一元二次方程的解法教學設計

<一>設置懸念，引發興趣：

1、我們已經學會了怎麼解一元二次方程，一元二次方程的根有哪幾種情況？能不能不解方程便判斷出它們根的情況？

2、由學生舉出幾個一元二次方程的例子，教師直接判斷出它們根的情況

這樣設計，能激發學生的學習興趣和求知慾，為後面發現結論創造最佳的心理狀態。

<二>設置練習，創設情境。

用公式法解下列一元二次方程

使學生親身感知一元二次方程根的情況，回顧已有知識

<三>啟發引導，發現結論：

觀察解題過程，可以發現：在把係數代入求根公式之前，都是先確定了a、b、c的值，然後求出的值，為什麼要這樣做呢？學生能説出的作用是：它能決定方程是否可解。

由此可見：在解一元二次方程時，代數式起着重要的作用，顯然我們可以根據的值的符號來判斷一元二次方程的根的情況，因此我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△”來表示，即△=。在今後的數學學習中還會遇到用一個簡單的符號來表示一個數學式子的情況，同學們要適應這一點，它體現了數學的簡潔美。

讓學生明白：的值的符號在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。

培養學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力並使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發現結論的成功樂趣。

<四>引導學生，理論驗證：

利用配方法，可以把一元二次方程變形為：

∵∴，

故的值是正數、零還是負數直接對方程的根產生影響

（1）時，可得：

，而且

（2）時，，

顯然

（3）時，，

∵負數沒有平方根∴方程沒有實數根

培養學生思維的嚴謹性，養成嚴格論證問題的習慣。

<五>揭示定理：

（1）由此我們就得出了關於一元二次方程的根的判別式定理：

在一元二次方程中，

若△＞0 則方程有兩個不相等的實數根

若△= 0則方程有兩個相等的實數根

若△＜0則方程沒有實數根

(若△≥0則方程有實數根)

（2）這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程中，

若方程有兩個不相等的實數根，則△＞0

若方程有兩個相等的實數根，則△= 0

若方程沒有實數根，則△＜0

(若方程有實數根,則△≥0)

培養學生學會如何用數學語言來闡述發現的結論，如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對定理的認識，為正確運用做好鋪墊。

<六>應用定理，解決問題：

練習一：不解方程，判別下列方程根的情況

分析：判別方程根的情況，根據定理可知，就是要確定△值的符號

練習二：不解方程，判別下列方程根的情況

（4）題補充了一個含有字母系數的方程，補充此題的目的是：發展學生的符號意識，為今後解綜合性問題打好基礎。

以上練習的設計，主要是為了給學生創造一個知識運用遷移及鞏固的機會，同時也為了吸引和調動全班同學參與到積極動腦，各抒己見的活躍氣氛中來，並培養學生分析問題，解決問題的能力。

思考：已知關於的方程，當取什麼值時，方程

（1）有兩個不相等的實數根

（2）有兩個相等的實數根

（3）沒有實數根

分析：要解決這個問題，應先根據方程根的情況，得出△的取值，從而求出的取值範圍。

本題是一個用逆定理來解決的問題，以鞏固逆定理的運用方法，本題讓學生自己分析，教師只幫助學生理清思路，最後讓學生自己完成。

<七>歸納小結

一元二次方程中，

方程有兩個不相等的實數根

方程有兩個相等的實數根

方程沒有實數根

使學生系統地瞭解和掌握本節課的內容

<八>作業佈置：

（必做題）不解方程判定下列方程根的情況：

（選做題）已知：方程有兩個實數根，

求：的取值範圍

使學生能及時鞏固本節課所學知識，同時對學有餘力的學生留出自由的發展空間。

科　目

數學

年級

九年級

教學時間

一課時

學習者分析

學生的學習思維、解決問題等能力的高低叁差不齊。從學生現有的情況來看，多數同學對列方程解應用題感覺較難掌握，面對題意無法找出等量關係。另外，很多學生的計算能力也不強。因此，在教學中主要以較為簡單的基礎題為授課主線，其中參入少數中檔題供一些學有餘力的學生思考。

教學目標

一、情感態度與價值觀

1.培養學生主動探索、敢於實勇於發現、合作交流的精神。

二、過程與方法

1.經歷抽象一元二次方程的過程,使學生體會出方程是刻畫現實世界中數量關係的一個有效數學模型

2.經歷探索滿足方程解的過程，發展估算的意識和能力。

三、知識與技能

1.充分了解一元二次方程的概念

2.正確掌握一元二次方程的一般形式。

教學重點、難點

1.一元二次方程的概念及一般形式。

2.由實際問題向數學問題的轉化過程。

3.正確識別一般式中的“項”及“係數”。

教學資源

多媒體課件

教學過程

教學活動1

問題1：

2008年奧運會將在北京舉辦，許多大學生都希望為奧運奉獻自己的一份力量。現組委會決定對高校奧運志願者進行分批培訓，由已合格人員培訓第一輪人員，再由前面所有合格人員培訓第二輪人員,以此類推來完成此次培訓任務。某高校學生李紅已受訓合格，成為一名志願者，並由她負責培訓本校志願者。若每輪培訓中每個志願者平均培訓x人。

(1)已知經過第一輪培訓後該校共有11人合格,請列出滿足條件的方程:

(2)若兩輪培訓後該校共有121人合格，你能列出滿足條件的方程嗎？

問題2:

有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然後將四周突出部分折起,就能製作一個無蓋方盒.如果要製作的無蓋方盒底面積為3600cm2,那麼鐵皮各角應切去多大的正方形?

問題3:

我校為豐富校園文化氛圍，要設計一座2米高的人體雕像，使雕像的上部（腰以上）與全部高度的乘積，等於下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度？

教學活動2

二.探究新知，嘗試練習

由以上問題得到2個方程,學生觀察歸納這2個方程的特徵,給出名稱並類比一元一次方程的定義,得出一元二次方程的定義.

歸納：

1、一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，並且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程。

強調定義中體現的3個特徵:

①整式;②一元;③2次

練習1：判斷下列各式是否為一元二次方程：

(1)4x2=81(2)2(x2_1)=3y(3)5x2_1=4x(4)x2+3x_c=0(5)3x(x+1)=5(x+2)

引導學生類比一元一次方程的一般形式，總結歸納一元二次方程的一般形式及項、係數的概念

2、一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2為二次項，a為二次項係數；bx為一次項，b為一次項係數；c為常數項。

提問：説出下列方程的一次項係數、二次項係數和常數項

x2+2x-1=0x2-36x+35=0

練習2：説出下列一元二次方程的二次項係數、一次項係數、常數項：（由學生以搶答的形式來完成此題,並讓學生找出錯誤理由.）

（1）x2十3x十2＝O（2）x2_3x十4＝0；

（3）3x2-5＝0 （4）4x2十3x_2＝0；

（5）3x2_5=0；（6）6x2_x=0。

整理一般形式後,教師應強調整理過程中應用到的等式變形方法,如去括號,移項,合併同類項,去分母。

教學活動3

三、合作學習，鞏固提高

1、把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項係數、一次項係數、常數項

（1）2（x2－1）= 3 x

（2）3（x－3）2=（x＋2）2＋7

（3）3x(x-1)＝2(x十2)

2、我校為樹立學生的團結、拼搏精神，組織了一次籃球比賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，依據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，請問全校有多少個隊參賽？(列方程並整理成一般形式）

教學活動4

四、歸納小結，佈置作業　

本節課你學會哪些新知識？

學生交流、討論，談談自己的收穫或感悟。