 的最小值為( )
A.2+ B.5+2 C.8+ D.2
10.已知函數f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0，0<φ< )的圖象在y軸上的截距為1，且關於直線x= 對稱，若對於任意的x∈[0， ]，都有m2﹣3m≤f(x)，則實數m的取值範圍為( )
A.[1， ] B.[1，2] C.[ ，2] D.[ ， ]
11.如圖所示點F是拋物線y2=8x的焦點，點A、B分別在拋物線y2=8x及圓x2+y2﹣4x﹣12=0的實線部分上運動，且AB總是平行於x軸，則△FAB的周長的取值範圍是( )
A.(6，10) B.(8，12) C.[6，8] D.[8，12]
12.若關於x的方程(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|(e為自然對數的底數)有且僅有6個不等的實數解，則實數a的取值範圍是( )
A.( ，+∞) B.(e，+∞) C.(1，e) D.(1， )
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.
13.已知n= (2x+1)dx，則( ﹣ n的展開式中x2的係數為 .
14.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交於A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 .
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對平面內的任意一點M，平面內有一點D使得 ，則 = .
16.設Sn為數列{an}的前n項和，已知a1=2，對任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，則f(n)= (n∈N*)的最小值為 .
三、解答題：本大題共5小題，前5題每題12分，選考題10分，共70分.解答應寫出必要的文字説明、證明過程或演算步驟.
17.如圖，在△ABC中，點P在BC邊上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4.
(Ⅰ) 求∠ACP;
(Ⅱ) 若△APB的面積是 ，求sin∠BAP.
18.學校為了瞭解高三學生每天自主學習中國古典文學的時間，隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調查，其中每天自主學習中國古典文學的時間超過3小時的學生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調查結果如表：
古文迷 非古文迷 合計
男生 26 24 50
女生 30 20 50
合計 56 44 100
(Ⅰ)根據表中數據能否判斷有60%的把握認為“古文迷”與性別有關?
(Ⅱ)現從調查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行調查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數;
(Ⅲ)現從(Ⅱ)中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調查，記這3人中“古文迷”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分佈列與數學期望.
參考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d.
參考數據：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
k0 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
19.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體.
(Ⅰ)求證：AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1，AB= ，求二面角B﹣AD﹣E的大小.
20.在平面直角座標系中，直線 不過原點，且與橢圓 有兩個不同的公共點A，B.
(Ⅰ)求實數m取值所組成的集合M;
(Ⅱ)是否存在定點P使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補.若存在，求出所有定點P的座標;若不存在，請説明理由.
21.已知函數f(x)=lnx+ .
(Ⅰ) 若函數f(x)有零點，求實數a的取值範圍;
(Ⅱ) 證明：當a≥ ，b>1時，f(lnb)> .
請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號.[選修4-4：座標系與參數方程]
22.在平面直角座標系xOy中，已知曲線C： (a為參數)，在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極座標系中，直線l的極座標方程為 .
(1)求圓C的普通方程和直線l的直角座標方程;
(2)過點M(﹣1，0)且與直線l平行的直線l1交C於A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之積.
[選修4-5：不等式選講]
23.已知函數f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3，求實數a的取值範圍;
(Ⅱ) 若a≥1，x∈R，求證：f(x)≥2.
2018屆成都市九校聯考大學聯考理科數學聯考試卷答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}，B={x|y=ln(2﹣x)}，則A∩B=( )
A.{x|﹣1
【考點】1E：交集及其運算.
【分析】解不等式求出集合A，求函數定義域得出B，再根據定義寫出A∩B.
【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1
B={x|y=ln(2﹣x)}={x|2﹣x>0}={x|x<2}，
則A∩B={x|﹣1
故選：B.
2.已知 ，則複數z+5的實部與虛部的和為( )
A.10 B.﹣10 C.0 D.﹣5
【考點】A5：複數代數形式的乘除運算.
【分析】利用複數的運算法則、實部與虛部的定義、共軛複數的定義即可得出.
【解答】解： ，∴ =(1+2i)(2+i)=5i，可得z=﹣5i
則複數z+5=5﹣5i的實部與虛部的和為：5﹣5=0.
故選：C.
3.如圖程序框圖所示的算法來自於《九章算術》，若輸入a的值為16，b的值為24，則執行該程序框圖的結果為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考點】EF：程序框圖.
【分析】模擬程序的運行，根據程序流程，依次判斷寫出a，b的值，可得當a=b=8時，不滿足條件a≠b，輸出a的值為8，即可得解.
【解答】解：模擬程序的運行，可得
a=16，b=24
滿足條件a≠b，不滿足條件a>b，b=24﹣16=8，
滿足條件a≠b，滿足條件a>b，a=16﹣8=8，
不滿足條件a≠b，輸出a的值為8.
故選：C.
4.廣告投入對商品的銷售額有較大影響.某電商對連續5個年度的廣告費和銷售額進行統計，得到統計數據如表(單位：萬元)：
廣告費x 2 3 4 5 6
銷售額y 29 41 50 59 71
由表可得到迴歸方程為 =10.2x+ ，據此模型，預測廣告費為10萬元時的銷售額約為( )
A.101.2 B.108.8 C.111.2 D.118.2
【考點】BK：線性迴歸方程.
【分析】求出數據中心，代入迴歸方程求出 ，再將x=10代入迴歸方程得出答案.
【解答】解：由題意， =4， =50.
∴50=4×10.2+ ，解得 =9.2.∴迴歸方程為 =10.2x+9.2.
∴當x=10時， =10.2×10+9.2=111.2.
故選：C.
5.設a=20.3，b=0.32，c=logx(x2+0.3)(x>1)，則a，b，c的大小關係是( )
A.a
【考點】4C：指數函數單調性的應用.
【分析】利用指數函數y=ax和對數函數的單調性，比較大小
【解答】解：∵a=20.3<21=2且a=20.3>20=1，
∴1
又∵b=0.32<0.30=1，
∵x>1，∴c=logx(x2+0.3)>logxx2=2，
∴c>a>b.
故選B
6.哈市某公司有五個不同部門，現有4名在校大學生來該公司實習，要求安排到該公司的兩個部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數為( )
A.40 B.60 C.120 D.240
【考點】D8：排列、組合的實際應用.
【分析】本題是一個計數問題，由題意可知，可分兩步完成計數，先對四名大學生分組，分法有 種，然後再排到5個部門的兩個部門中，排列方法有A52，計算此兩數的乘積即可得到不同的安排方案種數，再選出正確選項
【解答】解：此問題可分為兩步求解，第一步將四名大學生分為兩組，由於分法為2，2，考慮到重複一半，故分組方案應為 種，
第二步將此兩組大學生分到5個部門中的兩個部門中，不同的安排方式有A52，
故不同的安排方案有 A52=60種，
故選：B.
7.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為( )
A. B.27π C.27 π D.
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的四稜錐，其外接球等同於稜長為3的正方體的外接球，從而求得答案.
【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是以俯視圖為底面的四稜錐，
其底面是邊長為3的正方形，且高為3，
其外接球等同於稜長為3的正方體的外接球，
所以外接球半徑R滿足：2R= = ，
所以外接球的表面積為S=4πR2=27π.
故選：B.
8.設等差數列{an}滿足3a8=5a15，且 ，Sn為其前n項和，則數列{Sn}的最大項為( )
A. B.S24 C.S25 D.S26
【考點】85：等差數列的前n項和.
【分析】設等差數列{an}的公差為d，由3a8=5a15，利用通項公式化為2a1+49d=0，由 ，可得d<0，Sn=na1+ d= (n﹣25)2﹣ d.利用二次函數的單調性即可得出.
【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，∵3a8=5a15，∴3(a1+7d)=5(a1+14d)，化為2a1+49d=0，
∵ ，∴d<0，∴等差數列{an}單調遞減，
Sn=na1+ d= + d= (n﹣25)2﹣ d.
∴當n=25時，數列{Sn}取得最大值，
故選：C.
9.已知變量x，y滿足約束條件 若目標函數z=ax+by(a>0，b>0)的最小值為2，則 + 的最小值為( )
A.2+ B.5+2 C.8+ D.2
【考點】7C：簡單線性規劃.
【分析】畫出可行域，利用目標函數去最小值得到a，b的等式，利用基本不等式求解 + 的最小值.
【解答】解：約束條件對應的 區域如圖：目標函數z=ax+by(a>0，b>0)經過C時取最小值為2，
所以a+b=2，
則 + = ( + )(a+b)= (4+ )
≥2+ =2+ ;
當且僅當 a=b，並且a+b=2時等號成立;
故選A.
10.已知函數f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0，0<φ< )的圖象在y軸上的截距為1，且關於直線x= 對稱，若對於任意的x∈[0， ]，都有m2﹣3m≤f(x)，則實數m的取值範圍為( )
A.[1， ] B.[1，2] C.[ ，2] D.[ ， ]
【考點】H2：正弦函數的圖象.
【分析】利用函數y=Asin(ωx+φ)+B的圖象和性質，正弦函數的定義域和值域，求得實數m的取值範圍.
【解答】解：∵函數f(x)=Asin(2x+φ)﹣ (A>0，0<φ< )的圖象在y軸上的截距為1，
∴Asinφ﹣ =1，即Asinφ= .
∵函數f(x)=Asin(2x+φ)﹣ 的圖象關於直線x= 對稱，∴2• +φ=kπ+ ，k∈Z，∴φ= ，
∴A•sin = ，∴A= ，∴f(x)= sin(2x+ )﹣ .
對於任意的x∈[0， ]，都有m2﹣3m≤f(x)，
∵2x+ ∈[ ， ]，sin(2x+ )∈[﹣ ，1]， sin(2x+ )∈[﹣ ， ]，f(x)∈[﹣2， ﹣1]，
∴m2﹣3m≤﹣2，求得1≤m≤2，
故選：B.
11.如圖所示點F是拋物線y2=8x的焦點，點A、B分別在拋物線y2=8x及圓x2+y2﹣4x﹣12=0的實線部分上運動，且AB總是平行於x軸，則△FAB的周長的取值範圍是( )
A.(6，10) B.(8，12) C.[6，8] D.[8，12]
【考點】K8：拋物線的簡單性質.
【分析】由拋物線定義可得|AF|=xA+2，從而△FAB的周長=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB，確定B點橫座標的範圍，即可得到結論.
【解答】解：拋物線的準線l：x=﹣2，焦點F(2，0)，
由拋物線定義可得|AF|=xA+2，
圓(x﹣2)2+y2=16的圓心為(2，0)，半徑為4，
∴△FAB的周長=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB﹣xA)+4=6+xB，
由拋物線y2=8x及圓(x﹣2)2+y2=16可得交點的橫座標為2，
∴xB∈(2，6)
∴6+xB∈(8，12)
故選B.
12.若關於x的方程(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|(e為自然對數的底數)有且僅有6個不等的實數解，則實數a的取值範圍是( )
A.( ，+∞) B.(e，+∞) C.(1，e) D.(1， )
【考點】54：根的存在性及根的個數判斷.
【分析】令g(x)=|x﹣2|ex，則方程有6解等價於g2(x)﹣2ag(x)+a=0有6解，判斷g(x)的單調性得出g(x)=t的根的分佈情況，得出方程t2﹣2at+a=0的根的分佈情況，利用二次函數的性質列不等式組解出a的範圍.
【解答】解：∵(x﹣2)2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，
∴(x﹣2)2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0，
令g(x)=|x﹣2|ex= ，則g′(x)= ，
∴當x≥2或x<1時，g′(x)>0，當1
∴g(x)在(﹣∞，1)上單調遞增，在(1，2)上單調遞減，在(2，+∞)上單調遞增，
∴當x=1時，g(x)取得極大值t(1)=e，
又x→﹣∞時，g(x)→0，g(2)=0，x→+∞時，g(x)→+∞，
作出g(x)的函數圖象如圖所示：
令g(x)=t，
由圖象可知：當0e時，方程g(x)=t有1解;
當t=e時，方程g(x)=t有2解;當t<0時，方程g(x)=t無解.
∵方程(x﹣2)2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0有6解，
即g2(x)﹣2ag(x)+a=0有6解，
∴關於t的方程t2﹣2at+a=0在(0，e)上有2解，
∴ ，解得1
故選D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.
13.已知n= (2x+1)dx，則( ﹣ n的展開式中x2的係數為 ﹣18 .
【考點】DB：二項式係數的性質.
【分析】利用定積分先求出n=6，再利用二項式定理通項公式求出Tr+1= ，由此能求出( ﹣ n的展開式中x2的係數.
【解答】解：n= (2x+1)dx=(x2+x)| =6，
∴( ﹣ n=( ﹣ 6，
Tr+1= =(36﹣r)(﹣1)r ，
令 =2，得r=5，
∴( ﹣ n的展開式中x2的係數為：(36﹣5)(﹣1)5 =﹣18.
故答案為：﹣18.
14.設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交於A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為 .
【考點】KC：雙曲線的簡單性質.
【分析】設雙曲線方程，由題意可得丨AB丨= =2×2a，求得b2=2a2，根據雙曲線的離心率公式e= = ，即可求得C的離心率.
【解答】解：設雙曲線方程： (a>0，b>0)，
由題意可知，將x=c代入，解得：y=± ，
則丨AB丨= ，
由丨AB丨=2×2a，
則b2=2a2，
∴雙曲線離心率e= = = ，
故答案為： .
15.在直角三角形△ABC中， ， ，對平面內的任意一點M，平面內有一點D使得 ，則 = 6 .
【考點】9V：向量在幾何中的應用.
【分析】據題意，可分別以邊CB，CA所在直線為x軸，y軸，建立一平面直角座標系，得到A(0，3)，並設M(x，y)，D(x′，y′)，B(b，0)，這樣根據條件 即可得到 ，即得到 ，進行數量積的座標運算即可求出 的值.
【解答】解：根據題意，分別以CB，CA為x，y軸，建立如圖所示平面直角座標系，則：
A(0，3)，設M(x，y)，B(b，0)，D(x′，y′);
∴由 得：
3(x′﹣x，y′﹣y)=(b﹣x，﹣y)+2(﹣x，3﹣y);
∴ ;
∴ ;
∴ .
故答案為：6.
16.設Sn為數列{an}的前n項和，已知a1=2，對任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，則f(n)= (n∈N*)的最小值為 .
【考點】8E：數列的求和.
【分析】對任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，則 ﹣an=2，利用等差數列的求和公式可得Sn.f(n)= = =n+1+ ﹣1，令g(x)=x+ (x≥1)，利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出.
【解答】解：∵對任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，則 ﹣an=2，
∴數列{an}是等差數列，公差為2.
∴Sn=2n+ =n+n2.
則f(n)= = =n+1+ ﹣1，
令g(x)=x+ (x≥1)，則g′(x)=1﹣ = ，可得x∈[1， 時，函數g(x)單調遞減;x∈ 時，函數g(x)單調遞增.
又f(7)=14+ ，f(8)=14+ .
∴f(7)
∴f(n)= (n∈N*)的最小值為 .
故答案為： .
三、解答題：本大題共5小題，前5題每題12分，選考題10分，共70分.解答應寫出必要的文字説明、證明過程或演算步驟.
17.如圖，在△ABC中，點P在BC邊上，∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4.
(Ⅰ) 求∠ACP;
(Ⅱ) 若△APB的面積是 ，求sin∠BAP.
【考點】HR：餘弦定理;HP：正弦定理.
【分析】(Ⅰ) 在△APC中，由余弦定理得AP2﹣4AP+4=0，解得AP=2，可得△APC是等邊三角形，即可得解.
(Ⅱ) 法1：由已知可求∠APB=120°.利用三角形面積公式可求PB=3.進而利用餘弦定理可求AB，在△APB中，由正弦定理可求sin∠BAP= 的值.
法2：作AD⊥BC，垂足為D，可求： ，利用三角形面積公式可求PB，進而可求BD，AB，利用三角函數的定義可求 ， .利用兩角差的正弦函數公式可求sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)的值.
【解答】(本題滿分為12分)
解：(Ⅰ) 在△APC中，因為∠PAC=60°，PC=2，AP+AC=4，
由余弦定理得PC2=AP2+AC2﹣2•AP•AC•cos∠PAC，…
所以22=AP2+(4﹣AP)2﹣2•AP•(4﹣AP)•cos60°，
整理得AP2﹣4AP+4=0，…
解得AP=2.…
所以AC=2.…
所以△APC是等邊三角形.…
所以∠ACP=60°.…
(Ⅱ) 法1：由於∠APB是△APC的外角，所以∠APB=120°.…
因為△APB的面積是 ，所以 .…
所以PB=3.…
在△APB中，AB2=AP2+PB2﹣2•AP•PB•cos∠APB=22+32﹣2×2×3×cos120°=19，
所以 .…
在△APB中，由正弦定理得 ，…
所以sin∠BAP= = .…
法2：作AD⊥BC，垂足為D，
因為△APC是邊長為2的等邊三角形，
所以 .…
因為△APB的面積是 ，所以 .…
所以PB=3.…
所以BD=4.
在Rt△ADB中， ，…
所以 ， .
所以sin∠BAP=sin(∠BAD﹣30°)=sin∠BADcos30°﹣cos∠BADsin30°…
= = .…
18.學校為了瞭解高三學生每天自主學習中國古典文學的時間，隨機抽取了高三男生和女生各50名進行問卷調查，其中每天自主學習中國古典文學的時間超過3小時的學生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調查結果如表：
古文迷 非古文迷 合計
男生 26 24 50
女生 30 20 50
合計 56 44 100
(Ⅰ)根據表中數據能否判斷有60%的把握認為“古文迷”與性別有關?
(Ⅱ)現從調查的女生中按分層抽樣的方法抽出5人進行調查，求所抽取的'5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數;
(Ⅲ)現從(Ⅱ)中所抽取的5人中再隨機抽取3人進行調查，記這3人中“古文迷”的人數為ξ，求隨機變量ξ的分佈列與數學期望.
參考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d.
參考數據：
P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010
k0 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635
【考點】BK：線性迴歸方程.
【分析】(Ⅰ)求出K2，與臨界值比較，即可得出結論;
(Ⅱ)調查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分層抽樣的方法抽出5人，即可得出結論;
(Ⅲ)ξ的所有取值為1，2，3.求出相應的概率，即可求隨機變量ξ的分佈列與數學期望.
【解答】解：(Ⅰ)由列聯表得K2= ≈0.6494<0.708，
所以沒有60%的把握認為“古文迷”與性別有關.…
(Ⅱ)調查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分層抽樣的方法抽出5人，則“古文迷”的人數為 =3人，“非古文迷”有 =2人.
即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人數分別為3人和2人…
(Ⅲ)因為ξ為所抽取的3人中“古文迷”的人數，所以ξ的所有取值為1，2，3.
P(ξ=1)= = ，P(ξ=2)= = ，P(ξ=3)= = .…
所以隨機變量ξ的分佈列為
ξ 1 2 3
P
於是Eξ=1× +2× +3× = .…
19.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體.
(Ⅰ)求證：AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1，AB= ，求二面角B﹣AD﹣E的大小.
【考點】MT：二面角的平面角及求法;LW：直線與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ) 只需證明DC⊥AB，由AD⊥AB，DC∩AD=D，得AB⊥平面ADC
(Ⅱ) 易得∴ ，建立空間直角座標D﹣xyz，則D(0，0，0)，B( ，0，0)，C(0， ，0)，E( ， ，0)，A( )，
求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，由cos ，求得二面角B﹣AD﹣E的大小為600.
【解答】解：(Ⅰ)證明：因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
又DB⊥DC，所以DC⊥平面ABD…
因為AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB…
又AD⊥AB，DC∩AD=D，所以AB⊥平面ADC.…
(Ⅱ)∵AB= ，AD=1.∴DB=
依題意△ABD∽△BDC，
所以 ，即 .∴ …
如圖所示，建立空間直角座標D﹣xyz，則D(0，0，0)，B( ，0，0)，C(0， ，0)，
E( ， ，0)，A( )，
， ).…
由(Ⅰ)知平面DAB的法向量 .…
設平面ADE的法向量
由 ，令x= ，可取 ).…
所以cos =﹣ .…
由圖可知二面角B﹣AD﹣E的平面角為鋭角，
所以二面角B﹣AD﹣E的大小為600.…
20.在平面直角座標系中，直線 不過原點，且與橢圓 有兩個不同的公共點A，B.
(Ⅰ)求實數m取值所組成的集合M;
(Ⅱ)是否存在定點P使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補.若存在，求出所有定點P的座標;若不存在，請説明理由.
【考點】KL：直線與橢圓的位置關係.
【分析】(1)由直線 不過原點，知m≠0，將 與 聯立，得： ，由此利用根的判別式，能求出實數m的範圍組成的集合M.
(2)假設存在定點P(x0，y0)使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補，則kPA+kPB=0，令 ，得： ，由此利用韋達定理能求出所有定點P的座標.
【解答】解：(1)因為直線 不過原點，所以m≠0，
將 與 聯立，消去y得： ，
因為直線與橢圓有兩個不同的公共點A，B，
所以△=8m2﹣16(m2﹣4)>0，解得 ，
所以實數m的範圍組成的集合M是 ;
(2)假設存在定點P(x0，y0)使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補，
即kPA+kPB=0，令 ，
所以 ，
整理得： ，
由(1)知x1，x2是 的兩個根，
所以 ，
代入(*)化簡得 ，
由題意 解得 或
所以定點P的座標為 或 ，
經檢驗，滿足題意，
所以存在定點P使得任意的m∈M，都有直線PA，PB的傾斜角互補，
座標為 或 .
21.已知函數f(x)=lnx+ .
(Ⅰ) 若函數f(x)有零點，求實數a的取值範圍;
(Ⅱ) 證明：當a≥ ，b>1時，f(lnb)> .
【考點】6E：利用導數求閉區間上函數的最值;6B：利用導數研究函數的單調性.
【分析】(Ⅰ)法一：求出函數f(x)的導數，得到函數的單調區間，求出f(x)的最小值，從而求出a的範圍即可;
法二：求出a=﹣xlnx，令g(x)=﹣xlnx，根據函數的單調性求出g(x)的最大值，從而求出a的範圍即可;
(Ⅱ)令h(x)=xlnx+a，通過討論a的範圍，根據函數的單調性證明即可.
【解答】解：(Ⅰ)法1：函數 的定義域為(0，+∞).
由 ，得 .…
因為a>0，則x∈(0，a)時，f'(x)<0;x∈(a，+∞)時，f'(x)>0.
所以函數f(x)在(0，a)上單調遞減，在(a，+∞)上單調遞增.…
當x=a時，[f(x)]min=lna+1.…
當lna+1≤0，即00，則函數f(x)有零點.…
所以實數a的取值範圍為 .…
法2：函數 的定義域為(0，+∞).
由 ，得a=﹣xlnx.…
令g(x)=﹣xlnx，則g'(x)=﹣(lnx+1).
當 時，g'(x)>0; 當 時，g'(x)<0.
所以函數g(x)在 上單調遞增，在 上單調遞減.…
故 時，函數g(x)取得最大值 .…
因而函數 有零點，則 .…
所以實數a的取值範圍為 .…
(Ⅱ)證明：令h(x)=xlnx+a，則h'(x)=lnx+1.
當 時，h'(x)<0;當 時，h'(x)>0.
所以函數h(x)在 上單調遞減，在 上單調遞增.
當 時， .…
於是，當a≥ 時， .①…
令φ(x)=xe﹣x，則φ'(x)=e﹣x﹣xe﹣x=e﹣x(1﹣x).
當00;當x>1時，f'(x)<0.
所以函數φ(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減.
當x=1時， .…
於是，當x>0時， .②…
顯然，不等式①、②中的等號不能同時成立.
故當x>0， 時，xlnx+a>xe﹣x.…
因為b>1，所以lnb>0.
所以lnb•ln(lnb)+a>lnb•e﹣lnb.…
所以 ，即 .…
請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號.[選修4-4：座標系與參數方程]
22.在平面直角座標系xOy中，已知曲線C： (a為參數)，在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極座標系中，直線l的極座標方程為 .
(1)求圓C的普通方程和直線l的直角座標方程;
(2)過點M(﹣1，0)且與直線l平行的直線l1交C於A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之積.
【考點】Q4：簡單曲線的極座標方程;QH：參數方程化成普通方程.
【分析】(1)利用三種方程的轉化方法，求圓C的普通方程和直線l的直角座標方程;
(2)利用參數的幾何意義，即可求點M到A，B兩點的距離之積.
【解答】解：(1)曲線C： (a為參數)，化為普通方程為： ，
由 ，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直線l的直角座標方程為x﹣y+2=0.
(2)直線l1的參數方程為 (t為參數)，代入 ，化簡得： ，得t1t2=﹣1，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=1.
[選修4-5：不等式選講]
23.已知函數f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|.
(Ⅰ) 若f(1)<3，求實數a的取值範圍;
(Ⅱ) 若a≥1，x∈R，求證：f(x)≥2.
【考點】R5：絕對值不等式的解法;R4：絕對值三角不等式.
【分析】(Ⅰ)通過討論a的範圍得到關於a的不等式，解出取並集即可;(Ⅱ)基本基本不等式的性質證明即可.
【解答】解：(Ⅰ) 因為f(1)<3，所以|a|+|1﹣2a|<3.
①當a≤0時，得﹣a+(1﹣2a)<3，
解得 ，所以 ;
②當 時，得a+(1﹣2a)<3，
解得a>﹣2，所以 ;
③當 時，得a﹣(1﹣2a)<3，
解得 ，所以 ;
綜上所述，實數a的取值範圍是 .
(Ⅱ) 因為a≥1，x∈R，
所以f(x)=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|(x+a﹣1)﹣(x﹣2a)|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2.
