2018屆樂山市大學聯考數學模擬試卷及答案
備戰大學聯考數學,多做大學聯考數學模擬卷是必要的，以下是本站小編為你整理的2018屆樂山市大學聯考數學模擬試卷，希望能幫到你。
2018屆樂山市大學聯考數學模擬試卷題目
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.設集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg(x﹣1)}，則A∩B=( )
A.[1，2) B.(1，2] C.[2，+∞) D.[1，+∞)
2.複數 的共軛複數 =( )
A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i
3.在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次，設命題p是“甲降落在指定範圍”，q是“乙降落在指定範圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定範圍”可表示為( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
4.已知三個正態分佈密度函數 (x∈R，i=1，2，3)的圖象如圖所示，則( )
A.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
5.如圖，已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點， = ， = ，則 =( )
A. ﹣ B. ﹣ C. + D. +
6.經統計，用於數學學習的時間(單位：小時)與成績(單位：分)近似於線性相關關係.對某小組學生每週用於數學的學習時間x與數學成績y進行數據收集如下：
x 15 16 18 19 22
y 102 98 115 115 120
由表中樣本數據求得迴歸方程為y=bx+a，則點(a，b)與直線x+18y=100的位置關係是( )
A.a+18b<100 B.a+18b>100
C.a+18b=100 D.a+18b與100的大小無法確定
7.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的S為( )
A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值 B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值
C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值 D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值
8.已知數列{an}的前n項和為Sn=2an﹣1，則滿足 的最大正整數n的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.在平面直角座標系xOy中，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓面積9π，則p=( )
A.2 B.4 C.3 D.
10.多面體MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正(主)視圖和側(左)視圖如圖，其中正(主)視圖為等腰梯形，側(左)視圖為等腰三角形，則該多面體的體積為( )
A. B. C. D.6
11.函數f(x)= (ω>0)，|φ|< )的部分圖象如圖所示，則f(π)=( )
A.4 B.2 C.2 D.
12.已知曲線f(x)=e2x﹣2ex+ax﹣1存在兩條斜率為3的切線，則實數a的取值範圍為( )
A.(3，+∞) B.(3， ) C.(﹣∞， ) D.(0，3)
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3=9﹣a6，則S8= .
14.若直線ax+y﹣3=0與2x﹣y+2=0垂直，則二項式 展開式中x3的係數為 .
15.定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= 則f(2017)的值為 .
16.若函數y=f(x)在實數集R上的圖象是連續不斷的，且對任意實數x存在常數t使得f(x+t)=tf(x)恆成立，則稱y=f(x)是一個“關於t的函數”，現有下列“關於t函數”的結論：
①常數函數是“關於t函數”;
②正比例函數必是一個“關於t函數”;
③“關於2函數”至少有一個零點;
④f(x)= 是一個“關於t函數”.
其中正確結論的序號是 .
三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟
17.(12分)如圖，在直角座標系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y= x(x≥0)交於點Q，與x軸交於點M.記∠MOP=α，且α∈(﹣ ， ).
(Ⅰ)若sinα= ，求cos∠POQ;
(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.
18.(12分)某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有除編號不同外，其餘均相同的20個小球，這20個小球編號的莖葉圖如圖所示，活動規則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽取的小球編號是十位數字為l的奇數，則為一等獎，獎金100元;若抽取的小球編號是十位數字為2的奇數，則為二等獎，獎金50元;若抽取的小球是其餘編號則不中獎.現某顧客有放回的抽獎兩次，兩次抽獎相互獨立.
(I)求該顧客在兩次抽獎中恰有一次中獎的概率;
(Ⅱ)記該顧客兩次抽獎後的獎金之和為隨機變量X，求X的分佈列和數學期望.
19.(12分)如圖，在三稜錐P﹣ABC中，F、G、H分別是PC、AB、BC的中點，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C為120°.
(I)證明：FG⊥AH;
(Ⅱ)求二面角A﹣CP﹣B的餘弦值.
20.(12分)設橢圓C： + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交z軸負半軸於點Q，且 + = ，過A，Q，F2三點的圓的半徑為2.過定點M(0，2)的直線l與橢圓C交於G，H兩點(點G在點M，H之間).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l的斜率k>0，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形.如果存在，求出m的取值範圍，如果不存在，請説明理由.
21.(12分)已知函數f(x)= ax2﹣2lnx，a∈R.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)已知點P(0，1)和函數f(x)圖象上動點M(m，f(m))，對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值範圍.
四、請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號塗黑.
22.(10分)已知曲線C1的參數方程是 (θ為參數)，以座標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極座標系，曲線C2的極座標方程是ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求曲線C1與C2交點的平面直角座標;
(Ⅱ)A，B兩點分別在曲線C1與C2上，當|AB|最大時，求△OAB的面積(O為座標原點).
23.設函數f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若關於x的不等式f(x)≥t2﹣3t在[0，1]上無解，求實數t的取值範圍.
2018屆樂山市大學聯考數學模擬試卷答案
一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1.設集合A={x|2x≥4}，集合B={x|y=lg(x﹣1)}，則A∩B=( )
A.[1，2) B.(1，2] C.[2，+∞) D.[1，+∞)
【考點】1E：交集及其運算.
【分析】先分別求出集合A和集合B，由此利用交集定義能求出A∩B.
【解答】解：∵集合A={x|2x≥4}={x|x≥2}，
集合B={x|y=lg(x﹣1)}={x>1}，
∴A∩B={x|x≥2}=[2，+∞).
故選：C.
【點評】本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集定義的合理運用.
2.複數 的共軛複數 =( )
A.1+i B.﹣1﹣i C.﹣1+i D.1﹣i
【考點】A5：複數代數形式的乘除運算;A2：複數的基本概念.
【分析】根據所給的複數的表示形式，進行復數的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛複數，整理出最簡形式，把虛部的符號變成相反的符號得到結果.
【解答】解：∵ = =1+i
∴ =1﹣i
故選D.
【點評】本題考查複數的代數形式的運算和複數的基本概念，本題解題的關鍵是整理出複數的代數形式的最簡形式，本題是一個基礎題.
3.在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次，設命題p是“甲降落在指定範圍”，q是“乙降落在指定範圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定範圍”可表示為( )
A.(￢p)∨(￢q) B.p∨(￢q) C.(￢p)∧(￢q) D.p∨q
【考點】25：四種命題間的逆否關係.
【分析】由命題P和命題q寫出對應的￢p和￢q，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定範圍”即可得到表示.
【解答】解：命題p是“甲降落在指定範圍”，則￢p是“甲沒降落在指定範圍”，
q是“乙降落在指定範圍”，則￢q是“乙沒降落在指定範圍”，
命題“至少有一位學員沒有降落在指定範圍”包括
“甲降落在指定範圍，乙沒降落在指定範圍”
或“甲沒降落在指定範圍，乙降落在指定範圍”
或“甲沒降落在指定範圍，乙沒降落在指定範圍”三種情況.
所以命題“至少有一位學員沒有降落在指定範圍”可表示為(￢p)V(￢q).
故選A.
【點評】本題考查了複合命題的真假，解答的關鍵是熟記複合命題的真值表，是基礎題.
4.已知三個正態分佈密度函數 (x∈R，i=1，2，3)的圖象如圖所示，則( )
A.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3 B.μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
C.μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3 D.μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3
【考點】CP：正態分佈曲線的特點及曲線所表示的意義.
【分析】正態曲線關於x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，又有σ越小圖象越瘦長，得到正確的結果.
【解答】解：∵正態曲線關於x=μ對稱，且μ越大圖象越靠近右邊，
∴第一個曲線的均值比第二和第三和圖象的均值小，且二，三兩個的均值相等，
只能從A，D兩個答案中選一個，
∵σ越小圖象越瘦長，
得到第二個圖象的σ比第三個的σ要小，
故選D.
【點評】本題考查正態分佈曲線的特點及曲線所表示的意義，考查密度函數中兩個特徵數均值和標準差對曲線的位置和形狀的影響，是一個基礎題.
5.如圖，已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點， = ， = ，則 =( )
A. ﹣ B. ﹣ C. + D. +
【考點】9H：平面向量的基本定理及其意義.
【分析】直接利用向量的基本定理判斷選項即可.
【解答】解：如圖：連結CD，OD，∵已知AB是圓O的直徑，點C、D是半圓弧的兩個三等分點，
∴AODC是平行四邊形，
∴ = .
故選：D.
【點評】本題考查平面向量基本定理的應用，是基礎題.
6.經統計，用於數學學習的時間(單位：小時)與成績(單位：分)近似於線性相關關係.對某小組學生每週用於數學的學習時間x與數學成績y進行數據收集如下：
x 15 16 18 19 22
y 102 98 115 115 120
由表中樣本數據求得迴歸方程為y=bx+a，則點(a，b)與直線x+18y=100的位置關係是( )
A.a+18b<100 B.a+18b>100
C.a+18b=100 D.a+18b與100的大小無法確定
【考點】BK：線性迴歸方程.
【分析】由樣本數據可得， ， ，利用公式，求出b，a，點(a，b)代入x+18y，求出值與100比較即可得到選項.
【解答】解：由題意， = (15+16+18+19+22)=18， = (102+98+115+115+120)=110，
xiyi=9993，5 =9900， xi2=1650，n( )2=5•324=1620，
∴b= =3.1，
∴a=110﹣3.1×18=54.2，
∵點(a，b)代入x+18y，
∴54.2+18×3.1=110>100.
即a+18b>100
故選：B.
【點評】本題考查數據的迴歸直線方程，利用迴歸直線方程恆過樣本中心點是關鍵.
7.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的S為( )
A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值 B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值
C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的.值 D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值
【考點】EF：程序框圖.
【分析】模擬執行程序框圖，根據秦九韶算法即可得解.
【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))，
故選：C.
【點評】本小題主要通過程序框圖的理解考查學生的邏輯推理能力，同時考查學生對算法思想的理解與剖析，本題特殊利用秦九韶算法，使學生更加深刻地認識中國優秀的傳統文化，屬於基礎題.
8.已知數列{an}的前n項和為Sn=2an﹣1，則滿足 的最大正整數n的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考點】8H：數列遞推式.
【分析】Sn=2an﹣1，n=1時，a1=2a1﹣1，解得a1.n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，化為：an=2an﹣1，利用等比數列的通項公式可得：an=2n﹣1. 化為：2n﹣1≤2n，即2n≤4n.驗證n=1，2，3，4時都成立.n≥5時，2n=(1+1)n，利用二項式定理展開即可得出.2n>4n.
【解答】解：Sn=2an﹣1，n=1時，a1=2a1﹣1，解得a1=1.
n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1﹣(2an﹣1﹣1)，化為：an=2an﹣1，
∴數列{an}是等比數列，公比為2.
an=2n﹣1.
化為：2n﹣1≤2n，即2n≤4n.
n=1，2，3，4時都成立.
n≥5時，2n=(1+1)n= + +…+ + + ≥2( + )=n2+n+2，
下面證明：n2+n+2>4n，
作差：n2+n+2﹣4n=n2﹣3n+2=(n﹣1)(n﹣2)>0，
∴n2+n+2>4n，
則滿足 的最大正整數n的值為4.
故答案為：C.
【點評】本題考查了數列遞推關係、等比數列的通項公式、二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬於中檔題.
9.在平面直角座標系xOy中，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓面積9π，則p=( )
A.2 B.4 C.3 D.
【考點】K8：拋物線的簡單性質.
【分析】根據△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等於圓的半徑，由此可求p的值.
【解答】解：∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，
∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等於圓的半徑
∵圓面積為9π，∴圓的半徑為3
又∵圓心在OF的垂直平分線上，|OF|= ，
∴ + =3
∴p=4
故選：B.
【點評】本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查學生的計算能力，屬於基礎題.
10.多面體MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正(主)視圖和側(左)視圖如圖，其中正(主)視圖為等腰梯形，側(左)視圖為等腰三角形，則該多面體的體積為( )
A. B. C. D.6
【考點】L!：由三視圖求面積、體積.
【分析】利用三視圖的數據，把幾何體分割為2個三稜錐1個三稜柱，求解體積即可.
【解答】解：用割補法可把幾何體分割成三部分，如圖：稜錐的高為2，底面邊長為4，2的矩形，稜柱的高為2.
可得 ，
故選：C.
【點評】本題考查三視圖復原幾何體的體積的求法，考查計算能力.
11.函數f(x)= (ω>0)，|φ|< )的部分圖象如圖所示，則f(π)=( )
A.4 B.2 C.2 D.
【考點】35：函數的圖象與圖象變化;3T：函數的值.
【分析】由圖象的頂點座標求出A，根據週期求得ω，再由sin[2(﹣ )+φ]=0以及 φ的範圍求出 φ的值，從而得到函數的解析式，進而求得f(π)的值.
【解答】解：由函數的圖象可得A=2，根據半個週期 = • = ，解得ω=2.
由圖象可得當x=﹣ 時，函數無意義，即函數的分母等於零，即 sin[2(﹣ )+φ]=0.
再由|φ|< ，可得 φ= ，
故函數f(x)= ，∴f(π)=4，
故選A.
【點評】本小題主要考查函數與函數的圖象，求函數的值，屬於基礎題.
12.已知曲線f(x)=e2x﹣2ex+ax﹣1存在兩條斜率為3的切線，則實數a的取值範圍為( )
A.(3，+∞) B.(3， ) C.(﹣∞， ) D.(0，3)
【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】求得f(x)的導數，由題意可得2e2x﹣2ex+a=3的解有兩個，運用求根公式和指數函數的值域，解不等式可得a的範圍.
【解答】解：f(x)=e2x﹣2ex+ax﹣1的導數為f′(x)=2e2x﹣2ex+a，
由題意可得2e2x﹣2ex+a=3的解有兩個，
即有(ex﹣ )2= ，
即為ex= + 或ex= ﹣ ，
即有7﹣2a>0且7﹣2a<1，
解得3
故選B.
【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查方程的解的個數問題的解法，注意運用配方和二次方程求根公式，以及指數函數的值域，屬於中檔題.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3=9﹣a6，則S8= 72 .
【考點】85：等差數列的前n項和.
【分析】可得a1+a8=18，代入求和公式計算可得.
【解答】解：由題意可得a3+a6=18，
由等差數列的性質可得a1+a8=18
故S8= (a1+a8)=4×18=72
故答案為：72
【點評】本題考查等差數列的求和公式和性質，屬基礎題.
14.若直線ax+y﹣3=0與2x﹣y+2=0垂直，則二項式 展開式中x3的係數為 ﹣80 .
【考點】DB：二項式係數的性質;IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關係.
【分析】根據兩直線垂直求出a的值，再利用二項式展開式的通項公式求出展開式中x3的係數.
【解答】解：直線ax+y﹣3=0與2x﹣y+2=0垂直，
∴2a+1×(﹣1)=0，解得a= ;
∴二項式( ﹣ )5 =(2x﹣ )5展開式的通項公式為
Tr+1= •(2x)5﹣r• =(﹣1)r•25﹣r• •x5﹣2r，
令5﹣2r=3，求得r=1，
∴展開式中x3的係數為﹣1•24• =﹣80.
故答案為：﹣80.
【點評】本題主要考查了兩條直線垂直以及二項式定理的應用問題，是基礎題.
15.定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= 則f(2017)的值為 ﹣1 .
【考點】3T：函數的值.
【分析】根據已知分析出當x∈N時，函數值以6為週期，呈現週期性變化，可得答案.
【解答】解：∵定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= ，
∴f(﹣1)=1，f(0)=0，
f(1)=f(0)﹣f(﹣1)=﹣1，
f(2)=f(1)﹣f(0)=﹣1，
f(3)=f(2)﹣f(1)=0，
f(4)=f(3)﹣f(2)=1，
f(5)=f(4)﹣f(3)=1，
f(6)=f(5)﹣f(4)=0，
f(7)=f(6)﹣f(5)=﹣1，
故當x∈N時，函數值以6為週期，呈現週期性變化，
故f(2017)=f(1)=﹣1，
故答案為：﹣1.
【點評】本題考查的知識點是分段函數的應用，函數求值，根據已知分析出當x∈N時，函數值以6為週期，呈現週期性變化，是解答的關鍵.
16.若函數y=f(x)在實數集R上的圖象是連續不斷的，且對任意實數x存在常數t使得f(x+t)=tf(x)恆成立，則稱y=f(x)是一個“關於t的函數”，現有下列“關於t函數”的結論：
①常數函數是“關於t函數”;
②正比例函數必是一個“關於t函數”;
③“關於2函數”至少有一個零點;
④f(x)= 是一個“關於t函數”.
其中正確結論的序號是 ①④ .
【考點】3S：函數的連續性.
【分析】根據抽象函數的定義結合“關於t函數”的定義和性質分別進行判斷即可.
【解答】解：①對任一常數函數f(x)=a，存在t=1，有f(1+x)=f(x)=a，
即1•f(x)=a，所以有f(1+x)=1•f(x)，
∴常數函數是“關於t函數”，故①正確，
②正比例函數必是一個“關於t函數”，設f(x)=kx(k≠0)，存在t使得f(t+x)=tf(x)，
即存在t使得k(x+t)=tkx，也就是t=1且kt=0，此方程無解，故②不正確;
③“關於2函數”為f(2+x)=2•f(x)，
當函數f(x)不恆為0時，有 =2>0，
故f(x+2)與f(x)同號.
∴y=f(x)圖象與x軸無交點，即無零點.故③錯誤，
④對於f(x)=( )x設存在t使得f(t+x)=tf(x)，
即存在t使得( )t+x=t( )x，也就是存在t使得( )t( )x=t( )x，
也就是存在t使得( )t=t，此方程有解，故④正確.
故正確是①④，
故答案為①④.
【點評】本題主要考查抽象函數的應用，利用函數的定義和性質是解決本題的關鍵.
三、解答題：本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟
17.(12分)(2017•樂山三模)如圖，在直角座標系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y= x(x≥0)交於點Q，與x軸交於點M.記∠MOP=α，且α∈(﹣ ， ).
(Ⅰ)若sinα= ，求cos∠POQ;
(Ⅱ)求△OPQ面積的最大值.
【考點】GI：三角函數的化簡求值;G9：任意角的三角函數的定義.
【分析】﹙Ⅰ﹚同角三角的基本關係求得cosα的值，再利用兩角差的餘弦公式求得cos∠POQ的值.
(Ⅱ)利用用割補法求三角形POQ的面積，再利用正弦函數的值域，求得它的最值.
【解答】解：﹙Ⅰ﹚因為 ，且 ，所以 .
所以 .
(Ⅱ)由三角函數定義，得P(cosα，sinα)，從而 ，
所以 = =
.
因為 ，所以當 時，等號成立，
所以△OPQ面積的最大值為 .
【點評】本題主要考查任意角三角函數的定義，正弦函數的值域，用割補法求三角形的面積，屬於中檔題.
18.(12分)(2017•樂山三模)某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有除編號不同外，其餘均相同的20個小球，這20個小球編號的莖葉圖如圖所示，活動規則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽取的小球編號是十位數字為l的奇數，則為一等獎，獎金100元;若抽取的小球編號是十位數字為2的奇數，則為二等獎，獎金50元;若抽取的小球是其餘編號則不中獎.現某顧客有放回的抽獎兩次，兩次抽獎相互獨立.
(I)求該顧客在兩次抽獎中恰有一次中獎的概率;
(Ⅱ)記該顧客兩次抽獎後的獎金之和為隨機變量X，求X的分佈列和數學期望.
【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差;BA：莖葉圖;CC：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率;CG：離散型隨機變量及其分佈列.
【分析】(Ⅰ)設一次抽獎抽中i等獎的概率為Pi(i=1，2)，沒有中獎的概率為P0，由此能求出該顧客兩次抽獎中恰有一次中獎的概率.
(Ⅱ)X的可能取值為0，50，100，150，200，分別求出相應的概率，由此能求出X的分佈列和EX.
【解答】解：(Ⅰ)設一次抽獎抽中i等獎的概率為Pi(i=1，2)，沒有中獎的概率為P0，
則P1+P2= = ，即中獎的概率為 ，
∴該顧客兩次抽獎中恰有一次中獎的概率為：
P= = .
(Ⅱ)X的可能取值為0，50，100，150，200，
P(X=0)= ，
P(X=50)= = ，
P(X=100)= = ，
P(X=150)= = ，
P(X=200)= = ，
∴X的分佈列為：
X 0 50 100 150 200
P
∴EX= =55(元).
【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分佈列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用.
19.(12分)(2017•樂山三模)如圖，在三稜錐P﹣ABC中，F、G、H分別是PC、AB、BC的中點，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C為120°.
(I)證明：FG⊥AH;
(Ⅱ)求二面角A﹣CP﹣B的餘弦值.
【考點】MT：二面角的平面角及求法;LO：空間中直線與直線之間的位置關係.
【分析】(I)根據線面垂直的性質定理即可證明FG⊥AH;
(Ⅱ)建立座標系求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的餘弦值.
【解答】解：(I)設AC的中點是M，連接FM，GM，
∵PF=FC，∴FM∥PA，
∵PA⊥平面ABC，
∴FM⊥平面ABC，
∵AB=AC，H是BC的中點，
∴AH⊥BC，
∵GM∥BC，
∴AH⊥GM，
∴GF⊥AH
(Ⅱ)建立以A為座標原點的空間直角座標系如圖：
則P(0，0，2)，H( ， ，0)，C(0，2，0)，B( ，﹣1，0)，F(0，1，1)，
則平面PAC的法向量為 =(1，0，0)，
設平面PBC的法向量為 =(x，y，z)，
則 ，令z=1，則y=1，x= ，
即 =( ，1，1)，
cos< ， >= = ，
即二面角A﹣CP﹣B的餘弦值是 .
【點評】本小題主要考查直線垂直的證明和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，綜合性較強，運算量較大.
20.(12分)(2017•樂山三模)設橢圓C： + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交z軸負半軸於點Q，且 + = ，過A，Q，F2三點的圓的半徑為2.過定點M(0，2)的直線l與橢圓C交於G，H兩點(點G在點M，H之間).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l的斜率k>0，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形.如果存在，求出m的取值範圍，如果不存在，請説明理由.
【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題;K3：橢圓的標準方程.
【分析】(I)因為 ，知a，c的一個方程，再利用△AQF的外接圓與直線l相切得出另一個方程，解這兩個方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程;
(II)設l的方程代入橢圓的方程，消去y得到關於x的一元二次方程，再結合根與係數的關係利用向量的座標表示，利用基本不等式，即可求得m的取值範圍.
【解答】解：(I)因為 ，所以F1為F2Q中點.
設Q的座標為(﹣3c，0)，
因為AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，
且過A，Q，F2三點的圓的圓心為F1(﹣c，0)，半徑為2c
因為該圓與直線l相切，所以 ，解得c=1，
所以a=2，b= ，所以所求橢圓方程為 ;
(Ⅱ)設l的方程為y=kx+2(k>0)，與橢圓方程聯立，消去y可得(3+4k2)x2+16kx+4=0.
設G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1+x2=﹣
∴ =(x1﹣m，y1)+(x2﹣m，y2)=(x1+x2﹣2m，y1+y2).
=(x1+x2﹣2m，k(x1+x2)+4)
又 =(x2﹣x1，y2﹣y1)=(x2﹣x1，k(x2﹣x1)).
由於菱形對角線互相垂直，則( )• =0，
所以(x2﹣x1)[(x1+x2)﹣2m]+k(x2﹣x1)[k(x1+x2)+4]=0.
故(x2﹣x1)[(x1+x2)﹣2m+k2(x1+x2)+4k]=0.
因為k>0，所以x2﹣x1≠0.
所以(x1+x2)﹣2m+k2(x1+x2)+4k=0，即(1+k2)(x1+x2)+4k﹣2m=0.
所以(1+k2)(﹣ )+4k﹣2m=0.
解得m=﹣ ，即
因為k> ，可以使 ，所以
故存在滿足題意的點P且m的取值範圍是[ ).
【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關係，考查韋達定理的運用，考查基本不等式的運用，解題時應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關係靈活轉化，屬於中檔題.
21.(12分)(2017•樂山三模)已知函數f(x)= ax2﹣2lnx，a∈R.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)已知點P(0，1)和函數f(x)圖象上動點M(m，f(m))，對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，求a的取值範圍.
【考點】6B：利用導數研究函數的單調性;6H：利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】(1)先求函數的定義域，然後求導，利用導數大於0或導數小於0，得到關於x的不等式，解之即可;注意解不等式時要結合對應的函數圖象來解;
(2)因為對任意m∈[1，e]，直線PM傾斜角都是鈍角，所以問題轉化為導數值小於0恆成立的問題，對於導函數小於0在區間[1，e]上恆成立，則問題轉化為函數的最值問題，即函數f′(x)<0恆成立，通過化簡最終轉化為f(m)<1在區間[1，e]上恆成立，再通過研究f(x)在[1，e]上的單調性求最值，結合(Ⅰ)的結果即可解決問題.注意分類討論的標準的確定.
【解答】解：函數f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=ax﹣ = ，
(Ⅰ)當a<0時，f′(x)<0，故函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減;
當a=0時，f′(x)= <0，故函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減;
當a>0時，令f′(x)=0，結合x>0，解得 ，當x∈(0， )時，f′(x)<0，所以函數f(x)在(0， )上單調遞減;當x∈( ，+∞)時，f′(x)>0，所以函數f(x)在( ，+∞)上單調遞增;
綜上所述：當a≤0時，f′(x)<0，故函數f(x)在(0，+∞)上單調遞減;當a>0時，函數f(x)在(0， )上單調遞減，在( ，+∞)上單調遞增.
(Ⅱ)因為對任意m∈[1，e]，直線PM的傾斜角都是鈍角，所以對任意m∈[1，e]，直線PM的斜率小於0，
即 ，所以f(m)<1，即f(x)在區間[1，e]上的最大值小於1.
又因為f′(x)=ax﹣ = ，令g(x)=ax2﹣2，x∈[1，e]
(1)當a≤0時，由(Ⅰ)知f(x)在區間[1，e]上單調遞減，所以f(x)的最大值為f(1)= <1，所以a<2，
故a≤0符和題意;
(2)當a>0時，令f′(x)=0，得 ，
①當 ≤1，即a≥2時，f(x)在區間[1，e]上單調遞增，所以函數f(x)的最大值f(e)= ，解得a< ，故無解;
②當 ≥e，即 時，f(x)在區間[1，e]上單調遞減，函數f(x)的最大值為f(1)= <1，解得a<2，故0 ;
③當 ，即 時，函數f(x)在(1， )上單調遞減;當x∈( ，e)上單調遞增，故f(x)在區間x∈[1，e]上的最大值只能是f(1)或f(e)，
所以 ，即 ，故 .
綜上所述a的取值範圍 .
【點評】本題重點考查不等式恆成立問題的基本思路，一般是轉化為函數的最值問題，然後從函數的單調性入手分析，注意本題第二問討論時的標準，一般要藉助於函數圖象輔助來解決問題.一方面利用了數學結合思想，同時重點考查了分類討論思想的應用，有一定難度.
四、請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號塗黑.
22.(10分)(2017•樂山三模)已知曲線C1的參數方程是 (θ為參數)，以座標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極座標系，曲線C2的極座標方程是ρ=4sinθ.
(Ⅰ)求曲線C1與C2交點的平面直角座標;
(Ⅱ)A，B兩點分別在曲線C1與C2上，當|AB|最大時，求△OAB的面積(O為座標原點).
【考點】Q4：簡單曲線的極座標方程;QH：參數方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)求出曲線C1，C1的平面直角座標方程，把兩式作差，得y=﹣x，代入x2+y2=4y，能求出曲線C1與C2交點的平面直角座標.
(Ⅱ)作出圖形，由平面幾何知識求出當|AB|最大時|AB|=2 ，O到AB的距離為 ，由此能求出△OAB的面積.
【解答】解：(Ⅰ)∵曲線C1的參數方程是 (θ為參數)，
∴曲線C1的平面直角座標方程為(x+2)2+y2=4.
又由曲線C2的極座標方程是ρ=4sinθ，
得ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，
把兩式作差，得y=﹣x，
代入x2+y2=4y，得2x2+4x=0，
解得 或 ，
∴曲線C1與C2交點的平面直角座標為(0，0)，(﹣2，2).
(Ⅱ)如圖，由平面幾何知識可知：
當A，C1，C2，B依次排列且共線時，
|AB|最大，此時|AB|=2 ，
O到AB的距離為 ，
∴△OAB的面積為S= .
【點評】本題考查兩曲線交點的平面直角座標的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數方程、直角座標方程、極座標方程間的相互轉化及應用.
23.(2017•樂山三模)設函數f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若關於x的不等式f(x)≥t2﹣3t在[0，1]上無解，求實數t的取值範圍.
【考點】R5：絕對值不等式的解法.
【分析】(1)通過對x範圍的分類討論，去掉絕對值符號，可得f(x)= ，再解不等式f(x)≥3即可求得其解集;
(2)當x∈[0，1]時，易求f(x)max=﹣1，從而解不等式t2﹣3t>﹣1即可求得實數t的取值範圍.
【解答】解：(1)∵f(x)= ，
∴原不等式轉化為 或 或 ，
解得：x≥6或﹣2≤x≤﹣ 或x<﹣2，
∴原不等式的解集為：(﹣∞，﹣ ]∪[6，+∞);
(2)只要f(x)max
由(1)知，當x∈[0，1]時，f(x)max=﹣1，
∴t2﹣3t>﹣1，
解得：t> 或t< .
∴實數t的取值範圍為(﹣∞， )∪( ，+∞).
【點評】本題考查絕對值不等式的解法，通過對x範圍的分類討論，去掉絕對值符號是關鍵，考查轉化思想與運算求解能力，屬於中檔題.
