《多邊形的內角和》優秀教學設計

一、內容和內容解析

1.內容

多邊形的內角和.

2.內容解析

本節課是以三角形的內角和知識為基礎，通過組織學生觀察、類比、推理等數學活動，引導學生探索多邊形的內角和與外角和的公式.通過多種轉化方法的探究讓學生深刻體驗化歸思想，以及分類、數形結合的思想，從特殊到一般的認識問題的方法，發展學生合情推理能力和語言表達能力.

教材先是通過作對角線探求任意四邊形內角和.這個環節，通過自主學習環節的鋪墊及學生的現有知識，把未知的四邊形內角和轉化為已知的三角形內角和來求解，有效地突破本節課的難點.再作對角線探求五邊形、六邊形的內角和，找規律探求n邊形的內角和公式.這裏我增加了一個環節是通過從一個頂點出發作對角線，來達到分割為三角形的目的.從邊上、五邊形內、外的任意一點出發，與頂點連接，來分割三角形.這個環節我沒有直接把方法教授給學生，而是讓學生先在學案上自主探索，然後小組合作，探討，交流，小組彙報展示探索方法.這麼做，可以鍛鍊學生合作交流的能力，同時可以提高語言表達能力.最後通過例題2的處理：得出六邊形的外角和為360°如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果：n邊形的外角和等於360°.

本節課的教學重點是：多邊形的內角和與多邊形的外角和公式.

二、目標和目標解析

1. 教學目標

(1)瞭解多邊形的內角、外角等概念.

(2)能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式，並會應用它們進行有關計算.

2. 教學目標解析

(1)學生能正確理解多邊形的內角、外角等概念，感悟類比方法的價值.

(2)引導學生能夠從三角形的內角和知識出發，通過觀察、類比、推理等數學活動，探索多邊形的內角和的公式.通過多種轉化方法能深刻體驗化歸思想，以及分類、數形結合的思想.

三、教學問題診斷分析

對於多邊形的內角和定理的推導是通過作對角線探求五邊形、六邊形的內角和，通過數據的關係得到邊數n與分割三角形個數之間的關係，總結出邊數與分割三角形個數是n與n-2的關係，從而得到n邊形內角和為(n-2)×180°，體現由特殊到一般的轉化思想，顯得更加簡潔，明瞭，易懂.這裏我增加了一個環節是通過從一個頂點出發作對角線，來達到分割為三角形的目的.從邊上、五邊形內、外的任意一點出發，與頂點連接，來分割三角形.這個環節我沒有直接把方法教授給學生，而是讓學生先在學案上自主探索，然後小組合作，探討，交流，小組彙報展示探索方法.這麼做，可以鍛鍊學生合作交流的能力，同時可以提高語言表達能力.

本節課的教學難點：多邊形的內角和定理的推導.

四、教學過程設計

1.複習導入

我們已經證明了三角形的內角和為180°，在國小我們用量角器量過四邊形的內角的度數，知道四邊形內角的和為360°，現在你能利用三角形的內角和定理證明嗎?

2.多邊形的內角和

如圖，從四邊形的一個頂點出發可以引幾條對角線?它們將四邊形分成幾個三角形?那麼四邊形的內角和等於多少度?

可以引一條對角線;它將四邊形分成兩個三角形;因此，四邊形的內角和=△ABD的內角和+△BDC的內角和=2×180°=360°.

類似地，你能知道五邊形、六邊形…n邊形的內角和是多少度嗎?

觀察下面的圖形，填空：

五邊形 六邊形

從五邊形一個頂點出發可以引 條對角線，它們將五邊形分成 個三角形，五邊形的內角和等於 ;

從六邊形一個頂點出發可以引 條對角線，它們將六邊形分成 個三角形，六邊形的內角和等於 ;

從n邊形一個頂點出發，可以引 條對角線，它們將n邊形分成 個三角形，n邊形的內角和等於 .

n邊形的內角和等於(n-2)·180°

從上面的.討論我們知道，求n邊形的內角和可以將n邊形分成若干個三角形來求.現在以五邊形為例，你還有其它的分法嗎?

分法一：如圖1，在五邊形ABCDE內任取一點O，連結OA、OB、OC、OD、OE，則得五個三角形.

∴五邊形的內角和為5×180°-2×180°=(5-2)×180°=540°.

圖1 圖2

分法二： 如圖2，在邊AB上取一點O，連OE、OD、OC，則可以(5-1)個三角形.

∴五邊形的內角和為(5-1)×180°-180°=(5-2)×180°=540°.

如果把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形內角和=(n-2)×180°.

3.例題

例1 如果一個四邊形的一組對角互補，那麼另一組對角有什麼關係?

如圖，已知四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，求∠B與∠D的關係.

分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什麼關係?

解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°

又∠A+∠C=180°

∴∠B+∠D= 360°-(∠A+∠C)=180°

這就是説，如果四邊形一組對角互補，那麼另一組對角也互補.

例2 如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等於多少?

如圖，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分別為六邊形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.

分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什麼關係?六邊形的內角和是多少度?

解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BCD=180°

∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA

=6×180°

又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=(6-2)×180°=4×180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°=360°

這就是説，六邊形形的外角和為360°.

如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果：

n邊形的外角和等於360°.

對此，我們也可以這樣來理解.如圖，從多邊形的一個頂點A出發，沿多邊形各邊走過各頂點，再回到A點，然後轉向出發時的方向，在行程中所轉的各個角的和就是多邊形的外角和，由於走了一週，所得的各個角的和等於一個周角，所以多邊形的外角和等於360°.

4.課堂練習

課本24頁練習1、2、3題.

5.課堂小結

n邊形的內角和是多少度?

n邊形的外角和是多少度?

6.佈置作業：

教科書習題11.3第1，3，5，7，10題.

五、目標檢測設計

1.十邊形的內角和為( ).

A.1 260° B.1 440°

C.1 620° D.1 800°

【設計意圖】考查學生對多邊形內角和公式掌握程度，要特別注意對公式的理解記憶.

2.一個多邊形每個外角都是60°，這個多邊形是__________邊形，它的內角和是_______度，外角和是__________度.

【設計意圖】考查學生能否靈活運用多邊形的內角和與外角和公式，要注意審題.

3.一個多邊形的內角和等於1 440°，則它的邊數為__________.

【設計意圖】本題是告訴內角和求邊數，主要考查多邊形內角和公式的整體運用.

4. 如圖，在四邊形ABCD中，∠1，∠2分別是∠BCD和∠BAD的鄰補角，且∠B+∠ADC=140°，則∠1+∠2等於( ).

A.140° B.40°

C.260° D.不能確定

【設計意圖】考查四邊形的內角和與鄰補角問題，解題時需要綜合考慮，或許有更好的方法.