奧數十道博弈題目

【1】有1001根火柴放在盒子裏，甲、乙兩人輪流各取1根或2根，取到最後一根者為勝。必勝的最佳對策是什麼？

【2】在黑板上寫下一列連續的自然數：2、3、4、…、1999、2000，甲先擦去其中一個數，然後乙再擦去一個數。如此輪流地擦下去。若最後剩下兩個質數時，甲取勝；若最後剩下兩個數不互質時，乙取勝。這個遊戲中誰取勝的可能性最大？

【3】兩人輪流在圓桌面上擺硬幣，每次擺一枚，各個不能互相重疊，也不能有一部分在桌面的邊緣以外。這樣經過反覆多次以後，誰先擺不下硬幣就算輸。誰有必勝的策略？取勝的策略是什麼？

【4】請你參加一種遊戲：有1996個棋子，兩人輪流取棋子，每次允許取其中2個、4個或8個，誰最後把棋子取完，就算獲勝。如果你先取，那麼第一次你取多少個？先取的`人有一個必勝的方法，如果你已想出這個辦法，請寫出來。

【5】桌子上有a顆棋子，甲、乙兩人輪流拿棋子，他們規定：假如甲先拿，可以拿任意顆棋子，但不能拿光。接着乙拿，乙拿的棋子數最多隻能比甲拿的多一個。接着甲拿，最多隻能比乙剛才拿的數目多一個。接着乙拿，最多隻能比甲剛才拿的數目多一個。如此下去，最後一步誰把棋子拿光就算勝者。

【6】兩人按自然數輪流報數，每人每次只能報1或2個數，比如第1個人可以報1，第2個人可以報2或2、3；第1個人也可以報1、2，第2個人可以報3或3、4，這樣繼續下去，誰報到30，誰就勝。請問誰有必勝的策略？

【7】甲、乙兩人在計算機上玩如下游戲，兩人輪流從數中減去該數的一個非零數字得一個數，然後再從新數中減去它的一個非零整數，重複以上過程直至一人無數可減時，則此人為負，試，最終是先開始遊戲的人獲勝還是後開始的人獲勝？有無必勝的對策？

【8】 n個“一”排成一行，甲、乙輪流改寫“－”為“＋”，每次只准改一個或相鄰的兩個，先得全部“＋”者勝，若甲先改，請問甲是否有必勝的策略？

【9】 m、n是自然數，甲、乙二人輪番在m×n的方棋盤的每個格內放棋子，甲先放第一個棋子，乙只能在與上述棋子相鄰的某格內放棋子（相鄰格指有一條公共邊的兩個格），甲再放時又必須在與乙所放的棋子相鄰的某格內放棋子，以後輪番放棋子時也遵守這個規則，誰無法放棋子時誰失敗，為避免失誤，你願意先放還是後放？

【10】 在n×n的方格盤中，把其中n－1個方格染成黑色，其餘中不染色，染完後，允許按下述操作把某些未染色的方格染上黑色，規則是：只要是某個未染色的方格與兩個黑色方格相鄰（如果兩個方格有一條公共邊，就稱這兩個方格相鄰），就把這個方格染黑，證明：按照這種規則操作下去，不能把整個棋盤全染成黑色。