國中奧數數論約數與倍數知識點
(1)公約數和最大公約數
幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數;其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數。
例如:4是12和16的最大公約數,可記做:(12 ,16)=4
(2)公倍數和最小公倍數
幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫做這幾個數的最小公倍數。
例如:36是12和18的最小公倍數,記作[12,18]=36。
(3)最大公約數和最小公倍數的關係
如果用a和b表示兩個自然數
1、那麼這兩個自然數的.最大公約數與最小公倍數關係是:
(a,b)×[a,b]=a×b。
(多用於求最小公倍數)
2、(a,b) ≤ a ,b ≤ [a,b]
3、[a,b]是(a,b)的倍數,(a,b)是[a,b]的約數
4、(a,b)是a+b 和a-b 的約數,也是(a,b)+[a,b]和(a,b)-[a,b]的約數
(4)求最大公約數的方法很多,主要推薦:短除法、分解質因數法、輾轉相除法。
例如:1、(短除法)用一個數去除30、60、75,都能整除,這個數最大是多少?
解:∵
(30,60,75)=5×3=15
這個數最大是15。
2、(分解質因數法)求1001和308的最大公約數是多少?
解:1001=7×11×13(這個質分解常用到) , 308=7×11×4
所以最大公約數是7×11=77
在這種方法中,先將數進行質分解,而後取它們“所有共有的質因數之積”便是最大公約數。
3、(輾轉相除法)用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數。
解:∵4811=2×1981+849,
1981=2×849+283,
849=3×283,
∴(4811,1981)=283。
補充説明:如果要求三個或更多的數的最大公約數,可以先求其中任意兩個數的最大公約數,再求這個公約數與另外一個數的最大公約數,這樣求下去,直至求得最後結果。
(5)約數個數公式
一個合數的約數個數,等於它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。
例如:求240的約數的個數。
解:∵240=24×31×51,
∴240的約數的個數是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,
∴240有20個約數。