考研高等數學有哪些重要定理證明

考生們在進行考研高等數學的複習階段時，有很多重要定理證明需要去掌握。小編為大家精心準備了考研高等數學定理證明的複習指導，歡迎大家前來閲讀。

高數定理證明之微分中值定理:

這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0。考慮函數在一點的導數，用什麼方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎麼用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學語言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式，不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋樑。

費馬引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那麼它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區間連續”、“開區間可導”和“端值相等”，結論是在開區間存在一點(即所謂的中值)，使得函數在該點的導數為0。

該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎麼用?如何和結論建立聯繫?當然，我們現在討論該定理的證明是“馬後炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎麼去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創新，是要流芳百世的。

閒言少敍，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那麼羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發現是一致的：都是函數在一點的導數為0。話説到這，可能有同學要説：羅爾定理的證明並不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這麼簡單。起碼要説清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什麼滿足?

前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那麼“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那麼我們看看哪個條件可能和極值產生聯繫。注意到羅爾定理的第一個條件是函數在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函數有很好的性質，哪條性質和極值有聯繫呢?不難想到最值定理。

那麼最值和極值是什麼關係?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區間內部，則最值為極值;若最值均取在區間端點，則最值不為極值。那麼接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數值相等，由此推出函數在整個閉區間上的最大值和最小值相等，這意味着函數在整個區間的表達式恆為常數，那在開區間上任取一點都能使結論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙鵰的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現出來的基本思路，適用於證其它結論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形後的式子讀出是對哪個函數用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數的過程——看等號左側的式子是哪個函數求導後，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現場調查：根據這個犯罪現場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函數遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;複雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數求不定積分。

高數定理證明之求導公式:

2015年真題考了一個證明題：證明兩個函數乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎麼用比較熟悉，而對它怎麼來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶着急功近利的心態只關注結論怎麼用，而不關心結論怎麼來的，那很可能從未認真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這裏給2017考研學子提個醒：要重視基礎階段的複習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。

當然，該公式的證明並不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函數在一點的導數自然用導數定義考察，可以按照導數定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前後都有聯繫，便於提公因子。之後分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。

高數定理證明之積分中值定理:

該定理條件是定積分的被積函數在積分區間(閉區間)上連續，結論可以形式地記成該定積分等於把被積函數拎到積分號外面，並把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。

若我們選擇了用連續相關定理去證，那麼到底選擇哪個定理呢?這裏有個小的技巧——看中值是位於閉區間還是開區間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位於閉區間和開區間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位於閉區間。那麼何去何從，已經不言自明瞭。

若順利選中了介值定理，那麼往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區間長度，就能達到我們的要求。當然，變形後等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區間長度後仍為一個數。這個數就相當於介值定理結論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數在閉區間連續，2.實數A位於函數在閉區間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區間上某點的函數值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數的連續性不難判斷，僅需説明定積分除以區間長度這個實數位於函數的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的範圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

高數定理證明之微積分基本定理:

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，並用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至於導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生並不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等於其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那麼我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等於f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

第一，模擬考場，卡點做題。

現場越是逼真，到了真正的考場時就越不容易緊張，答題也就越順利。考研數學考試是安排在上午8：30-11：30，並且是在週日。那麼，考生可以從現在開始，就把模擬訓練定在上午這段時間裏，時間從上午8:30到11:15，每週最好都能在週日都能定時模擬一次。以讓自己的思維和身體狀態熟悉這個週期狀態，將考研的應試狀態調整到好的狀態。在規定時間內進行整套題的訓練，可以使同學們感覺到考試的氣氛，以此種方法訓練可以找找考試的感覺。往年有很多同學反映這種嚴格的訓練一開始並不適應，第一次做完整套題，三個小時下來，走路都有一種輕飄飄的感覺。這確實是個體力活，但鍛鍊多了，做3個小時也就成為一種習慣了。當同學們逐漸把握住做題節奏後就能孰能生巧，在考試中心中有數地自行調整做題節奏而不會有漏做題沒做完的情況出現了。要知道真刀真槍的訓練，與平時的單項題型訓練有很大出入，因此只有在此階段培養良好的習慣和時間意識，考試的時候才能做到心中有數，不至於遇到問題會驚慌失措。

第二，答題的細節問題。

每年都有考生因為少了答題步驟而丟分，這樣的失分很可惜。大家需要注意，每一道題的關鍵步驟都是有分數的，這點和只看重答案的選擇填空題恰恰相反。所以考生在模擬訓練師，一定要儘量嚴格地把答題步驟寫全，而不能只是心裏明白就好。一般而言，在難度上，客觀題也就是選擇填空題會簡單些，那麼考生還是應該先做簡單的，這樣既能拿到應該得到的有效分數，也可以在做題難度上有個過渡，使考試狀態漸入佳境。做解答題時，應當先做常見的題目，從熟題到生生，這樣既可以增加信心，也能夠為後面的陌生題目節省下集中的時間充分思考解答。

▶向量與線性方程組

向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，而其後兩章特徵值和特徵向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。

向量與線性方程組的內容聯繫很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。複習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯繫，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。

這部分的.重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式;二是線性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯繫。

(1)齊次線性方程組與向量線性相關、無關的聯繫

齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1、有唯一零解;2、有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立;但向量部分中判斷向量組是否線性相關、無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯繫——齊次線性方程組是否有非零解對應於係數矩陣的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關、無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。

(2)齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯繫

同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”。經過“秩-線性相關、無關-線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量(基礎解系)線性表示。

(3)非齊次線性方程組與線性表示的聯繫

非齊次線性方程組是否有解對應於向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數就是非齊次線性方程組的解。

▶行列式與矩陣

行列式、矩陣是線性代數中的基礎章節，從命題人的角度來看，可以像潤滑油一般結合其它章節出題，因此必須熟練掌握。

行列式的核心內容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型，主要方法是應用行列式的性質及按行(列)展開定理化為上下三角行列式求解;而對於抽象行列式而言，考點不在如何求行列式，而在於結合後面章節內容的比較綜合的題。

矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣相關的重要公式、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質、初等矩陣的性質等。

▶特徵值與特徵向量

相對於前兩章來説，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關性，“牽一髮而動全身”。

本章知識要點如下：

1.特徵值和特徵向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。

2.相似矩陣及其性質，需要區分矩陣的相似、等價與合同：

3.矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關的特徵值;二是任意r重特徵根對應有r個線性無關的特徵向量。

4.實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似於以其特徵值為對角元素的對角陣。

▶二次型

這部分所講的內容從根本上講是特徵值和特徵向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對於實對稱矩陣，必存在正交矩陣使其可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在為實對稱矩陣時的應用。

這四個方面是歷年考研數學線代部分的重點，希望考生以此為重點，由點及面，複習好線性代數這部分。