五年級奧數題:質數與合數

1、有人説：“任何7個連續整數中一定有質數.”請你舉一個例子，説明這句話是錯的.

2、從小到大寫出5個質數，使後面的數都比前面的數大12.

3.9個連續的自然數，它們都大於80，那麼其中質數最多有多少個?

4.用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到並且只能用一次，那麼這9個數字最多能組成多少個質數?

5.已知一個兩位數除1477，餘數是49.求滿足這樣條件的所有兩位數.

6.某校師生為貧困地區捐款1995元.這個學校共有35名教師，14個教學班.各班學生人數相同且多於30人不超過45人.如果平均每人捐款的錢數是整數，那麼平均每人捐款多少元?

7.在做一道兩位數乘以兩位數的乘法題時，小馬虎把一乘數中的數字5看成8，由此得乘積為1872.那麼原來的乘積是多少?

8.已知兩個數的和被5除餘1，它們的積是2924，那麼它們的差等於多少?

9.在射箭運動中，每射一箭得到的環數或者是“0”(脱靶)，或者是不超過10的自然數.甲、乙兩名運動員各射了5箭，每人5箭得到的環數的積都是1764，但是甲的總環數比乙少4環.求甲、乙的總環數各是多少?

10.一個長方體的長、寬、高都是整數釐米，它的體積是1998立方厘米，那麼它的長、寬、高的和的最小可能值是多少釐米?

例8 一個整數a與1080的乘積是一個完全平方數.求a的最小值與這個平方數。

分析 ∵a與1080的乘積是一個完全平方數，

∴乘積分解質因數後，各質因數的指數一定全是偶數。

解：∵1080×a=23×33×5×a，

又∵1080=23×33×5的質因數分解中各質因數的指數都是奇數，

∴a必含質因數2、3、5，因此a最小為2×3×5。

∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

答：a的最小值為30，這個完全平方數是32400。

例9 問360共有多少個約數？

分析 360=23×32×5。

為了求360有多少個約數，我們先來看32×5有多少個約數，然後再把所有這些約數分別乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有約數.為了求32×5有多少個約數，可以先求出5有多少個約數，然後再把這些約數分別乘以1、3、32，即得到32×5的所有約數。

解：記5的'約數個數為Y1，

32×5的約數個數為Y2，

360（=23×32×5）的約數個數為Y3.由上面的分析可知：

Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

顯然Y1=2（5只有1和5兩個約數）。

因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

所以360共有24個約數。

説明：Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數的個數，也就是其中2的最大指數加1，也就是360＝23×32×5中質因數2的個數加1；Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數的個數，也就是23×32×5中質因數3的個數加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數的個數，即23×32×5中質因數5的個數加1.因此

Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

對於任何一個合數，用類似於對23×32×5（=360）的約數個數的討論方式，我們可以得到一個關於求一個合數的約數個數的重要結論：

一個合數的約數個數，等於它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加1的連乘的積。

例10 求240的約數的個數。

解：∵240＝24×31×51，

∴240的約數的個數是

（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

∴240有20個約數。

請你列舉一下240的所有約數，再數一數，看一看是否是20個？

例1 三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.

1.將1，2，3這3個數字選出1個、2個、3個按任意次序排列出來可得到不同的一位數、二位數、三位數，請將其中的質數都寫出來.

考點：合數與質數.

分析：按要求寫出所有一位數，二位數，三位數，然後選出質數即可.

解答：解：一位數為：1，2，3，

二位數為：12，13，21，23，31，32，

三位數為：123，132，213，231，312，321，

其中質數為2，3，13，23，31.

點評：明確質數的含義：除了1和它本身以外，不含其它因數的數是質數;是解答此題的關鍵.