單位圓與正弦函數教案

來源：文萃谷 1.21W

1 單位圓與正弦函數

在國中，我們學習了鋭角α的正弦函數值：sinα＝，如圖：sinA＝，由於a是直角邊，c是斜邊，所sinA∈(0，1)。由於我們通常都是將角放到平面直角座標系中，我們來看看會發生什麼？

在直角座標系中，（如圖所示），設角α（α∈（0，））的終邊與半經為r的圓交於點P（a，b），則角α的正弦值是：sinα＝ .根據相似三角形的知識可知，對於確定的角α，都不會隨圓的半經的改變而改變。為簡單起見，令r＝1(即為單位圓)，那麼sinα＝b，也就是説，若角α的終邊與單位圓相交於P，則點P的縱座標b就是角α的正弦函數。

直角三角形顯然不能包含所有的角，那麼，我們可以仿照鋭角正弦函數的定義．你認為該如何定義任意角的正弦函數?

一般地，在直角座標系中（如上圖），對任意角α，它的終邊與單位圓交於點P（a，b），我們可以唯一確定點P（a，b）的縱座標b，所以P點的縱座標b是角α的函數，稱為正弦函數，記作＝sinα(α∈R)。通常我們用x，分別表示自變量與因變量，將正弦函數表示為＝sinx.正弦函數值有時也叫正弦值.

請同學們畫圖，並利用正弦函數的定義比較説明：角與角的終邊與單位圓的交點的縱座標有什麼關係？它們的正弦值有什麼關係？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？

sin =sin = sin =-sin =-

Sin(- )=sin( )= sin(- )=sin(- )=

通過上述問題的討論，容易得到：終邊相同的角的正弦函數值相等，即

sin(2π＋α)＝sinα (∈Z)，説明對於任意一個角α，每增加2π的整數倍，其正弦函數值不變。所以，正弦函數是隨角的.變化而週期性變化的，正弦函數是周期函數，2π（∈Z，≠0）為正弦函數的週期。

2π是正弦函數的正周期中最小的一個，稱為最小正週期。一般地，對於周期函數f(x)，如果它所有的週期中存在一個最小的正數，那麼這個最小的正數就叫作f(x)的最小正週期。

【鞏固深化，發展思維】

1．若點P(—3，)是α終邊上一點，且sinα＝— ，求值．【】

2．若角α的頂點為座標原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊在函數＝—3x (x≤0)的圖像上，則sinα＝。【】

（三）、歸納整理，整體認識：