奧數典型問題解析:平均數問題

【例1】 暑假期間，小強每天都堅持游泳，並對所遊的距離作了記錄.如果他在暑假的最後一天遊670米，則平均每天遊495米;如果最後一天遊778米，則平均每天遊498米;如果他想平均每天遊500米，那麼最後一天應遊多少米?

分析：因為平均每天所遊的距離提高 498-495=3米，需要多遊778-670=108米，所以暑假一共有108÷3=36天，如果平均每天遊500米，則要在最後一天遊 (500-498)×36+778=850米。

【例2】 某次數學競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現在將一等獎中最後4人調整為二等獎，這樣得二等獎的學生的平均分提高了1分，得一等獎的學生的平均分提高了3分，那麼原來一等獎平均分比二等獎平均分多 分。

分析：

解法一：根據題意可知：前六人平均分=前十人平均分+3，這説明在計算前十人平均分時，前六人共多出3×6=18(分)，來彌補後四人的分數。因此後四人的平均分比前十人平均分少18÷4=4.5分，也就是：後四人平均分=前十人平均分一4.5 。

當後四人調整為二等獎，這樣二等獎共有20+4=24(人)，平均每人提高了1分，也就由調整進來的四人來供給，每人平均供給24÷4=6(分)，因此，四人平均分=(原來二等獎平均分)+6，與前面 式比較，原來一等獎平均分比原來二等獎平均分多4.5+6=10.5(分)。

解法二：

圖上橫向的線表示人數，豎向的線表示分數，紅線表示原來的'的一等獎和二等獎，藍線表示調整後的一等獎和二等獎，雖然一、二等獎的人數和平均分發生變化，但一、二等獎的總分沒有變，也就是説圖上紅線的兩個長方形的面積之和等於藍線的兩個長方形的面積之和，我們觀察圖可以發現兩塊黃色小長方形的面積等於藍色長方形的面積(10-4)×3+20×1=38，藍色長方形的長是4，寬就是38÷4=9.5，原一等獎比二等獎的平均分高9.5+1=10.5分。

練習四：

1. 甲班51人，乙班49人，某次考試兩個班全體同學的平均成績是81分，乙班的平均成績要比甲班平均成績高7分，那麼乙班的平均成績是______分。

49×7÷(51+49)=3.43分

81+7-3.43=84.57分

2. 某次數學競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現在將二等獎中前4人調整為一等獎，這樣得二等獎的學生的平均分下降了1分，得一等獎的學生的平均分下降了2分，那麼原來一等獎平均分比二等獎平均分多 分。

(10×2+20×1)÷4=10分