九年級數學《圓》教學設計範文

一、教學目標

知識技能:

1．瞭解圓和圓的相關概念,知道圓實軸對稱圖形,理解並掌握垂直於弦的直徑有哪些性質.

2．瞭解弧、弦、圓心角、圓周角的定義，明確它們之間的聯繫.

數學思考:

1．在引入圓的定義過程中，明確與圓相關的定義，體會數學概念間的聯繫.

2．在探究弧、弦、圓心角、圓周角之間的聯繫的過程中，培養學生的觀察、總結及概括能力.

問題解決:

1．在明確垂直於弦的直徑的性質後，能根據這個性質解決一些簡單的實際問題.

2．能根據弧、弦、圓心角、圓周角的相關性質解決一些簡單的實際問題.情感態度：在引入圓的定義及運用相關性質解決實際問題的過程中，感悟數學源於生活又服務於生活.在探索過程中，形成實事求是的態度和勇於創新的精神.

二、重難點分析

教學重點：垂徑定理及其推論；圓周角定理及其推論．

垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質，是圓的軸對稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關係的重要依據，同時也為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據；圓周角定理及其推論對於角的計算、證明角相等、弧、弦相等等問題提供了十分簡便的方法．所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節的重點．

對於垂徑定理，可以結合圓的軸對稱性和等腰三角形的軸對稱性，引導學生去發現“思考”欄目圖中相等的線段和弧，再利用疊合法推證出垂徑定理．對於垂徑定理的推論，可以按條件畫出圖形，讓學生觀察、思考，得出結論．要注意讓學生區分它們的題設和結論，強調“弦不是直徑”的條件．

圓周角定理的證明，分三種情況進行討論．第一種情況是特殊情況，是證明的基礎，其他兩種情況都可以轉化為第一種情況來解決，轉化的條件是添加以角的頂點為端點的直徑為輔助線．這種由特殊到一般的思想方法，應當讓學生掌握．

教學難點：垂徑定理及其推論；圓周角定理的證明．

垂徑定理及其推論的條件和結論比較複雜，容易混淆，圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學生對於分類證明的必要性不易理解，所以這兩部分內容是本節的難點．

圓是生活中常見的圖形,學生國小時對它已經有了初步接觸,對於圓的基本性質有所瞭解.但是對於垂徑定理和推論、圓周角定理和推論及其理論推導還比較陌生，教師應該鼓勵引導學生通過動手操作、動腦思考等途徑去發現結論，加深認識.

三、學習者學習特徵分析

圓是生活中常見的圖形,學生國小時對它已經有了初步接觸,對於圓的基本性質有所瞭解.但是對於垂徑定理和推論、圓周角定理和推論及其理論推導還比較陌生，教師應該鼓勵引導學生通過動手操作、動腦思考等途徑去發現結論，加深認識.

四、教學過程

（一）創設情境，引入新課

圓是一種和諧、美麗的圖形，圓形物體在生活中隨處可見.在國小我們已經認識了圓這種基本的幾何圖形，並能計算圓的周長和麪積.

早在戰國時期，《墨經》一書中就有關於“圓”的記載，原文為“圓，一中同長也”.

這是給圓下的定義，意思是説圓上各點到圓心的距離都等於半徑.

現實生活中，路上行駛的各種車輛都是圓形的輪子，為什麼車輪做成圓形的？為什麼不做成橢圓形和四邊形的呢？這一節我們就一起來學習圓的有關知識，並且來解決上述的疑問.

（二）合作交流，探索新知

1．觀察圖形，引入概念

(1）圓是生活中常見的圖形，許多物體都給我們以圓的形象．（多媒體圖片引入）

（2）觀察畫圓的過程，你能由此説出圓的形成過程嗎？

（3）圓的概念：

讓學生根據上面所找出的特點，描述什麼樣的圖形是圓.（學生可以在討論、交流的基礎上自由發言；絕大部分學生能夠比較準確的描述出圓的.定義，部分學生沒有説準確，在其他學生帶動下也能夠説出）在學生充分交流的基礎上得到圓的定義：

在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一週，另一個端點A形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑．（多媒體動畫引入）

（4）圓的表示方法

以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

（5）從畫圓的過程可以看出：

①圓上各點到定點（圓心O）的距離都等於定長（半徑r）；

②到定點的距離等於定長的點都在同一個圓上．

因此，圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等於定長r 的點的集合．（把一個幾何圖形看成是滿足某種條件的點的集合的思想，在幾何中十分重要，因為這實際上就是關於軌跡的概念．圓，實際上是“到定點的距離等於定長的點”的軌跡．事實上，①保證了圖形上點的純粹性，即不雜；②保證了圖形的完備性，即沒有漏掉滿足這種條件的點．①②同時符合，保證了圖形上的點“不雜不漏”．）

（6）由車輪為什麼是圓形，讓學生感受圓在生活中的重要性．

問題1，車輪為什麼做成圓形？

問題2，如果做成正方形會有什麼結果？

（通過車輪實例，首先讓學生感受圓是生活中大量存在的圖形．教學時給學生展示正方形車輪在行走時存在的問題，使學生感受圓形的車輪運轉起來最平穩．）

把車輪做成圓形，車輪上各點到車輪中心（圓心）的距離都等於車輪的半徑，當車輪在平面上滾動時，車輪中心與平面的距離保持不變，因此，當車輛在平坦的路上行駛時，坐車的人會感覺到非常平穩，這也是車輪都做成圓形的數學道理．

2.與圓有關的概念

（1）連接圓上任意兩點的線段（如線段AC）叫做弦.

（2）經過圓心的弦（如圖中的）叫做直徑．

（3）圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧．

小於半圓的弧（如圖中的

ABC，）叫做優弧．

（4）圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．

（5）能夠重合的兩個圓叫做等圓．（容易看出半徑相等的兩個圓是等圓，反過來，同圓或等圓的半徑相等．） 叫做劣弧；大於半圓的弧（用三個字母表示，如圖中的

（6）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．

（對於和圓有關的這些概念，應讓學生藉助圖形進行理解，並弄清楚它們之間的聯繫和區別．例如，直徑是弦，但弦不一定是直徑．半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓即不是劣弧，也不是優弧．）

3.垂直於弦的直徑

（1）創設情景引入新課

問題 ：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m.你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？）

（2）圓的對稱性的探究

①活動：用紙剪一個圓，沿着圓的任意一條直徑對摺，重複幾次，你發現了什麼？由此你能得到什麼結論？（學生可能會找到1條，2條，3條?教師不要過早地去評判，應該把機會留給學生，讓他們在互相交流中，認識到圓的對稱軸有無數多條，要鼓勵學生表達自己的想法）

②得到結論：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

（3）垂徑定理及其逆定理

①垂徑定理的探究

如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什麼？? （2）你能發現圖中有哪些相等的線段和弧嗎？為什麼？（旨在通過這樣複合圖形的軸對稱性探索垂徑定理，教學時應鼓勵學生探索方式的多樣性．引導學生理解，證明垂徑定理的基本思路是：先構造等腰三角形，由垂直於弦得出平分弦；然後將直徑看做圓的對稱軸，利用軸對稱圖形對應元素相等的性質得出平分弧的結論）（多媒體動畫引入）

垂徑定理：垂直於弦的直徑平分弦，並且平分弦所對的兩條弧．

②垂徑定理的逆定理的探究

（仿照前面的證明過程，鼓勵學生獨立探究，然後通過同學間的交流得出結論）

垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧．③解決求趙州橋拱半徑的問題

4.弧，弦，圓心角

（1）通過實驗探索圓的另一個特性

如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A’OB’的位置，你能發現哪些等量關係？為什麼？（多媒體圖片引入）（教科書展示了一種證明方法——疊合法，教學時要鼓勵學生用多種方法探索圖形的性質，學生的想法未必完善，但只要有合理的成分就應給予肯定和鼓勵．）

結論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所的弧相等，所對的弦也相等．

（2）對（1）中結論的逆命題的探究

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那麼它們所對的圓心角_____， 所對的弦_____；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那麼他們所對的圓心角______，所對的弧_____．（教學時仍要鼓勵學生用多種方法進行探索）

（3）應用新知，體驗成功

例. 如圖，在⊙O中，

= ，∠ACB=60°，求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.

5.圓周角

（1）創設情境引入概念

如圖是一個圓柱形的海洋館的橫截面示意圖，人們可以通過其中的圓弧形玻璃窗觀看窗內的海洋動物，同學甲站在圓心O的位置，同學乙站在正對着玻璃窗的靠牆的位置C，他們的視角（∠AOB和∠ACB）有什麼關係？如果同學丙，丁分別站在其他靠牆的位置D和E，他們的視角（∠ADB和∠AEB）和同學乙的視角相同嗎？

概念：頂點在圓上，並且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

（意在引出同弧所對的圓心角與圓周角，同弧所對的圓周角之間的大小關係．教學時要引導學生分析圓周角有兩個特徵：角的頂點在圓上；兩邊在圓內的部分是圓的兩條弦．）

（2）圓的相關性質

①動手實踐

活動一：分別量一下所對的兩個圓周角的度數，比較一下，再變動點C在圓周上的位置，圓周角的度數有沒有變化？你能發現什麼規律？

活動二：再分別量出圖中所對的圓周角和圓心角的度數，比較一下，你有什麼發現？（利用一些計算機軟件，可以很方便的度量圓周角，圓心角，有條件的話可以試一試）得到結論：同弧所對的圓周角的度數沒有變化，並且它的度數恰好等於這條弧所對的圓心角的度數的一半．

②為了進一步研究上面發現的結論，在⊙O任取一個圓周角∠BAC，將圓對摺，使摺痕經過圓心O和∠BAC的頂點A．由於A的位置的取法可能不同，這時摺痕可能會：在圓周角的一條邊上；在圓周角的內部；在圓周角的外部．

（學生解決這一問題是有一定難度的，應給學生留有時間和空間，讓他們進行思考．引導學生觀察後兩種情況，讓學生思考：這兩種情況能否轉化為第一種情況？如何轉化？當解決一個問題有困難時，我們可以首先考慮其特殊情形，然後再設法解決一般問題．這是解決問題時常用的策略．）

由此得到圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半．

進一步我們還可以得到下面的推論：

半徑（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

由圓周角定理可知：

在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等．

（3）圓內接多邊形的定義及其相關性質

① 定義：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．

②利用圓周角定理，我們的得到關於圓內接四邊形的一個性質：

圓內接四邊形的對角互補．

（三）應用新知，體驗成功

利用資源庫中的“典型例題”進行教學.

（四）課堂小結，體驗收穫（PPT顯示）

這堂課你學會了哪些知識？有何體會？（學生小結）

1.圓的有關概念；

2.垂徑定理及其逆定理；

3.弧，弦，圓心角的相關性質；

4.圓周角的概念及相關性質;

（五）拓展延伸，佈置作業

利用資源庫中或手頭的相關材料進行佈置.

五、學習評價：

(一)選擇題

1．如圖，如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，那麼下列結論中，?錯誤的是（ ）

（A）CE=DE． （B）． （C）∠BAC=∠BAD ． （D）AC>AD．

1題圖 2題圖3題圖

2．如圖，在⊙O中，P是弦AB的中點，CD是過點P的直徑，?則下列結論中不正確的是（）

（A）AB⊥CD ． （B）∠AOB=4∠ACD． （C）

3．如圖 ，⊙O中，如果=2，那麼（ ） ． （D）PO=PD．

（A）AB=AC． （B）AB=AC． （C）AB<2ac． ab="">2AC．

4．如圖，A、B、C三點在⊙O上，∠AOC=100°，則∠ABC等於（ ）

（A）140°． （B）110°．（C）120°．（D）130°．

4題圖 5題圖 6題圖

5．如圖，∠1、∠2、∠3、∠4的大小關係是（ ）

（A）∠4<∠1<∠2<∠3 ． （B）∠4<∠1=∠3<∠2． （C）∠4<∠1<∠3∠2 ． （D）∠4<∠1<∠3=∠2．

6．如圖，AD是⊙O的直徑，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，則BC等於（）

一. 本週教學內容： 第七章 圓

三 圓和圓的位置關係

［學習目標］

1. 掌握圓和圓的各種位置關係的概念及判定方法；2. 理解並掌握兩圓相切的性質定理；

3. 掌握相交兩圓的性質定理，並完成相關的計算和證明；

4. 理解圓的內、外公切線概念，會計算內、外公切線長及兩公切線夾角；並能根據公切線的條數確定兩圓的位置關係；

5. 通過兩圓位置關係的學習，進一步理解事物之間是相互聯繫和運動變化的觀點，學會在變化中尋找規律，培養綜合運用知識的能力。

［知識回顧］

1. 圓與圓的位置關係的判定方法及圖形特徵

2. 兩圓相切的性質：如果兩圓相切，那麼切點一定在連心線上。3. 兩圓相交的性質：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4. 設兩圓公切線長L，兩圓半徑R、r，兩公切線的夾角α 則有：外公切線長

【典型例題】

例1. 已知⊙O1、⊙O2半徑分別為15cm和13cm，它們相交於A、B兩點，且AB長24cm，求O1O2長。

分析：該題沒有給出圖形，兩圓相交有兩種可能性：1. 兩圓心在公共弦的兩側；2. 兩圓心在公共弦的同側； 因此，我們必須分兩種情況來解。

∴如圖（1） O1O2=O1C+O2

C=14cm

如圖（2） O1O2=O1C－O2

C=4cm

例1是兩圓相交時的一題兩解問題，希望引起同學們的重視。

例2. 如圖，⊙O1與⊙O2外切於點P，AC切⊙O2於C交⊙O1於B，AP交⊙O2於D，求證：

（1）PC平分∠BPD

（2）若兩圓內切，結論還成立嗎？證明你的結論。

在解決有關兩圓相切的問題時，過切點作兩圓的公切線是常見的一條輔助線，利用弦切角及圓周角的性質或切線長定理，可使問題迎刃而解。 從這道題我們還可以聯想到做過的兩道題，

①當A、B重合時，也就是AC成為兩圓的外公切線時，PC⊥AD，即我們書上的例題（P129 例4）

②當APD經過O1、O2時，PB⊥AC，PC平分∠BPD的證法就更多了。

例3. 如圖，以FA為直徑的⊙O1與以OA為直徑的⊙O1內切於點A，△ADF內接於⊙O，DB⊥FA於B，交⊙O1於C，連結AC並延長交⊙O於E，求證：

（1）AC=CE （2）AC=DB－BC

本題中主要應用了垂徑定理，相交弦定理等知識，另外，證明過程中線段代換比較巧妙，應認真體會。

例4. 如圖：⊙O1和⊙O2相交於A、B兩點，過A作⊙O1切線交⊙O2於點C，過點B作兩圓割線交⊙O1和⊙O2於D、E，DE與AC相交於P點，

（1）求證：PA·PE=PC·PD

（2）當AD與⊙O2相切且PA=6，PC=2，PD=12時，求AD的長。

解與兩圓相交的有關問題時，作兩圓的公共弦為輔助線，使不同的兩個圓的圓周角建立聯繫，溝通它們之間某些量的關係，同學們應注意它的應用。

例5. 如圖，已知：⊙O與⊙B相交於點M、N，點B在⊙O上，NE為⊙B的直徑，點C在⊙B上，CM交⊙O於點A，連結AB並延長交NC於點D，求證：AD⊥NC。

例6. 如圖：已知△DEC中DE=DC，過DE作⊙O1交EC、DC於B、A，過A、B、C作⊙O2，過B作BF⊥DC

於F，延長FB交⊙O1於G，連DG交EC於H，

（1）求證：BF過⊙O2的圓心O2

（2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的長。

例7. 如圖：⊙O1與⊙O2外切於點P，AB是兩圓外公切線，AB與O1O2延長線交於

C點，AP延長線上一點E，滿足條件

APAC

?ABAE

PE交⊙O2

於點D，

（1）求證：AC⊥EC （2）求證：PC=EC (3)若AP?4PD?94求BC的值 EC