解析2022年大學聯考數學試題

數學試卷整體分析

守正創新 推進大學聯考改革邁上新台階

2022年大學聯考數學北京卷堅持“以德為先，能力為重，全面發展”的命題理念，穩妥推進新大學聯考的改革，形成了“一箇中心，兩個着力點，三個突出，四條路徑”的評價體系。

即以立德樹人為中心，以數學素養和創新能力為兩個着力點；突出對主幹知識、思想方法、問題解決能力的考查；通過優化試卷結構、創新呈現方式、精選試題素材，突出學科本質，達到落實大學聯考育人的目的。

一箇中心

立德樹人

北京卷命題堅持以立德樹人為根本任務，構建了引導學生德智體美勞全面發展的考試內容體系。

第7題以國家速滑館“冰絲帶”綠色環保場館為背景，設置二氧化碳所處的狀態與温度和壓強的關係圖，滲透德育教育。

第18題以學生熟悉的校運動會體育比賽為背景，重點考查統計學中關於數據的收集、估計、預測的基本方法和原理，滲透體育教育。

兩個着力點

數學素養、創新能力

一、數學素養

北京卷通過設計現實性和綜合性問題，實現對邏輯推理、直觀想象、數學運算、數學抽象、數學建模、數據分析六大素養的綜合考查。

針對邏輯推理，北京卷設計了至少5道題進行考查。如第15題，是以一個無窮正數數列來設置，考查數列的基本概念、研究數列的增減性、估計數列項的範圍、判斷數列是否為等比數列等。四個選項既考查合情推理，也考查演繹推理。

針對直觀想象，北京卷設計了至少4道題進行考查。如第9題，以正三稜錐為載體、以區域面積為出口，考查空間想象能力。問題的本質是研究球面和平面相交所得圓的性質。

針對數學運算，北京卷設計了至少12道題進行考查。第16題，藉助解三角形在考查二倍角公式、餘弦定理、三角形面積公式等基礎知識的同時，考查學生運算過程的嚴謹性以及運算的靈活性。

針對數學抽象，北京卷設計了至少2道題進行考查。如第20題（Ⅲ），考查不等式恆成立問題，它的背景是二階導數大於0，即具有下凸性質的抽象函數在一定條件下都具有的結論。

此外，數學建模和數據分析也分別設置了不同的問題進行考查。

二、創新能力

北京卷設置創新和思維深刻的問題，考查學生的創新能力。如第20題（Ⅲ）和第21題，題目設計創新，考查學生多角度、深層次去理解數學本質。

如第20題（Ⅲ）二元函數不等式的證明這一創新的設問打破常規，需要學生固定一個變量，把動態的問題轉化為靜態，把二元的問題轉化為一元的問題去處理。考查學生將多元與一元，動態與靜態，變量與常量，高等與初等，等進行辯證思維的能力。

第21題屬於綜合題，綜合了新定義、集合論、歸納法、排除法、演繹證明等思想和方法，考查學生創新能力。

三個突出

主幹知識、思想方法、

問題解決能力

一、突出對主幹知識的考查

2022年是北京實行新教材的第一年，北京卷基於數學課標，迴歸教材，突出對主幹知識的考查，重點關注學生應知應會的內容，淡化機械記憶。重點考查了函數導數與不等式、三角函數與解三角形、平面解析幾何、立體幾何、統計概率、數列、其他（集合、複數、二項式定理、充要條件、向量）這些主幹知識，充分體現了對數學知識考查的基礎性和全面性。

同時，北京卷關注學生的不同發展水平，通過設置具有豐富梯度的問題，達到對數學知識的綜合考查。如第17題，第20題和21題，均設置多問，體現出層次性和綜合性。這不僅為不同能力的學生搭建了台階，而且也充分體現了數學課程標準中“不同的人在數學上得到不同的發展”的要求。

二、突出對數學思想方法的考查

北京卷從數學學科整體意義和思想價值的高度立意，有效檢測學生對數學基礎知識和基本思想方法的掌握。如第19題（Ⅱ）考查數形結合思想，第11和第14題考查了函數與方程思想，第10題體現的是化歸與轉化思想，第18題考查了概率統計的思想，第21題（Ⅲ）考查了分類討論思想。

三、突出對問題解決能力的考查

北京卷突出對數學應用和跨學科的考查，如第7題選取綠色冬奧會為情境創設數學問題。問題呈現了二氧化碳的三相圖，該圖可以使學生了解跨學科的知識。通過設置此問題，引導學生認識到現實生活中的環保問題，樹立有責任的公民意識。

第18題以體育鉛球比賽為背景，考查統計學中預測方法與步驟的全過程。在體育比賽，特別是國際比賽中，預測比賽結果是體育比賽中一個重要的研究方向和熱門話題，通過解決此問題，使學生體會到概率統計知識與現實生活的緊密聯繫。

四條路徑

試卷結構、呈現方式、

試題素材、數學本質

一、優化試卷結構，體現出基礎性和選拔性

北京捲進一步優化試卷的結構，首次將考查立體幾何的試題改為結構不良問題，以直三稜柱為背景考查線面關係。給出的兩個等價條件，讓學生從位置和度量兩個方面進行選擇。這種嘗試增強了試題靈活性，為引導教學、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。

在試卷難度控制上，繼續保持試題的“入口易、口徑寬”，中低難度的試題仍保持了相當的比例。同時，綜合創新題依然具有較強的挑戰性，並保持了較好的區分度，如第20題第三問，第21題有三問。

二、改革試題呈現方式，體現試題的選擇性和開放性

北京卷通過創新題型，設計條件或結論開放、解題方法多樣、答案不唯一的試題等多種方式，體現試題的選擇性和開放性。

第14題通過含參的動區間分段函數來設計問題，按照0與1為分界點分三種情況對參數進行討論，考查學生思維的靈活性和多樣性。

第15題設置了一個無窮正數數列，考查數列的增減性、估計數列項的範圍、判斷數列是否為等比數列。解決此問題需要學生利用放縮的思想，遞減數列的定義，數列的下界，反證的思想等去推證和證偽，考查學生對於高階知識的理解和遷移的能力。

北京卷在命題技術和評分量表上進行持續探索。如設計分層賦分試題。優化了試題的區分和考查效果。

三、精選試題素材，體現數學與社會和學生生活的聯繫

北京卷在試題素材的選取上真實、自然、合理。

如第7題的背景是 “冰絲帶”國家速滑館。場館採用二氧化碳跨臨界直冷製冰技術，碳排放趨近於零，體現了中國對於綠色冬奧的努力；

第18題設置鉛球比賽問題，源於國家規定如果成績達到9.5m以上，可以獲得國家“三級運動員”證書這樣的背景，所設計的問題符合現實。材料源於社會、源於真實情境，考查學生問題解決的能力。

四、關注數學本質，引導教學回歸課堂

北京卷命題體現數學本質，引導教學回歸課堂。

一是試題內容緊扣課標和教材，如第16題、第17題都是解三角形和立體幾何的基礎性問題，第19題、第20題是解析幾何和導數問題，這四道題所考查的知識都是高中的基礎知識，所使用的方法也是通性通法。

二是試題關注數學本質。如第10題以平面幾何切入，研究向量的數量積問題，學生可以用多種方式解決（建立直角座標系，轉化為直線和圓的位置關係問題求解；所求向量數量積最大的問題；三角函數的值域問題），考查學生對數學本質的理解。第20題和第21題分別考查導數和數列的本質，使學生從深層次去感悟數學的思想和方法。

總之，2022年大學聯考數學繼續保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點，堅持“立德樹人、服務選才、引導教學”的命題指導原則，形成了“一箇中心，兩個着力點，三個突出，四條路徑”的評價體系，導向中學對“四具備”人才的培養，即具備自覺的數量觀念的人、具備嚴密推理邏輯的人、具備高度抽象概括的人、具備一絲不苟、精益求精作風的人。

引導教學在六個方面“下功夫”，即在主幹知識的掌握上下功夫、在數學學科本質的理解上下功夫、在數學思想方法的領悟上下功夫、在數學應用探究上下功夫、在創新思維形成上下功夫、在數學素養的養成上下功夫。助力學生德智體美勞全面發展。

數學試卷試題分析

穩四基為本 以素養為魂

2022年大學聯考北京數學試卷整體上符合國家課程標準要求，結合北京市高中數學教學的實際情況及學情特點，知識內容覆蓋全面，突出主幹；情境問題設計多樣，指向數學素養。

相比於去年，在試卷結構上保持一致，依然是單項選擇題、填空題和解答題，每一部分題型的難度預設基本符合從易到難的分佈；

在考查內容上基本保持一致，強調基礎性、綜合性。在試題的表述形式上，簡潔、規範，圖文準確並相互匹配，呈現方式及作答方式堅持多樣化，延續了北京數學試卷“大氣、平和”的特點。

命題的總體穩定有利於考生穩定心態，正常發揮，考出自己的數學真實水平。

一、創新問題情境，堅持素養導向

相比於去年，在試題的情境和設問上，適度變化，強調數學素養的發展。

如：第（16）題依然是解三角形問題，但是結構良好，對正弦定理和餘弦定理的考查迴歸基礎，突出考查數學運算素養；

第（17）題依然是立體幾何問題，證明線面平行以及求線面角的設問也很熟悉，但是第二問的結構不良，需要在給出的兩個條件中選出一個作為已知，以確定側面的形狀，考查學生思維的嚴謹性；

第（9）題以正三稜錐為載體，以集合語言描述題目的條件，涉及的計算並不複雜，突出考查直觀想象素養。

二．注重基礎知識，考查數學本質

試題重視考查數學的基礎知識和基本方法，重點考查主幹知識與核心概念。

如選擇題的前5道題和填空題前3道題，涉及內容都是基礎知識和基本方法，考查了集合、複數、直線與圓、函數概念、三角函數性質、函數定義域、雙曲線的性質等內容。這些試題涉及的知識點相對單一，試題情境和設問比較熟悉，考查的也是對基礎知識的掌握與理解，較為容易。

再如第（16）題的解三角形問題、第（19）題的直線與橢圓綜合問題等，考查的均是主幹知識與常規方法。

試題在體現知識考查的全面性、基礎性和綜合性的同時，突出考查了學生分析問題和解決問題的能力，重點關注數學本質和思維品質的考查。

如：第（8）題二項式定理問題，既可以利用國中的公式展開，也可以賦值利用通解通法來解決；

第（10）題的背景是一個向量問題，考查了用代數知識解決幾何問題這個基本方法，體現了學生的數學思維水平；

第（20）題的利用導數知識解決函數綜合問題，充分的體現了導數的工具作用，對函數知識本質的理解有一定要求。

三、關注數學應用，考查實踐能力

試題關注數學知識和方法的靈活應用。實際應用問題關注學生的身邊事，體現了數學源於生活且高於生活，以及數學作為基礎學科的應用價值。

如：第（7）題以北京冬奧會上國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷製冰技術為背景，以圖形方式給出二氧化碳所處的狀態與温度、壓強的關係，考查了學生讀圖、識圖、分析圖表數據、估值等數學應用能力；

第（18）題以學生熟悉的校運會鉛球比賽創設生活實踐情境，通過研究甲乙丙三位同學以往的比賽數據，考查學生在不同容量的樣本數據中，靈活運用概率統計知識分析問題和解決問題的能力，引導學生用數學的思考方式解決問題、認識世界。創新問題關注數學本質，體現數學的思維特點。

如：第（21）題以數列為載體，考查學生對新情境新知識的理解，讓學生在閲讀數學符號和認識新概念的基礎上，即時學習並創新應用，體現了獲取新知識的能力和創新意識。

縱觀整份試卷，保持了北京試卷基礎、綜合、靈活的特色，穩中求進。在突出對基礎知識、基本技能、基本活動經驗和基本思想方法考查的同時，突出對數學素養的考查，展現了數學學科的育人價值。這套試卷給不同能力水平的學生提供了展示的平台，對數學學科的日常教學及深化改革有積極的引導作用。