九年級上冊數學期會考試試卷
一、選擇題（每題3分，共18分）
1．一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4，那麼二次三項式x2+px+q可分解為（ ）
A． （x+3）（x﹣4） B． （x﹣3）（x+4） C． （x﹣3）（x﹣4） D． （x+3）（x+4）
2．如果x：（x+y）=3：5，那麼x：y=（ ）
A． B． C． D．
3．△ABC中，tanA=1，cosB= ，則△ABC的形狀是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 鋭角三角形
4．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接着他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那麼小剛舉起手臂超出頭頂（ ）
A． 0.5 m B． 0.55 m C． 0.6 m D． 2.2 m
5．某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那麼x滿足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
6．如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG並排放在一起，連結BD並延長交EG於點T，交FG於點P，則GT=（ ）
A． B． 2 C． 2 D． 1
二、填空題（每題3分，共30分）
7．一公園佔地面積約為800000m2，若按比例尺1：2000縮小後，其面積約為 m2．
8．設a，b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為 ．
9．若最簡二次根式 與 是同類二次根式，則x= ．
10．已知：如圖，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的座標為 ．
11．關於x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有實根，則實數a的範圍為 ．
12．無論x取任何實數，代數式 都有意義，則m的取值範圍為 ．
13．如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為 ．
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，則tan = ．
15．在Rt△ABC的直角邊AC邊上有一動點P（點P與點A，C不重合），過點P作直線截得的三角形與△ABC相似，滿足條件的直線最多有 條．
16．如圖，點P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，過點P作y軸的平行線，分別與直線y= x，直線y=﹣x交於A，B兩點，以AB為邊向右側作正方形ABCD．有下列五個結論：
①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2=2APPB；④S△AOB=3S△AOP；⑤當t=2時，正方形ABCD的周長是16．
其中正確結論的序號是 ．
三、解答題（共102分）
17．解方程
（1）x2﹣6x﹣18=0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
18．計算下列各題：
（1） sin6 0°﹣tan30°cos60°；
（2）|﹣ |+2﹣1+ （π﹣ ）0﹣tan60°．
19．先化簡，再求值： ，其中a滿足方程a2+4a+1=0．
20．如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？
21．某 工廠現有80台機器，每台機器平均每天生產384件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發現，由於其它生產條件沒變，因此每增加一台機器，每台機器平均每天將少生產4件產品 ．問應增加多少台機器，才可以使每天的生產總量達到30976件？
22．如圖，大樓AB的高為16m，遠處有一塔CD，小李在樓底A處測得塔頂D處的仰角為60°，在樓頂B處測得塔頂D處的仰角為45°，其中A、C兩點分別位於B、D兩點正下方，且A、C兩點在同一水平線上，求塔CD的高．
23．已知關於x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0．
（1）求證：無論k取什麼實數值，這個方程總有實數根；
（2）能否找到一個實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若能找到，求出k的值；若不能，請説明理由．
（3）當等腰三角形ABC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長．
24．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交於點O，線段OA，OB的中點分別為E，F．
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交於點G，H，求 的值．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請説明理由．
26．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，且BE=2CE；F為AB上一動點，BF=nAF，連接DF，AE交於點P．
（1）若n=1，則 = ， = ；
（2）若n=2，求證：8AP=3PE；
（3）當n= 時，AE⊥DF（直接填出結果，不要求證明）．
2014-2015學年江蘇省泰州市靖江市靖城中學共同體九年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共18分）
1．一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4，那麼二次三項式x2+px+q可分解為（ ）
A． （x+3）（x﹣4） B． （x﹣3）（x+4） C． （x﹣3）（x﹣4） D． （x+3）（x+4）
考點： 解一元二次方程-因式分解法．
專題： 壓軸題．
分析： 只有把等號左邊的二次三項式分解為（x﹣x1）（x﹣x2），它的根才可能是x1，x2．
解答： 解：若一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4，
那麼倒數第二步為：（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x2+px+q=（x﹣3）（x﹣4），故選C．
點評： 用到的知識點為：若一元二次方程的兩根為x1，x2，那麼一元二次方程可整理為（x﹣x1）（x﹣x2）=0．
2．如果x：（x+y）=3：5，那麼x：y=（ ）
A． B． C． D．
考點： 比例的性質．
分析： 首先根據x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，進而得到x：y=3：2．
解答： 解：∵x：（x+y）=3：5，
∴5x=3x+3y，
2x=3y，
∴x：y=3：2= ，
故選：D．
點評： 此題主要考查了比例的性質，關鍵是掌握內項之積等於外項之積．
3．△ABC中，tanA=1，cosB= ，則△ABC的形狀是（ ）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形
C． 等腰直角三角形 D． 鋭角三角形
考點： 特殊角的三角函數值．
分析： 先根據△ABC中，tanA=1，cosB= 求出∠A及∠B的度數，進而可得出結論．
解答： 解：∵△ABC中，tanA=1，cosB= ，
∴∠A=90°，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故選C．
點評： 本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵．
4．小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影長為0.85m，緊接着他把手臂豎直舉起，測得影長為1.1m，那麼小剛舉起手臂超出頭頂（ ）
A． 0.5 m B． 0.55 m C． 0.6 m D． 2.2 m
考點： 相似三角形的應用．
分析： 根據在同一時物體的高度和影長成正比，設出手臂豎直舉起時總高度x，即可列方程解出x的值，再減去身高即可得出小剛舉起的手臂超出頭頂的高度．
解答： 解：設手臂豎直舉起時總高度xm，列方程得：
= ，
解得x=2.2，
2.2﹣1.7=0.5m，
所以小剛舉起的手臂超出頭頂的高度為0.5m．
故選：A．
點評： 本題考查了相似三角形的應用，解答此題的關鍵是明確在同一時刻物體的高度和影長成正比．
5．某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那麼x滿足的方程是（ ）
A． 50（1+x2）=196 B． 50+50（1+x2）=196
C． 50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D． 50+50（1+x）+50（1+2x）=196
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 主要考查增長率問題，一般增長後的量=增長前的量×（1+增長率），如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那麼可以用x分別表示八、九月份的產量，然後根據題意可得出方程．
解答： 解：依題意得八、九月份的產量為50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故選C．
點評： 本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數量，b為終止時間的有關數量．
6．如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG並排放在一起，連結BD並延長交EG於點T，交FG於點P，則GT=（ ）
A． B． 2 C． 2 D． 1
考點： 正方形的性質．
專題： 壓軸題．
分析： 根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，從而得到△DGT是等腰直角三角形，根據正方形的邊長求出DG，再根據等腰直角三角形的直角邊等於斜邊的 倍求解即可．
解答： 解：∵BD、GE分別是正方形ABCD，正方形CEFG的對角線，
∴∠ADB=∠CGE=45°，
∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵兩正方形的邊長分別為4，8，
∴DG=8﹣4=4，
∴GT= ×4=2 ．
故選B．
點評： 本題考查了正方形的性質，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，等腰直角三角形的判定與性質．
二、填空題（每題3分，共30分）
7．一公園佔地面積約為800000m2，若按比例尺1：2000縮小後，其面積約為 0.2 m2．
考點： 比例線段．
專題： 應用題．
分析： 根據相似多邊形面積的比是相似比的平方，列比例式求得圖上面積．
解答： 解：設其縮小後的面積為xm2，
則x：800000=（1：200 0）2，
解得x=0.2m2．
∴其面積約為0.2m2．
點評： 注意相似多邊形的面積的比是相似比的平方．
8．設a，b是方程x2+x﹣2009=0的兩個實數根，則a2+2a+b的值為 2008 ．
考點： 根與係數的關係；一元二次方程的解．
分析： 根據根與係數的關係，可先求出a+b的值，然後代入所求代數式，又因為a是方程x2+x﹣2009=0的根，把a代入方程可求出a2+a的值，再代入所求代數式可求值．
解答： 解：根據題意得a+b=﹣1，ab=﹣2009，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=a2+a﹣1，
又∵a是x2+x﹣2009=0的根，
∴a2+a﹣2009=0，
∴a2+a=2009，
∴a2+2a+b=2009﹣1=2008．
點評： 根據根與係數的關係、以及方程根的定義可求此題．
9．若最簡二次根式 與 是同類二次根式，則x= 5 ．
考點： 同類二次根式．
專題： 計算題．
分析： 根據同類二次根式的被開方數相同可得出關於x的方程，解出即可．
解答： 解：由題意得：x2﹣4x=10﹣x，
解得：x=5或x=﹣2，
當x=﹣2是不滿足為最簡二次根式，故舍去．
故答案為：5．
點評： 本題考查同類二次根式的知識，難度不大，注意求出x之後檢驗是否滿足題意．
10．（ 3分）（2011白下區二模）已知：如圖，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的座標為 （﹣2，1）或（2，﹣1） ．
考點： 位似變換．
分析： E（﹣4，2）以O為位似中心，按比例尺1：2，把△EFO縮小，則點E的對應點E′的座標是E（﹣4，2）的座標同時乘以 或﹣ ，因而得到的點E′的座標為（﹣2，1）或（2，﹣1）．
解答： 解：根據題意可知，點E的對應點E′的座標是E（﹣4，2）的座標同時乘以 或﹣ ，
所以點E′的座標為（﹣2，1）或（2，﹣1）．
點評： 關於原點成位似的兩個圖形，若位似比是k，則原圖形上的點（x，y），經過位似變化得到的對應點的座標是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．是需要記憶的內容．
11．關於x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有實根，則實數a的範圍為 a≤ 且a≠6 ．
考點： 根的判別式；一元二次方程的定義．
分析： 根據一元二次方程的定義及根的判別式的意義，得出a﹣6≠0且△=64﹣36（a﹣6）≥0，求出不等式組的解集即可得到實數a的範圍．
解答： 解：∵關於x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有實根，
∴a﹣6≠0且△=64﹣36（a﹣6）≥0，
解得a≤ 且a≠6．
故答案為：a≤ 且a≠6．
點評： 本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關係：
（1）△＞0方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0方程沒有實數根．
同時考查了一元二次方程的定義．
12． 無論x取任何實數，代數式 都有意義，則m的取值範圍為 m≥9 ．
考點： 二次根式有意義的條件；非負數的性質：偶次方；配方法的應用．
專題： 壓軸題．
分析： 二次根式的被開方數是非負數，即x2﹣6x+m=（x﹣3）2﹣9+m≥0，所以（x﹣3）2≥9﹣m．通過偶次方（x﹣3）2是非負數可求得9﹣m≤0，則易求m的取值範圍．
解答： 解：由題意，得
x2﹣6x+m≥0，即（x﹣3）2﹣9+m≥0，
∵（x﹣3）2≥0，要使得（x﹣3）2﹣9+ m恆大於等於0，
∴m﹣9≥0，
∴m≥9，
故答案為：m≥9．
點評： 考查了二次根式的意義和性質．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．
13．如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為α，則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為 ．
考點： 解直角三角形；特殊角的三角函數值．
分析： 重疊部分為菱形，運用三角函數定義先求邊長AB，再求出面積．
解答： 解：∵AC= ，
∴它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積為：
×1= ．
故答案為： ．
點評： 本題問題中，巧妙的運用三角函數求邊長是解題的關鍵．
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC= ，則tan = ．
考點： 特殊角的三角函數值．
分析： 先根據題意畫出圖形，由特殊角的三角函數值求出∠A的度數，再求則tan 的值即可．
解答： 解：如圖所示，AB=2，BC= ，
∴sinA= = ，
∴∠A=60°．
∴tan =tan30°= ．
點評： 此題比較簡單，解答此題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值，根據數形結合解答．
15．在Rt△ABC的直角邊AC邊上有一動點P（點P與點A，C不重合），過點P作直線截得的三角形與△ABC相似，滿足條件的直線最多有 4 條．
考點： 相似三角形的.判定．
分析： 過點P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形已經有一個公共角，只要再作一個等於△ABC的另一個角即可．
解答： 解：①過點P作AB的垂線段PD，則△ADP∽△ACB；
②過點P作BC的平行線PE，交AB於E，則△APE∽△ACB；
③過點P作AB的平行線PF，交BC於F，則△PCF∽△ACB；
④作∠PGC=∠A，則△GCP∽△ACB．
故答案為：4．
點評： 本題主要考查相似三角形的判定，用到的知識點：平行於三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；有兩個角對應相等的兩個三角形相似．
16．如圖，點P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，過點P作y軸的平行線，分別與直線y= x，直線y=﹣x交於A，B兩點，以AB為邊向右側作正方形ABCD．有下列五個結論：
①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2=2APPB；④S△AOB=3S△AOP；⑤當t=2時，正方形ABCD的周長是16．
其中正確結論的序號是 ③④ ．
考點： 一次函數綜合題．
分析： ①由兩條垂直直線的斜率的積等於﹣1即可判定①∠AOB=90°故選項錯誤；
②根據等腰三角形的判定定理即可判定②△AOB是等腰三角形，故選項錯誤；
③由直線的斜率可知 = ， =1，根據2（ ）= ，即可求得OP2=2APPB，故選項正確；
④設A（m， m），則B（m，﹣m），得出△AOP的面積= OP m= mOP，△BOP的面積= OPm= OP，從而求得S△BOP=2S△AOP，進而得出S△AOB=3S△AOP，故選項正確；
⑤t=2時根據直線的解析式先求得PA=1、PB=2，進而求得AB=3，所以正方形的周長=12，故選項錯誤；
解答： 解：①由直線y= x，直線y=﹣x可知，它們的斜率的積=﹣ ≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°錯誤；
②∵AB⊥x軸，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°
∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，
∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；
③由直線的斜率可知： = ， =1，
∴2（ ）= ，
∴OP2=2APPB，故OP2=2APPB正確；
④設A（m， m），則B（m，﹣m），
∵△AOP的面積= OP m= mOP，△BOP的面積= OPm= OP，
∴S△BOP=2S△AOP，
∴S△AOB=3S△AOP，
故S△AOB=3S△AOP正確；
⑤t=2時，PA= ×2=1，
PB=|﹣1×2|=2，
∴AB=PA+PB=1+2=3，
∴正方形ABCD的周長=4AB=4×3=12；故當t=2時，正方形ABCD的周長是16錯誤；
故答案為③④．
點評： 本題考查了 直線斜率的特點，等腰三角形的判定，直角三角函數的意義，三角形的面積的求法，正方形的周長等，③OP2=2APPB的求得是本題的難點．
三、解答題（共102分）
17．解方程
（1）x2﹣6x﹣18=0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
考點： 解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
分析： （1）先移項，再在方程兩邊都加上一次項係數一半的平方，將方程左邊配成完全平方式，最後根據直接開平方解可以求解了．
（2）將原方程轉化為一般形式，再求出a、b、c的值，最後代入求根求解就可以了．
解答： 解：（1）移項，得
x2﹣6x=18，
在方程兩邊同時加上9，得
x2﹣6x+9=18+9，
左邊配方，得
（x﹣3）2=27，
解得x﹣3= ，
∴x1=3 +3，x2=﹣3 +3
（2）原方程變形為：
3x2+10x+5=0
∴a=3，b=10，c=5，
∴△=b2﹣4ac=100﹣60=40＞0，
∴x= ，
∴x1= ，x2= ．
點評： 本題是一道一元二次方程的解答題，考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的方法．
18．計算下列各題：
（1） sin60°﹣tan30°cos60°；
（2）|﹣ |+2﹣1+ （π﹣ ）0﹣tan60°．
考點： 實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．
分析： （1）將特殊角的三角函數值代入求解；
（2）分別進行絕對值的化簡、負整數指數冪、零指數冪等運算，然後合併．
解答： 解：（1）原式= ﹣ ×
= ﹣ ；
（2）原式= + + ﹣
=1．
點評： 本題考查了實數的運算，涉及了絕對值的化簡、負整數指數冪、零指數冪等知識，屬於基礎題．
19．先化簡，再求值： ，其中a滿足方程a2+4a+1=0．
考點： 分式的化簡求值．
專題： 計算題．
分析： 把原式括號裏的第二項提取﹣1，然後把原式的各項分子分母都分解因式，找出括號裏兩項分母的最簡公分母，利用分式的基本性質對括號裏兩項進行通分，然後利用同分母分式的減法運算法則：分母不變，只把分子相減，計算出結果，然後利用分式的除法法則：除以一個數等於乘以這個數的倒數，變形為乘法運算，約分後即可把原式化為最簡分式，把a滿足的方程變形後，代入原式化簡後的式子中即可求出值．
解答： 解：原式=
=
=
= = ，（6分）
∵a2+4a+1=0，∴a2+4a=﹣1，
∴原式= ．（10分）
點評： 此題考查了分式的混合運算，以及多項式的運算．分式的化簡求值題，應先對原式的分子分母分解因式，在分式的化簡運算中，要通觀全局，弄清有哪些運算，然後觀察能否用法則，定律，分解因式及公式來簡化運算，同時注意運算的結果要化到最簡，然後再代值計算．
20．如圖，路燈（P點）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點）20米的A點，沿OA所在的直線行走14米到B點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？
考點： 相似三角形的應用．
專題： 應用題．
分析： 如圖，由於AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性質求解．
解答： 解：∵∠MAC=∠MOP=90°，
∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴ ，
即 ，
解得，MA=5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影變短了5﹣1.5=3.5米．
點評： 解題時關鍵是找出相似的三角形，然後根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解答問題．
21．某工廠現有80台機器，每台機器平均每天生產384件產品，現準備增加一批同類機器以提高生產總量，在試生產中發現，由於其它生產條件沒變，因此每增加一台機器，每台機器平均每天將少生產4件產品．問應增加多少台機器，才可以使每天的生產總量達到30976件？
考點： 一元二次方程的應用．
分析： 設至少增加x台機器，可以使每天的生產總量達到30976頂，由於現有80台機器，每台機器平均每天生產384件產品，現準備增加一批 同類機器以提高生產總量，在生產過程中，由於其他生產條件沒變，因此每增加1台機器，平均每台每天將少生產4件產品，由此即可列出方程解決問題．
解答： 解：設增加x台機器，
依題意得（80+x）（384﹣4x）=30976，
解得x1=x2=8．
答：應增加8台機器，才可以使每天的生產總量達到30976件．
點評： 考查了一元二次方程的應用，此題和實際生活結合比較緊密，首先把握現有80台機器，每台機器平均每天生產384件產品，然後把握增加1台機器，平均每台每天將少生產4件產品就可以列出方程就問題．
22．如圖，大樓AB的高為16m，遠處有一塔CD，小李在樓底A處測得塔頂D處的仰角為60°，在樓頂B處測得塔頂D處的仰角為45°，其中A、C兩點分別位於B、D兩點正下方，且A、C兩點在同一水平線上，求塔CD的高．
考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
專題： 應用題．
分析： 首先分析圖形，根據題意構造直角三角形．本題涉及兩個直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分別計算，可得到一個關於AC的方程，從而求出DC．
解答： 解：作BE⊥CD於E．
可得Rt△BED和矩形ACEB．
則有CE=AB=16，AC=BE．
在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．
在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°= AC．
∵16+DE=DC，
∴16+AC= AC，
解得：AC=8 +8=DE．
所以塔CD的高度為（8 +24）米．
點評： 本題要求學生藉助仰角關係構造直角三角形，並結合圖形利用三角函數解直角三角形．
23．已知關於x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）=0．
（1）求證：無論k取什麼實數值，這個方程總有實數根；
（2）能否找到一個實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若能找到，求出k的值；若不能，請説明理由．
（3）當等腰三角形ABC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長．
考點： 根與係數的關係；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式；三角形三邊關係；等腰三角形的性質．
專題： 壓軸題；分類討論．
分析： （1）整理根的判別式，得到它是非負數即可．
（2）兩實數根互為相反數，讓﹣ =0即可求得k的值．
（3）分b=c，b=a兩種情況做．
解答： 證明：（1）∵△=（2k+1）2﹣16（k﹣ ）=（2k﹣3）2≥0，
∴方程總有實根；
解：（2）∵兩實數根互為相反數，
∴x1+x2=2k+1=0，
解得k=﹣0.5；
（3）①當b=c時，則△=0，
即（2k﹣3）2=0，
∴k= ，
方程可化為x2﹣4x+4=0，
∴x1=x2=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不適合題意捨去；
②當b=a=4，則42﹣4（2k+1）+4（k﹣ ）=0，
∴k= ，
方程化為x2﹣6x+8=0，
解得x1=4，x2=2，
∴c=2，
C△ABC=10，
當c=a=4時，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
綜上所述，△ABC的周長為10．
點評： 一元二次方程總有實數根應根據判別式來做，兩根互為相反數應根據根與係數的關係做，等腰三角形的周長應注意兩種情況，以及兩種情況的取捨．
24．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交於點O，線段OA，OB的中點分別為E，F．
（1）求證：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直線EF與線段AD，BC分別相交於點G，H，求 的值．
考點： 相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；三角形中位線定理；直角梯形；鋭角三角函數的定義．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF= AB，又CD∥AB，CD= AB，可得EF=CD，由平行線的性質可證△FOE≌△DOC；
（2）由平行線的性質可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB= ，由勾股定理得出AC與BC的關係，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG= CD，同理得FH= CD，又AB=2CD，代入 中求值．
解答： （1）證明：∵EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，EF= AB，
而CD∥AB，CD= AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；
（2）解：∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠CAB，
∵在Rt△ABC中，AC= = = BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB= = = ；
（3）解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴ = = ，即EG= CD，
同理FH= CD，
∴ = = ．
點評： 本題綜合考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，勾股定理，中位線定理，鋭角三角函數定義的運用．關鍵是由全等、相似得出相關線段之間的位置關係，數量關係．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請説明理由．
考點： 相似形綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： 根據勾股定理求得AB=5cm．
（1）分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值；
（2）如圖，過點P作PH⊥BC於點H，構造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然後根據“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S與t的關係式S= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5），則由二次函數最值的求法即可得到S的最小值．
解答： 解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根據勾股定理，得 =5cm．
（1）以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：
①當△AMP∽△ABC時， = ，即 = ，
解得t= ；
②當△APM∽△ABC時， = ，即 = ，
解得t=0（不合題意，捨去）；
綜上所述，當t= 時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似；
（2）存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：
假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
如圖，過點P作PH⊥BC於點H．則PH∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴PH= t，
∴S=S△ABC﹣S△BPN，
= ×3×4﹣ ×（3﹣t） t，
= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）．
∵ ＞0，
∴S有最小值．
當t= 時，S最小值= ．
答：當t= 時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是 ．
點評： 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例，二次函數最值的求法以及三角形面積公式．解答（1）題時，一定要分類討論，以防漏解．另外，利用相似三角形的對應邊成比例解題時，務必找準對應邊．
26 ．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上一點，且BE=2CE；F為AB上一動點，BF=nAF，連接DF，AE交於點P．
（1）若n=1，則 = ， = ；
（2）若n=2，求證：8AP=3PE；
（3）當n= 時，AE⊥DF（直接填出結果，不要求證明）．
考點： 正方形的性質；相似三角形的判定與性質．
專題： 動點型．
分析： （1）可通過構建相似三角形，根據相似三角形的對應邊成比例來求解．
（2）同（1）解法．
（3）根據已知及相似三角形的性質進行求解．
解答： 解：（1）延長AE交DC的延長線於H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
設EC=m，則AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
設AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH= n，
∴PE= n，
∴AP：PE=3：5，
∴ = ， = ；
（2）證明：如圖，延長AE交DC的延長線於H，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥DH，
∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，
∴△BEA∽△CEH，
∴ ，
設EC=2a，BE=4a，則AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，
同理：△AFP∽△HD P， ，
設AP=2k，PH=9k，
∴AH=11k，
∴EH= ，
∴PE= ，
∴ = ，
∴8AP=3PE；
（3）當AE⊥DF時，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，
∵△AFP∽△AFD，
∴FP：AP=AF：AD=2：3，
∴AF= AD= AB，BF= AB，
∴BF= AF，
∴n= ．
點評： 本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質等知識點，通過構建相似三角形得出相關線段間的比例關係是求解的關鍵．
