關於約數與倍數的國中奧數知識點

(1)公約數和最大公約數

幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

例如：4是12和16的最大公約數，可記做：(12 ，16)=4

(2)公倍數和最小公倍數

幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

例如：36是12和18的最小公倍數，記作[12，18]=36。

(3)最大公約數和最小公倍數的關係

如果用a和b表示兩個自然數

1、那麼這兩個自然數的最大公約數與最小公倍數關係是：

(a，b)×[a，b]=a×b。

(多用於求最小公倍數)

2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b]

3、[a，b]是(a，b)的倍數，(a，b)是[a，b]的約數

4、(a，b)是a+b 和a-b 的約數，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-[a，b]的約數

(4)求最大公約數的方法很多，主要：短除法、分解質因數法、輾轉相除法。

例如：

1、(短除法)用一個數去除30、60、75，都能整除，這個數最大是多少?

解：∵

(30，60，75)=5×3=15

這個數最大是15。

2、(分解質因數法)求1001和308的最大公約數是多少?

解：1001=7×11×13(這個質分解常用到) ， 308=7×11×4

所以最大公約數是7×11=77

在這種方法中，先將數進行質分解，而後取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。

3、(輾轉相除法)用輾轉相除法求4811和1981的.最大公約數。

解：∵4811=2×1981+849，

1981=2×849+283，

849=3×283，

∴(4811，1981)=283。

補充説明：如果要求三個或更多的數的最大公約數，可以先求其中任意兩個數的最大公約數，再求這個公約數與另外一個數的最大公約數，這樣求下去，直至求得最後結果。

(5)約數個數公式

一個合數的約數個數，等於它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。

例如：求240的約數的個數。

解：∵240=24×31×51，

∴240的約數的個數是

(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，

∴240有20個約數。