考研數學試題解析

一、問題求解（本大題共5小題，每小題3分，共45分）下列每題給出5個選項中，只有一個是符合要求的，請在答題卡上將所選擇的字母塗黑。

1、某家庭在一年支出中，子女教育支出與生活資料支出的比為3:8，文化娛樂支出與子女教育支出比為1:2。已知文化娛樂支出佔家庭總支出的10.5%，則生活資料支出佔家庭總支出的（）

（A）40% （B）42% （C）48% （D）56% （E）64%

【解析】：D。文化：子女：生活=3:6:16，所以。

2、有一批同規格的正方形瓷磚，用他們鋪滿整個正方形區域時剩餘180塊，將此正方形區域的邊長增加一塊瓷磚的長度時，還需要增加21塊瓷磚才能鋪滿，該批瓷磚共有（）

（A）9981塊（B）10000塊（C）10180塊（D）10201塊（E）10222塊

【解析】：C。設原邊長為a，則。

3、上午9時一輛貨車從甲地出發前往乙地，同時一輛客車從乙地出發前往甲地，中午12時兩車相遇，貨、客車的速度分別是90千米/小時、100千米/小時。則當客車到達甲地時，貨車距乙地的距離是（）

（A）30千米（B）43千米（C）45千米（D）50千米（E）57千米

【解析】：E。設甲乙相距S，則S=(100+90)×3=570，客車到甲地時時間570÷100=5.7小時，貨車距乙地570 - 90×5.7=57。

4、在分別標記了數字1、2、3、4、5、6的6張卡片中隨機取3張，其中數字之和等於10的概率（）

（A）0.05 （B）0.1 （C）0.15 （D）0.2 （E）0.25

【解析】：C。1,3,6；1,4,5；2,3,5。

5、某商場將每台進價為2000元的冰箱以2400元銷售時，每天銷售8台，調研表明這種冰箱的售價每降低50元，每天就能多銷售4台。若要每天銷售利潤最大，則冰箱的定價應為（）

(A)2200 （B）2250 （C）2300 （D）2350 (E)2400

【解析】：B。設降低x個50元，則(400-50x)·(8+4x)=(800-100x)·(200+100x),

當800 - 100x=200+100x，x=3，所以定價為2250

6、某委員會由三個不同的專業人員組成，三個專業人數分別是2,3,4，從中選派2位不同專業的委員外出調研，則不同的選派方式有（）

（A）36種 (B)26種 （C）12種 （D）8種 （E）6種

【解析】：A。。

7、從1到100的整數中任取一個數，則該數能被5或7整除的.概率為（）

（A）0.02 （B）0.14 （C）0.2 （D）0.32 （E）0.34

【解析】：D。能被5整除的100個，能被7整除的14個，能被35整除的2個；(20+14-2)÷100=0.32。

8、如圖1，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB與CD的邊長分別為4和8，若△ABE的面積為4，則四邊形ABCD的面積為（）

(A）24 （B）30 （C）32 （D）36 （E）40

【解析】：D。

9、現有長方形木板340張，正方形木板160張（圖2），這些木板正好可以裝配成若干豎式和橫式的無蓋箱子（圖3）。裝配成的豎式和橫式箱子的個數為（）

（A）25，80（B）60，50（C）20，70（D）60，40（E）40，60

【解析】：E。設裝配成豎式箱子x個，橫式箱子y個，則。

10.圓x+y-6x=4y=0上到原點距離最遠的點是（）

（A）(-3,2) （B）(3,-2) （C）(6,4) （D）(-6,4) （E）(6,-4)

【解析】：E。把圓寫成標準方程可以發現原點是在圓上的，那麼離原點最遠的點一定是原點關於圓心的對稱點（6，-4）。

11、如圖4，點A，B，O的座標分別為（4,0），（0,3），（0,0），若是△AOB中的點，則的最大值為（）

（A）6 （B）7 （C）8 （D）9 （E）12

【解析】：D。根據線性規劃的規律，角點處取到最值，把（4，0），（0，3），（0，0，）三角點代入2x+3y，可知，最大的是9。

12.設拋物線y=x+2ax+b與x軸相交於A，B兩點，點C座標為（0,2），若ΔABC的面積等於6，則（）

（A）a-b=9 （B）a+b=89 （C）a-b=36 （D）a+b=36 （E）a-4b=9

【解析】：A。畫出圖形可以幫助分析，根據面積公式有

。

13、某公司以分期付款方式購買一套定價1100萬元的設備，首期付款100萬元，之後每月付款50萬元，並支付上期餘額的利息，月利率1%，該公司為此設備支付了（）

（A）1195萬元 （B）1200萬元 （C）1205萬元

（D）1215萬元 （E）1300萬元

【解析】：C。100+(50+1000×1%)+(50+950×1%)+…+(50+50×1%)=1205

14、某學生要在4門不同課程中選修2門課程，這4門課程中的2門各開設一個班，另外2門各開設兩個班，該同學不同的選課方式共有（）

(A)6種 （B）8種 （C）10種 （D）13種 （E）15種

【解析】：C。假設有ABCD四門課，其中有A1，B1，C1，C2，D1，D2六個班，所有的選法有種，減去選同一班的兩種情況，故有15-2=13種。

15、如圖5，在半徑為10釐米的球體上開一個底面半徑是6釐米的圓柱形洞，則洞的內壁面積為（單位為平方釐米）（）

（A）48π （B）288π (C)96π (D)576π (E)192π

【解析】：E。求半徑，圓柱橫截面半徑，圓柱高的一半構成直角三角形，勾股定理計算得高的一半為8，高為16，內徑為2π×6×16=192π。

二．條件充分性判斷：第16-25小題，每小題3分，共30分。

要求判斷每題給出的條件（1）和（2）能否充分支持題幹所陳述的結論A、B、C、D、E五個選項為判斷結果，請選擇一項符合試題要求的判斷，請在答題卡上將所選的字母塗黑。 （A）條件（1）充分，但條件（2）不充分 （B）條件（2）充分，但條件（1）不充分 （C）條件（1）和（2）都不充分，但聯合起來充分 （D）條件（1）充分，條件（2）也充分 （E）條件（1）不充分，條件（2）也不充分，聯合起來仍不充分

16、已知某公司男員工的平均年齡和女員工的平均年齡，則能確定該公司員工的平均年齡

（1）已知該公司員工的人數

（2）已知該公司男女員工的人數之比

【解析】：B。條件（1）已知員工人數，男女分別不同時會造成平均年齡的不同。條件（2），已知人數只比和男女平均年齡，可以確定總的平均年齡。

17、如圖6，正方形ABCD由四個相同的長方形和一個小正方形拼成，則能確定小正方形的面積

（1）已知正方形ABCD的面積

（2）已知長方形的長寬之比

【解析】：C。事實上任何一個長方形這樣疊加都能得到這樣的帶有中間小正方形的圖形。所以，僅僅知道面積求得邊長，或者僅僅知道長寬之比都是不行的，聯合可以。

18、利用長度為a和b的兩種管材能連接成長度為37的管道（單位：米）

（1）a=3,b=5

（2）a=4,b=6

【解析】：A。條件（1），能連接，充分；

條件（2）4x+6y=37都是偶數的和是不可能為奇數的，不充分。

19、設x，y是實數，則x≤6，y≤4

（1）x≤y+2

（2）2y≤x+2

【解析】：C。單獨顯然不可能，聯合。

20、將2升甲酒精和1升乙酒精混合得到丙酒精，則能確定甲、乙兩種酒精的濃度

（1）1升甲酒精和5升乙酒精混合後的濃度是丙酒精濃度的1/2倍

（2）1升甲酒精和2升乙酒精混合後的濃度是丙酒精濃度的2/3倍

【解析】：E。設甲乙丙的濃度分別為a，b，c，則，只能解出之間的關係，解不出a,b值。

21、設有兩組數據S1：3，4，5，6，7和S2：4，5，6，7，,a，則能確定a的值

（1）S1與S2的均值相等

（2）S1與S2的方差相等

【解析】：A。平均值相同，a只能是3，所以，條件（1）充分。方程相同，a可以是3或8。

22、已知M是一個平面內的有限點集，則平面上存在到M中各點距離相等的點

（1）M中只有三個點

（2）M中的任意三點都不共線

【解析】：C。條件（1）三點共線的時候沒有。條件（2）形成凹多邊形的時候沒有，聯合只有三個點且不共線時可以構成三角形，三角形外接圓圓心到三點距離相等。

23、設x，y是實數，則可以確定x3+y3的最小值

（1）xy=1

（2）x+y=2

【解析】由於不知道x與y的正負符號，故單獨（1）不充分。

由（2），當xy越大，所求x3+y3數值越小，顯然當x與y同號時，且x=y=1時，取最小值。故選B

【解析】A。條件（1）前項總是大於後項，可以推的成對的都大於0，充分；

條件（2）取負數時不成立。

25、已知f(x)=x2+ax+b，則0≤f(1)≤1

（1）f(x)在區間[0，1]中有兩個零點

（2）f(x)在區間[1，2]中有兩個零點

【解析】：D。條件（1）：此條件等價於“方程x2+ax+b=0的兩根在區間[0,1]內”，即轉化為區間根問題，數形結合求解，如圖有

條件（2）：此條件等價於“方程x2+ax+b=0的兩根在區間[1,2]內”，即轉化為區間根問題，數形結合求解，得不等式組：