考研數學求數列極限的方法總結

隨着考研數學的時間越來越近，我們在做求數列極限的時候，需要掌握一些方法來進行復習。小編為大家精心準備了考研數學求數列極限的參考資料，歡迎大家前來閲讀。

1、等價無窮小的轉化，(只能在乘除時候使用，但是不是説一定在加減時候不能用,前提是必須證明拆分後極限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價於Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時候還原成無窮小)。

2、洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)。首先他的使用有嚴格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件(還有一點數列極限的n當然是趨近於正無窮的，不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導，直接用，無疑於找死!!)必須是0比0無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮(應為無窮大於無窮小成倒數的關係)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之後這樣就能變成第一種的形式了;0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方。對於(指數冪數)方程方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什麼只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近於無窮時候他的冪移下來趨近於0，當他的冪移下來趨近於無窮的時候，LNX趨近於0)。

3、泰勒公式(含有e的x次方的時候,尤其是含有正餘弦的加減的時候要特變注意!)E的x展開sina，展開cosa,展開ln1+x,對題目簡化有很好幫助。

4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法,取大頭原則最大項除分子分母!!!看上去複雜,處理很簡單!

5、無窮小於有界函數的處理辦法,面對複雜函數時候,尤其是正餘弦的複雜函數與其他函數相乘的時候,一定要注意這個方法。面對非常複雜的函數，可能只需要知道它的範圍結果就出來了!

6、夾逼定理(主要對付的是數列極限!)這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7、等比等差數列公式應用(對付數列極限)(q絕對值符號要小於1)。

8、各項的拆分相加(來消掉中間的大多數)(對付的還是數列極限)可以使用待定係數法來拆分化簡函數。

9、求左右極限的方式(對付數列極限)例如知道Xn與Xn+1的關係，已知Xn的極限存在的情況下,xn的極限與xn+1的極限時一樣的，因為極限去掉有限項目極限值不變化。

10、兩個重要極限的應用。這兩個很重要!對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大，無窮小都有對有對應的形式(第2個實際上是用於函數是1的無窮的形式)(當底數是1的時候要特別注意可能是用地兩個重要極限)

11、還有個方法，非常方便的方法,就是當趨近於無窮大時候,不同函數趨近於無窮的速度是不一樣的!x的x次方快於x!快於指數函數，快於冪數函數，快於對數函數(畫圖也能看出速率的快慢)!!當x趨近無窮的時候，他們的比值的極限一眼就能看出來了。

12、換元法是一種技巧,不會對單一道題目而言就只需要換元，而是換元會夾雜其中。

13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。

14、還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法，走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15、單調有界的性質，對付遞推數列時候使用證明單調性!

16、直接使用求導數的定義來求極限，(一般都是x趨近於0時候，在分子上f(x加減某個值)加減f(x)的形式,看見了要特別注意)(當題目中告訴你F(0)=0時候f(0)導數=0的時候，就是暗示你一定要用導數定義!

函數是表皮,函數的性質也體現在積分微分中。例如他的奇偶性質他的週期性。還有複合函數的性質：

1、奇偶性，奇函數關於原點對稱偶函數關於軸對稱偶函數左右2邊的圖形一樣(奇函數相加為0);

2、週期性也可用在導數中在定積分中也有應用定積分中的函數是周期函數積分的週期和他的一致;

3、複合函數之間是自變量與應變量互換的關係;

4、還有個單調性。(再求0點的時候可能用到這個性質!(可以導的函數的單調性和他的導數正負相關):o再就是總結一下間斷點的問題(應為一般函數都是連續的所以間斷點是對於間斷函數而言的)間斷點分為第一類和第二類剪斷點。第一類是左右極限都存在的(左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者左右極限存在相等但是不等於函數在這點的值可取的間斷點;第二類間斷點是震盪間斷點或者是無窮極端點(這也説明極限即使不存在也有可能是有界的)。

近兩年的考題開始重視學科之間的聯繫了，像今年概率大題中高數和概率的結合(利用級數求和算期望)，以及數一的考生比較頭疼的高數中解析幾何與線代線性方程組之間的聯繫問題!能把這些綜合性稍強的題目做對做好，需要紮實的基本功!這就要求大家首先不能偏科，我們在講到數學三個科目複習的時候往往順口就是“高數、線代、概率”的順序，這並不代表線代、概率不重要或者概率最不重要，相反，任何一門偏科的話數學整體的分數肯定不會高的!但是每個人肯定都有自己的喜好，不喜歡的相對就學的不好，這很正常，但是為了考上研究生，即使是正常的事情我們也要找到對策，然後解決這個問題。建議大家在複習的時候可以先選擇自己不擅長的科目，拿出一整段的時間來攻克這個難點，因為人的心理是越到最後越容易緊張，前期把最難的攻克，對於減輕日後複習的壓力是很有幫助的。

其次，近十年的題目中有幾年的題目都是將線代中的線性相關性、秩、方程組的解等等這些基本概念和平面解析幾何(高數)中平面的直線方程、空間直線方程及平面方程在空間中的位置關係等結合在一起出題，這樣的題目得分率往往很低。因為首先平面解析幾何考生就不是很熟悉，線代的線性方程組這一章節又是比較晦澀難懂的部分，這兩塊結合到一起，不熟悉加上不太熟悉，就基本得不到分了!所以考生應該做到知識全面，多做一些相關的題目練一下手，不至於到時候真遇到了完全沒有思路.最後，大家在複習的時候應該自己把學科之間可能有聯繫的地方做一下筆記，便於考前的集中突擊.比如概率裏面分佈函數和概率密度函數，這部分內容和高數部分的由變上限積分確定的原函數有相似的地方，類似的知識點大家就應該仔細總結一下，相似點在哪裏，又有什麼不同。如果考綱中要求的知識點大家都能這樣去研究，相信再難考的學校也會留下你的。

針對2016考研試題特點，高等數學的複習應該怎能規劃呢?在此給2017考研考生提出幾點建議，供大家參考。

1.重視基礎。考研數學80%的題目是考基礎的，包括基本概念、基本理論和基本方法.基本概念比如極限、連續、可導、可微、可積等.基本理論有單調有界準則和中值定理等.基本方法如極限的四則運算法則和羅必達法則等.從近十年考研數學真題來看，真正需要冥思苦想的偏題、難題只佔少數。

2.重視計算。考研數學80%都是計算題，所以你的計算能力不過關，一定拿不到高分.很多同學學習數學時眼高手低，就喜歡看例題，看別人做好的題目.只是一味的被動的接受別人的東西，就永遠也變不成自己的東西.而且考研數學題的技巧性強，同樣一個題目如果用常規方法做耗費的時間比較長，在考研中我們要尋求簡單的方法和技巧，達到做題準、快.這裏強調的是精練，不主張搞題海戰術。

3.重視歸納總結。我們在做出每一道題目的時候，都要從兩方面進行分析：這道題的類型如何求解和這道題中對你而言具有價值的知識點技巧等.每做完一道題目，要明白其解題思路，對於解題過程中所用到的方法、技巧進行歸納總結，如求極限、微分中值定理的使用，二重積分的計算等等。

1、求分段函數的極限，當函數含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了!當X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應為E的x次方的函數正負無窮的結果是不一樣的'!

2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞?説白了，就是説函數中現在含有積分符號，這麼個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉!

解決辦法：

1、求導，邊上下限積分求導，當然就能得到結果了，這不是很容易麼?但是!有2個問題要注意!問題1：積分函數能否求導?題目沒説積分可以導的話，直接求導的話是錯誤的!!!!問題2：被積分函數中既含有t又含有x的情況下如何解決?

解決1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函數與積分的聯繫!更重要的是他能去掉積分符號!

解決2的方法：當x與t的函數是相互乘的關係的話，把x看做常數提出來，再求導數!!當x與t是除的關係或者是加減的關係,就要換元了!(換元的時候積分上下限也要變化!)

3、求的是數列極限的問題時候:夾逼或者分項求和定積分都不可以的時候,就考慮x趨近的時候函數值,數列極限也滿足這個極限的,當所求的極限是遞推數列的時候:首先:判斷數列極限存在極限的方法是否用的單調有界的定理。判斷單調性不能用導數定義!!數列是離散的,只能用前後項的比較(前後項相除相減)，數列極限是否有界可以使用歸納法最後對xn與xn+1兩邊同時求極限,就能出結果了!

4、涉及到極限已經出來了讓你求未知數和位置函數的問題。解決辦法：主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。因為例如:當x趨近0時候f(x)比x=3的函數,分子必須是無窮小，否則極限為無窮,還有洛必達法則的應用,主要是因為當未知數有幾個時候,使用洛必達法則,可以消掉某些未知數，求其他的未知數。

5、極限數列涉及到的證明題，只知道是要構造新的函數，但是不太會!!!

最後總結一下間斷點的題型：

首先，遇見間斷點的問題、連續性的問題、複合函數的問題，在某個點是否可導的問題。主要解決辦法一個是畫圖，你能畫出反例來當然不可以了，你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的!我就畫圖!!我要能畫出來當然是對的，在這裏就要很好的理解一階導的性質2階導的性質，函數圖形的凹凸性，函數單調性函數的奇偶性在圖形中的反應!(在這裏尤其要注意分段函數!(例如分段函數導數存在還相等但是卻不連續這個性質就比較特殊!!應為一般的函數都是連續的);

方法2就是舉出反例!(在這裏也是尤其要注意分段函數!!)例如一個函數是個離散函數，還有個也是離散函數他們的複合函數是否一定是離散的嘞?答案是NO，舉個反例就可以了;

方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續性的公式，求在某一點的導數的公式

最後了，總結一下函數在某一點是否可導的問題：

1、首先函數連續不一定可導，分段函數x絕對值函數在(0，0)不可導，我的理解就是：不可導=在這點上圖形不光滑。可導一定連續，因為他有個前提，在點的鄰域內有定義，假如沒有這個前提，分段函數左右的導數也能相等;

主要考點1：函數在某一點可導，他的絕對值函數在這點是否可導?解決辦法：記住函數絕對值的導數等於f(x)除以(絕對值(f(x)))再乘以F(x)的導數。所以判斷絕對值函數不可導點，首先判斷函數等於0的點，找出這些點之後，這個導數並不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數的導數依然存在啊，所以還要找出f(a)導數的值，不為0的時候，絕對值函數在這點的導數是無窮，所以絕對值函數在這些點上是不可導的啊。

考點2：處處可導的函數與在，某一些點不可導但是連續的函數相互乘的函數，這個函數的不可導點的判斷，直接使用導數的定義就能證明，我的理解是f(x)連續的話但是不可導，左右導數存在但是不等，左右導數實際上就是X趨近a的2個極限，f(x)乘以G(x)的函數在x趨近a的時候，f(x)在這點上的這2個極限乘以g(a)，當g(a)等於0的時候，左右極限乘以0當然相等了，乘積的導數=f(a)導數乘以G(a)+G(a)導數乘以F(a)，應為f(a)導數乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數在這點上就可導了。導數為G(a)導數乘以F(a)。