松原市寧江區九年級數學上學期期末考試試卷及答案

【考點】二次函數圖象與係數的關係.

【分析】①根據拋物線與x軸交點個數可判斷;②根據拋物線對稱軸可判斷;③根據拋物線與x軸的另一個交點座標可判斷;④根據B、C兩點到對稱軸的距離，可判斷.

【解答】解：由函數圖象可知拋物線與x軸有2個交點，

∴b2﹣4ac>0即b2>4ac，故①正確;

∵對稱軸為直線x=﹣1，

∴﹣ =﹣1，即2a﹣b=0，故②錯誤;

∵拋物線與x軸的交點A座標為(﹣3，0)且對稱軸為x=﹣1，

∴拋物線與x軸的另一交點為(1，0)，

∴將(1，0)代入解析式可得，a+b+c=0，故③正確;

∵a<0，

∴開口向下，

∵|﹣ +1|= ，|﹣ +1= ，

∴y1

綜上，正確的結論是：①③④，

故答案為①③④.

三、解答題(一)(每小題5分，共20分)

15.計算：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1.

【考點】實數的運算;零指數冪;負整數指數冪;特殊角的三角函數值.

【分析】本題涉及零指數冪、二次根式化簡、絕對值、特殊角的三角函數值四個考點.針對每個考點分別進行計算，然後根據實數的運算法則求得計算結果.

【解答】解：：(π﹣3.14)0﹣| sin60°﹣4|+( )﹣1

=1﹣|2 × ﹣4|+2

=1﹣|﹣1|+2

=2.

16.解方程：x2﹣1=2(x+1).

【考點】解一元二次方程﹣因式分解法.

【分析】首先把x2﹣1化為(x+1)(x﹣1)，然後提取公因式(x+1)，進而求出方程的解.

【解答】解：∵x2﹣1=2(x+1)，

∴(x+1)(x﹣1)=2(x+1)，

∴(x+1)(x﹣3)=0，

∴x1=﹣1，x2=3.

17.先化簡： •(x )，然後x在﹣1，0，1，2四個數中選一個你認為合適的數代入求值.

【考點】分式的化簡求值.

【分析】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化簡原分式，再分析給定的數據中使原分式有意義的x的值，將其代入化簡後的算式中即可得出結論.

【解答】解：原式= • • ，

= • ，

=x+1.

∵在﹣1，0，1，2四個數中，使原式有意義的值只有2，

∴當x=2時，原式=2+1=3.

18.某學校為了瞭解九年級學生“一份中內跳繩次數”的情況，隨機選取了3名女生和2名男生，從這5名學生中，選取2名同時跳繩，請你用列表或畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率是多少?

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出選中一男一女的結果數，然後根據概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖為：

共12種等可能的結果數，其中選中一男一女的結果數為12，

所以恰好選中一男一女的概率= = .

四、解答題(二)(每小題7分，共28分)

19.△ABC的頂點座標為A(﹣2，3)、B(﹣3，1)、C(﹣1，2)，以座標原點O為旋轉中心，順時針旋轉90°，得到△A′B′C′，點B′、C′分別是點B、C的對應點.

(1)求過點B′的反比例函數解析式;

(2)求線段CC′的長.

【考點】待定係數法求反比例函數解析式;座標與圖形變化﹣旋轉.

【分析】(1)據圖形旋轉方向以及旋轉中心和旋轉角度得出對應點，根據待定係數法，即可求出解.

(2)根據勾股定理求得OC，然後根據旋轉的旋轉求得OC′，最後根據勾股定理即可求得.

【解答】解：(1)如圖所示：由圖知B點的座標為(﹣3，1)，根據旋轉中心O，旋轉方向順時針，旋轉角度90°，

點B的對應點B′的座標為(1，3)，

設過點B′的反比例函數解析式為y= ，

∴k=3×1=3，

∴過點B′的反比例函數解析式為y= .

(2)∵C(﹣1，2)，

∴OC= = ，

∵△ABC以座標原點O為旋轉中心，順時針旋轉90°，

∴OC′=OC= ，

∴CC′= = .

20.如圖，在▱ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE=4，連接EF交CD於G.若 = ，求AD的長.

【考點】相似三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.

【分析】根據相似三角形的判定與性質，可得答案.

【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵DF∥EC，

∴△DFG∽CEG，

∴ = = ，

∴CE=6，

∴AD=BC=BE+CE=10.

21.如圖，在平面直徑座標系中，反比例函數y= (x>0)的圖象上有一點A(m，4)，過點A作AB⊥x軸於點B，將點B向右平移2個單位長度得到點C，過點C作y軸的平行線交反比例函數的圖象於點D，CD=

(1)點D的橫座標為　m+2　(用含m的式子表示);

(2)求反比例函數的解析式.

【考點】待定係數法求反比例函數解析式;反比例函數圖象上點的座標特徵;座標與圖形變化﹣平移.

【分析】(1)由點A(m，4)，過點A作AB⊥x軸於點B，將點B向右平移2個單位長度得到點C，可求得點C的座標，又由過點C作y軸的平行線交反比例函數的圖象於點D，CD= ，即可表示出點D的橫座標;

(2)由點D的座標為：(m+2， )，點A(m，4)，即可得方程4m= (m+2)，繼而求得答案.

【解答】解：(1)∵A(m，4)，AB⊥x軸於點B，

∴B的座標為(m，0)，

∵將點B向右平移2個單位長度得到點C，

∴點C的座標為：(m+2，0)，

∵CD∥y軸，

∴點D的橫座標為：m+2;

故答案為：m+2;

(2)∵CD∥y軸，CD= ，

∴點D的座標為：(m+2， )，

∵A，D在反比例函數y= (x>0)的圖象上，

∴4m= (m+2)，

解得：m=1，

∴點A的座標為(1，4)，

∴k=4m=4，

∴反比例函數的解析式為：y= .

22.如圖，某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南安邊點A處，測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向，然後向西走60m到達C點，測得點B在點C的北偏東60°方向.回答下列問題：

(1)∠CBA的度數為　15°　.

(2)求出這段河的寬(結果精確到1m，備用數據 ≈1.41， ≈1.73.

【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題.

【分析】(1)根據三角形的外角的性質、結合題意計算即可;

(2)作BD⊥CA交CA的延長線於D，設BD=xm，根據正切的定義用x表示出CD、AD，根據題意列出方程，解方程即可.

【解答】解：(1)由題意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°，

∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°.

故答案為15°;

(2)作BD⊥CA交CA的延長線於D，

設BD=xm，

∵∠BCA=30°，

∴CD= = x，

∵∠BAD=45°，

∴AD=BD=x，

∵CD﹣AD=AC=60，

∴ x﹣x=60，

解得x=30( +1)≈82，

答：這段河的寬約為82m.

五、解答題(三)(每小題10分，共20分)

23.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足為D.

(1)求證：CD是⊙O的切線;

(2)若∠ACD=30°，AD=4，求圖中陰影部分的面積.

【考點】切線的判定;扇形面積的計算.

【分析】(1)先證明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解決問題.

(2)根據S陰=S△ACD﹣(S扇形OAC﹣S△AOC)計算即可.

【解答】解：(1)連接OC.

∵OA=OC.

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠MAC=∠OAC，

∴∠MAC=∠OCA，

∴OC∥AM，

∵CD⊥AM，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線.

(2)在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，

∴AC=2AD=8，CD= AD=4 ，

∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，

∴△AOC是等邊三角形，

∴S陰=S△ACD﹣(S扇形OAC﹣S△AOC)

= ×4×4 ﹣( ﹣ ×82)

=24 ﹣ π.

24.課本中有一個例題：

有一個窗户形狀如圖1，上部是一個半圓，下部是一個矩形，如果製作窗框的材料總長為6m，如何設計這個窗户，使透光面積最大?

這個例題的答案是：當窗户半圓的半徑約為0.35m時，透光面積最大值約為1.05m2.

我們如果改變這個窗户的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6m，利用圖3，解答下列問題：

(1)若AB為1m，求此時窗户的透光面積?

(2)與課本中的例題比較，改變窗户形狀後，窗户透光面積的最大值有沒有變大?請通過計算説明.

【考點】二次函數的應用.

【分析】(1)根據矩形和正方形的周長進行解答即可;

(2)設AB為xcm，利用二次函數的最值解答即可.

【解答】解：(1)由已知可得：AD= ，

則S=1× m2，

(2)設AB=xm，則AD=3﹣ m，

∵ ，

∴ ，

設窗户面積為S，由已知得：

，

當x= m時，且x= m在 的範圍內， ，

∴與課本中的例題比較，現在窗户透光面積的最大值變大.

六、解答題(四)(每小題10分，共20分)

25.正方形OABC的邊長為4，對角線相交於點P，拋物線L經過O、P、A三點，點E是正方形內的拋物線上的動點.

(1)建立適當的平面直角座標系，

①直接寫出O、P、A三點座標;

②求拋物線L的解析式;

(2)求△OAE與△OCE面積之和的最大值.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)以O點為原點，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角座標系.①根據正方形的邊長結合正方形的性質即可得出點O、P、A三點的座標;②設拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，結合點O、P、A的座標利用待定係數法即可求出拋物線的解析式;

(2)由點E為正方形內的拋物線上的動點，設出點E的座標，結合三角形的面積公式找出S△OAE+SOCE關於m的函數解析式，根據二次函數的性質即可得出結論.

【解答】解：(1)以O點為原點，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸建立直角座標系，如圖所示.

①∵正方形OABC的邊長為4，對角線相交於點P，

∴點O的座標為(0，0)，點A的座標為(4，0)，點P的座標為(2，2).

②設拋物線L的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線L經過O、P、A三點，

∴有 ，

解得： ，

∴拋物線L的解析式為y=﹣ +2x.

(2)∵點E是正方形內的拋物線上的動點，

∴設點E的座標為(m，﹣ +2m)(0

∴S△OAE+SOCE= OA•yE+ OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣(m﹣3)2+9，

∴當m=3時，△OAE與△OCE面積之和最大，最大值為9.

26.已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(點P不與點A、C重合)，分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，點O為AC的中點.

(1)當點P與點O重合時如圖1，求證：OE=OF

(2)直線BP繞點B逆時針方向旋轉，當點P在對角線AC上時，且∠OFE=30°時，如圖2，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關係?並給予證明.

(3)當點P在對角線CA的延長線上時，且∠OFE=30°時，如圖3，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數量關係?直接寫出結論即可.

【考點】四邊形綜合題.

【分析】(1)由△AOE≌△COF即可得出結論.

(2)圖2中的結論為：CF=OE+AE，延長EO交CF於點G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題.

(3)圖3中的結論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線於點G，證明方法類似.

【解答】解：(1)∵AE⊥PB，CF⊥BP，

∴∠AEO=∠CFO=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AOE≌△COF(AAS)，

∴OE=OF.

(2)圖2中的結論為：CF=OE+AE.

圖3中的結論為：CF=OE﹣AE.

選圖2中的結論證明如下：

延長EO交CF於點G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠EAO=∠GCO，

在△EOA和△GOC中，

，

∴△EOA≌△GOC(ASA)，

∴EO=GO，AE=CG，

在Rt△EFG中，∵EO=OG，

∴OE=OF=GO，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等邊三角形，

∴OF=GF，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG+CG，

∴CF=OE+AE.

選圖3的結論證明如下：

延長EO交FC的延長線於點G，

∵AE⊥BP，CF⊥BP，

∴AE∥CF，

∴∠AEO=∠G，

在△AOE和△COG中，

，

∴△AOE≌△COG(AAS)，

∴OE=OG，AE=CG，

在Rt△EFG中，∵OE=OG，

∴OE=OF=OG，

∵∠OFE=30°，

∴∠OFG=90°﹣30°=60°，

∴△OFG是等邊三角形，

∴OF=FG，

∵OE=OF，

∴OE=FG，

∵CF=FG﹣CG，

∴CF=OE﹣AE.