《解一元二次方程》教學設計
教學設計思想
解一元二次方程有四種方法,直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法,這四種方法各有千秋。為保證學生掌握基本的運算技能,教學中進行了一定量的訓練,但要避免學生簡單的模仿。我們在探究一元二次方程解法的過程中,要加強思想方法的滲透,發展學生的思維能力。在解一元二次方程的幾種方法中,均需要用到轉化的思想方法。如配方法需要將方程轉化為能直接開平方的形式,公式法能根據一元二次方程轉化為兩個一元一次方程,所有這些均體現了轉化的思想。在教學時老師引導學生在主動進行觀察、思考核探究的基礎上,體會數學思想方法在其中的作用,充分發展學生的思維能力。
教學目標
知識與技能:
1.會用配方法、公式法、因式分解法解簡單數字係數的一元二次方程。
2.能夠根據一元二次方程的特點,靈活選用解方程的方法,體會解決問題策略的多樣性。
過程與方法:
1.參與對一元二次方程解法的探索,體驗數學發現的過程,對結果比較、驗證、歸納、理清幾種解法之間的關係,並能根據方程的特點靈活選擇適當的方法解一元二次方程。
2.在探究一元二次方程的過程中體會轉化、降次的數學思想。
情感態度價值觀:
在解一元二次方程的實踐中,交流、總結經驗和規律,體驗數學活動樂趣。 教學重難點
重點:掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟,並熟練運用上述方法解題。
難點:根據方程的`特點靈活選擇適當的方法解一元二次方程。
教學方法
探索發現,講練結合
教學媒體
多媒體
課時安排
4課時
教學過程設計
第一課時
一、複習引入:
1.一元二次方程的一般形式是什麼?其中a應具備什麼條件?
2.x?4?0是一元二次方程嗎?其中二次項的係數,一次項的(來自: 海 達:解一元二次方程教學設計)係數,常數項各是什麼?
(是。二次項係數是1,一次項係數是0,常數項是-4)
3.解下列方程:
(1)x=4 22 (2)(x+3)=9 2
學生依次回答上述問題。
師總結強調:(1)象這種通過直接開平方求得x的值的方法,實際上就是求x=a(a≥0)這種特殊形式的一元二次方程的解方法。
(2)對於形如“(x+a)=b (b≥0)”型的方程,只要把x+a看作一個整體,就可以轉化為x=b (b≥0)型的方法去解決,這裏滲透了“換元”的方法。
2 2 22(3)在對方程(x+3)=9兩邊同時開平方後,原方程就轉化為兩個一次方程。要向學生
指出,這種變形實質上是將原方程“降次”。“降次”也是一種數學方法
二、試着做做
1.如果(x+2)=9,那麼x=_______________。
2.如果(x-3)=7,那麼x=_______________。
3.完全平方公式是什麼?
4.如果x+2x+1=4,那麼x=_______________。
學生獨立求解
5.對於x+2x-3=0這樣的方程,該怎樣求解呢?能否經過適當變形,將方程轉化為(x+m)2=n(m,n是常數,n≥0)的形式,然後應用直接開平法求解呢?你能總結出你解這個方程的步驟嗎?
學生活動:小組討論,利用完全平方公式及上述提示尋求解法,將x+2x-3=0變形為222x+2x+1=4,即(x+1)=4 。並總結出解方程x+2x-3=0的一種方法:
三、做一做
把下列方程化為(x+ m)=n(m,n是常數,n≥0)的形式,並求出它們的解。
(1)x+2x=48;(2)x-4x=12; 222
(3)x-6x+6=0;(4)x?x?225?0。 4
學生活動:初步體驗用配方法解一元二次方程 的步驟。
例1 解方程 x-10x-11=0
該例題師生共同完成,學生通過此題明白每步變形的依據和目的。
然後師生一起總結:
通過配方,把方程的一邊化為完全平方式,另一邊化為非負數,然後利用開平方的方法求出一元二次方程的根,這種方法叫做解一元二次方程的配方法。
四、練習:
1.配方:填上適當的數,使下列等式成立:
(1)x+12x+ (2)x―12x+
(3)x+8x+ 2222=(x+6) =(x―) 222=(x+)
2.解方程:課本P34 練習
五、小結
這節課你的收穫是什麼?
六、作業
課本P34 1,2,3
七、板書設計
第二課時
一、複習引入
上節課我們學習瞭解一元二次方程的什麼方法?
解下列方程:
(1)x-6x+4= 0(2)x+4x-16= 0 22
今天我們一起來學習方程的二次項係數不是1的一元二次方程。
二、做一做
解方程3x-32x-48= 0
師:引導學生觀察,此方程和上節課方程進行比較有什麼不同,能否轉化成二次項係數為1的形式。
學生獨立思考,積極探究,解答題目。
解:略。見課本P35
師:請同學們總結用配方法解一元二次方程的一般步驟是什麼?
學生小組討論,相互交流自己的想法。
利用配方法解一元二次方程,其一般步驟為:
A.先把方程整理為一般形式
B.用二次項係數去除方程兩邊,把二次項係數化為1
C.把常數項移到方程的右邊(移項)
D.方程兩邊各加上一次項係數一半的平方,把方程化為(x?m)2?n的形式(配方) E.利用直接開方法求得方程的解(當右邊是負數時,方程無解)
三、練一練
解下列方程
(1)x-4x=12; (2)3x+2x-5=0;
(3)2y+y-6=0; (4)2x+5x+1=0
四、實際應用
例3 有一張長方形桌子,它的長為2m,寬為1m。有一塊長方形枱布,它的面積是桌面面積的2倍,將枱布鋪在桌面上時,各邊垂下的長相等。求這塊枱布的長和寬(均精確到0.01m)。
小組討論:(1)題目中有哪些等量關係?(2)如何設未知數?根據你所設的未知數列出一元二次方程,並解答。(3)算出的x值都可取麼?為什麼
老師引導學生注意驗證方程的解的合理性,並對學習困難的學生給予及時的點撥和引導。
通過此題我們發現在解決實際問題時,設未知數要靈活選擇,同時注意檢驗方程的解是否符合題意,從而確定實際問題的答案。
五、小結
1.配方法的基本步驟。 22222
2.配方法是一種重要的數學方法,它的重要性,不僅僅表現在一元二次方程的解法中,在今後學習二次函數,到高中學習二次曲線時,還將經常用到。
3.在解決實際問題時,要注意檢驗方程的解是否符合題意。
六、作業
課本P37 1,2
五、板書設計
第三課時
一、導入新課:
1.配方法的步驟是什麼?
學生回答:(1)將方程二次項係數化成1;(2)移項;(3)配方;(4)化為(x+m)=n(m,n是常數,n≥0)的形式;(5)用直接開平方法求得方程的解。
2.用配方法解方程:
2x+7x=4
解:係數化成1,得:x+
22227x?2 2配方,得:x?74949x??2? 21616
7
42 (x+)?
開平方,得:x?81 1679?? 44
?x1?1 x2??4 2
學生活動:用配方法解一元二次方程。
師:直接開平方法解一元二次方程有一定的侷限性,必須符合直接開平方的條件才能利用直接開平方法;配方法雖然對任意一個一元一次方程都適用,但每做一題都要配方一次,顯得比較麻煩,所以我們就產生了推導一個公式來求一元二次方程的解的想法。
二、一起探究
用配方法解方程:ax+bx+c=0(a?0) 2