奧數練習題：完全平方數的數論

奧數是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度.讓我們一起來閲讀關於完全平方數的數論練習,感受奧數的奇異世界!

　1、一個自然數減去45及加上44都仍是完全平方數，求此數。

解：設此自然數為x，依題意可得

x-45=m^2;(1)

x+44=n^2(2)

(m,n為自然數)

(2)-(1)可得:

n^2-m^2=89或：(n-m)(n+m)=89

因為n+m>n-m

又因為89為質數，

所以：n+m=89;n-m=1

解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數是1981。

　2、求證：四個連續的整數的積加上1，等於一個奇數的平方(1954年基輔數學競賽題)。

分析設四個連續的整數為，其中n為整數。欲證

是一奇數的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數的平方即可。

證明設這四個整數之積加上1為m，則

m為平方數

而n(n+1)是兩個連續整數的積，所以是偶數;又因為2n+1是奇數，因而n(n+1)+2n+1是奇數。這就證明了m是一個奇數的平方。

3、求證：11,111,1111,這串數中沒有完全平方數(1972年基輔數學競賽題)。

分析形如的數若是完全平方數，必是末位為1或9的數的'平方，即

或

在兩端同時減去1之後即可推出矛盾。

證明若，則

因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。

若，則

因為左端為奇數，右端為偶數，所以左右兩端不相等。

綜上所述，不可能是完全平方數。

另證由為奇數知，若它為完全平方數，則只能是奇數的平方。但已證過，奇數的平方其十位數字必是偶數，而十位上的數字為1，所以不是完全平方數。

　4、求滿足下列條件的所有自然數：

(1)它是四位數。

(2)被22除餘數為5。

(3)它是完全平方數。

解：設，其中n,N為自然數，可知N為奇數。

11|N-4或11|N+4

或

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

所以此自然數為1369,2601,3481,5329,6561,9025。

5、甲、乙兩人合養了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元，全部賣完後，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最後，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”國中數學邀請賽試題)?

解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數個10元，即完全平方數的十位數字是奇數。如果完全平方數的十位數字是奇數，則它的個位數字一定是6。所以，的末位數字為6，即乙最後拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。

為您提供的關於完全平方數的數論練習，希望給您帶來啟發!