考研數學高數重要定理證明彙總

考研數學的高數是很多考生都比較頭疼的一類題目，也是考察重點，我們需要了解清楚重要定理證明。小編為大家精心準備了考研數學高數重要定理證明指南，歡迎大家前來閲讀。

高數定理證明之微分中值定理:

這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0。考慮函數在一點的導數，用什麼方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎麼用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學語言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式，不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋樑。

費馬引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那麼它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區間連續”、“開區間可導”和“端值相等”，結論是在開區間存在一點(即所謂的中值)，使得函數在該點的導數為0。

該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎麼用?如何和結論建立聯繫?當然，我們現在討論該定理的證明是“馬後炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎麼去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創新，是要流芳百世的。

閒言少敍，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那麼羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發現是一致的：都是函數在一點的導數為0。話説到這，可能有同學要説：羅爾定理的證明並不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這麼簡單。起碼要説清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什麼滿足?

前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那麼“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那麼我們看看哪個條件可能和極值產生聯繫。注意到羅爾定理的第一個條件是函數在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函數有很好的性質，哪條性質和極值有聯繫呢?不難想到最值定理。

那麼最值和極值是什麼關係?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區間內部，則最值為極值;若最值均取在區間端點，則最值不為極值。那麼接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數值相等，由此推出函數在整個閉區間上的最大值和最小值相等，這意味着函數在整個區間的表達式恆為常數，那在開區間上任取一點都能使結論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙鵰的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現出來的基本思路，適用於證其它結論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形後的式子讀出是對哪個函數用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數的過程——看等號左側的式子是哪個函數求導後，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現場調查：根據這個犯罪現場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函數遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;複雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數求不定積分。

高數定理證明之求導公式:

2015年真題考了一個證明題：證明兩個函數乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎麼用比較熟悉，而對它怎麼來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶着急功近利的心態只關注結論怎麼用，而不關心結論怎麼來的，那很可能從未認真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這裏給2017考研學子提個醒：要重視基礎階段的複習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。

當然，該公式的證明並不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函數在一點的導數自然用導數定義考察，可以按照導數定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前後都有聯繫，便於提公因子。之後分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。

高數定理證明之積分中值定理:

該定理條件是定積分的被積函數在積分區間(閉區間)上連續，結論可以形式地記成該定積分等於把被積函數拎到積分號外面，並把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。

若我們選擇了用連續相關定理去證，那麼到底選擇哪個定理呢?這裏有個小的技巧——看中值是位於閉區間還是開區間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位於閉區間和開區間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位於閉區間。那麼何去何從，已經不言自明瞭。

若順利選中了介值定理，那麼往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區間長度，就能達到我們的要求。當然，變形後等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區間長度後仍為一個數。這個數就相當於介值定理結論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數在閉區間連續，2.實數A位於函數在閉區間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區間上某點的函數值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數的連續性不難判斷，僅需説明定積分除以區間長度這個實數位於函數的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的範圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

高數定理證明之微積分基本定理:

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，並用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至於導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生並不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等於其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那麼我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等於f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

▶一、行列式部分，強化概念性質，熟練行列式的求法

在這裏我們需要明確下面幾條：行列式對應的是一個數值，是一個實數，明確這一點可以幫助我們檢查一些疏漏的低級錯誤;行列式的計算方法中常用的是定義法，比較重要的是加邊法，數學歸納法，降階法，利用行列式的性質對行列式進行恆等變形，化簡之後再按行或列展開。另外範德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分為低階的數字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算等。

▶二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的'應用

通過歷年真題分類統計與考點分佈，矩陣部分的重點考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，其內容包括伴隨矩陣的定義、性質、行列式、逆矩陣、秩，在課堂輔導的時候會重點強調.此外，伴隨矩陣的矩陣方程以及矩陣與行列式的結合也是需要同學們熟練掌握的細節。涉及秩的應用，包含矩陣的秩與向量組的秩之間的關係，矩陣等價與向量組等價，對矩陣的秩與方程組的解之間關係的分析，備考需要在理解概念的基礎上，系統地進行歸納總結，並做習題加以鞏固。

▶三、向量部分，理解相關無關概念，靈活進行判定

向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數每年必出的考點。如何掌握這部分內容呢?首先在於對定義概念的理解，然後就是分析判定的重點，即：看是否存在一組全為零的或者有非零解的實數對。基礎線性相關問題也會涉及類似的題型：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題。

▶四、線性方程組部分，判斷解的個數，明確通解的求解思路

線性方程組解的情況，主要涵蓋了齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明以及帶參數的線性方程組的解的情況。通解的求法有兩種，若為齊次線性方程組，首先求解方程組的矩陣對應的行列式的值，在特徵值為零和不為零的情況下分別進行討論，為零説明有解，帶入增廣矩陣化簡整理;不為零則有唯一解直接求出即可。若為非齊次方程組，則按照對增廣矩陣的討論進行求解。

▶五、矩陣的特徵值與特徵向量部分，理解概念方法，掌握矩陣對角化的求解

矩陣的特徵值、特徵向量部分可劃分為三給我板塊：特徵值和特徵向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。相關題型有：數值矩陣的特徵值和特徵向量的求法、抽象矩陣特徵值和特徵向量的求法、判定矩陣的相似對角化、有關實對稱矩陣的問題。

▶六、二次型部分，熟悉正定矩陣的判別，瞭解規範性和慣性定理

二次型矩陣是二次型問題的一個基礎，且大部分都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題來處理。另外二次型及其矩陣表示，二次型的秩和標準形等概念、二次型的規範形和慣性定理也是填空選擇題中的不可或缺的部分，二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，要會用配方法、正交變換化二次型為標準形;掌握二次型正定性的判別方法等等。

▶第一階段：夯實基礎階段

這個階段主要是夯實基礎，時間就是你開始備考的時間到2017的7月，每天3-4個小時，建議用一個上午、下午或者晚上的整塊的時間來專門複習數學。

複習應根據歷年考研數學大綱要求結合教材對應章節系統進行，要打好基礎，特別是對大綱中要求的三基--基本概念、基本理論、基本方法要系統理解和掌握，完成從大學學習到考研備戰的基礎準備。在這個階段把基礎打紮實，是考驗數學取得好成績的前提。這個階段，建議大家分為兩輪來複習。

第一輪，精讀材料：

時間是開始-6月中旬。這一階段主要是複習教材，按大綱要求結合教材對應章節全面複習，按章節順序完成教材的課後習題，通過練習掌握教材知識和內容。小編建議同學們每天學習新內容前先温習下前面的內容。教材的編寫是循序漸進的，所以我們也要按照規律來複習，經過必要的重複會起到事半功倍的效果。

第二輪，練習測試以鞏固基礎知識：

時間是6月中旬到7月中旬，約1個月時間。這一階段主要是練習測試、鞏固所學知識。建議大家使用教材配套的複習指導書或習題集，通過做題來鞏固知識，在練習過程中遇上不懂或似懂非懂的題目要認真對待，多思考，不要一看不會就直接看答案，應當先查看教材相關章節，把相關知識點徹底搞懂。建議按要求完成練習測試後，還要對教材的內容進行梳理，對重點、難點做好筆記，以便於後面複習把它消化掉。

▶第二階段：強化鞏固階段

這一階段主要是鞏固第一階段的學習成果。時間從7月到11月初，約4個月時間，每天保證3小時以上。通過對輔導材料和真題的學習，瞭解考試難度和明確考試方向，進行專項複習提高自己的解題效率和質量。

本階段是考研複習的重點，對考研成績起決定性作用。小編建議分為三輪學習。

第一輪：學習時間是7月到8月底兩個月，主要任務是完整的、認真研讀一遍考研輔導書和分析2套考研真題，全面瞭解考查內容，熟悉考研數學的重點題型以及其解題方法。

第二輪：大概用一個月的時間也就是9月10月七年級個多月，主要考研輔導書與專項模擬題、真題或習題的複習，對考試重點題型和自己薄弱的內容進行攻堅複習。

第三輪：本階段的最後時間段，時間是10初到11月初。主要是學習筆記的梳理和套題的訓練，檢測你的解題速度和準確率，查漏補缺、薄弱加強，目的是鞏固基礎提高能力。

▶第三階段：決勝衝刺階段

這一階段已經進入最後的衝刺了。時間從11月到考前，約二個月。小編認為在這一階段，我們要通過對以往學習筆記的複習全面掌握考試要求，並進行高強度的衝刺題訓練，進入考試狀態，達到考試要求。要做到：

1、通過做題進總結和梳理(做題訓練應當重點放在按考試要求的套題上);

2、複習知識點，對基本概念、基本公式、基本定理進行記憶，尤其是平常不常用的、記憶模糊的公式，經常出錯的要重點記憶;

3、保持水平和狀態，複習和做題一定要堅持到考前;

4、進行補缺補漏，輕鬆應考。

對於以上三個階段的學習，主要以自學為主。基礎不好或者需要拿高分的同學生可以參加輔導班。每次輔導班上課之前，建議同學們把老師準備講的內容先預習，這樣聽課的時候才能有所側重，才能抓住重點。聽課的時候不僅要聽老師講一些例題，更要聽老師歸納總結的一些解題方法和技巧。

一個階段的複習結束後，同學們可以和周圍的考生互相交流、互相切磋解題的方法和技巧，並適當做全面的總結。