2015屆高三數學模擬試題
第一部分 選擇題(共40分)
一、選擇題:(本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1. 設集合 ≤ ≤ , ≤ ≤ ,則( )
2. 計算: ( )
A. B.- C. 2 D. -2
3. 已知 是奇函數,當 時, ,則 ( )
A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知向量 ,則 的充要條件是( )
A. B. C. D.
5. 若某一幾何體的正視圖與側視圖均為邊長是1的正方形,且其體積為 ,則該幾何體的俯視圖可以是( )
6. 已知函數 ,則下列結論正確的是( )
A. 此函數的圖象關於直線 對稱 B. 此函數的最大值為1
C. 此函數在區間 上是增函數 D. 此函數的最小正週期為
7. 某程序框圖如圖所示,該程序運行後,
輸出的 值為31,則 等於( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
8. 已知 、 滿足約束條件 ,
若 ,則 的取值範圍為( )
A. [0,1] B. [1,10] C. [1,3] D. [2,3]
第二部分 非選擇題(共100分)
二、填空題(本大題共7小題,分為必做題和選做題兩部分,每小題5分,滿分30分)。
(一)必做題:第9至13題為必做題,每道試題考生都必須作答。
9. 已知等比數列 的公比 為正數,且 ,則 = .
10. 計算 .
11. 已知雙曲線 的一個焦點是( ),則其漸近線方程為 .
12. 若 n的展開式中所有二項式係數之和為64,則展開式的常數項為 .
13. 已知
依此類推,第 個等式為 .
(二)選做題:第14、15題為選做題,考生只選做其中一題,兩題全答的只算前一題得分。
14. (座標系與參數方程選做題)已知曲線C的參數方程為 (θ為參數),則曲線C上的點到直線3 -4 +4=0的距離的最大值為
15.(幾何證明選講選做題)如圖,⊙O的直徑AB=6cm,P是AB
延長線上的一點,過P點作⊙O的切線,切點為C,連接AC,
若∠CPA=30°,PC=_____________
三、解答題:本大題共6小題,滿分80分.解答須寫出文字説明,證明過程或演算步驟。
16.(本小題滿分12分)
如圖,角 為鈍角,且 ,點 、 分別是在角 的
兩邊上不同於點 的動點.
(1)若 =5, = ,求 的長;
(2)設 的值.
17.(本小題滿分12分)
某連鎖超市有 、 兩家分店,對該超市某種商品一個月30天的銷售量進行統計: 分店的銷售量為200件和300件的天數各有15天; 分店的統計結果如下表:
銷 售量(單位:件) 200 300 400
天 數 10 15 5
(1)根據上面統計結果,求出 分店銷售量為200件、300件、400件的頻率;
(2)已知每件該商品的銷售利潤為1元, 表示超市 、 兩分店某天銷售該商品的利潤之和,若以頻率作 為概率,且 、 兩分店的.銷售量相互獨立,求 的分佈列和數學期望.
18.(本小題滿分14分)
如圖, 為矩形, 為梯形,平面 平面 ,
, .
(1)若 為 中點,求證: ∥平面 ;
(2)求平面 與 所成鋭二面角 的大小.
19.(本小題滿分14分)
已知數列 中, ,且當 時, , .
記 的階乘 !
(1)求數列 的通項公式;(2)求證:數列 為等差數列;
(3)若 ,求 的前n項和.
20.(本小題滿分14分)
已知橢圓 : ( )的離心率為 ,連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)設橢圓 的左焦點為 ,右焦點為 ,直線 過點 且垂直於橢圓的長軸,動直線 垂直 於點 ,線段 的垂直平分線交 於點M,求點M的軌跡 的方程;
(3)設O為座標原點,取 上不同於O的點S,以OS為直徑作圓與 相交另外一點R,求該圓面積的最小值時點S的座標.
21.(本小題滿分14分)
已知函數 ,函數 是函數 的導函數.
(1)若 ,求 的單調減區間;
(2)若對任意 , 且 ,都有 ,求實數 的取值範圍;
(3)在第(2)問求出的實數 的範圍內,若存在一個與 有關的負數 ,使得對任意 時 恆成立,求 的最小值及相應的 值.